Номер 532, страница 139 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

7.1. Треугольники и их виды. Глава 7. Треугольники и четырёхугольники - номер 532, страница 139.

532 Исследуем

1) Постройте на нелинованной бумаге равнобедренный треугольник ABC, у которого AC – основание. Переведите его на кальку. Переверните кальку другой стороной вверх и опять совместите треугольники. Какой вывод можно сделать об углах при основании равнобедренного треугольника? Закончите предложение: «В равнобедренном треугольнике углы при основании...»

Рис. 7.7

2) У равностороннего треугольника все углы равны. Попробуйте объяснить, почему это так.

1) Проведем мысленный эксперимент, описанный в задаче.
Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По определению это означает, что его боковые стороны равны: $AB = BC$. Углы при основании — это $\angle BAC$ и $\angle BCA$.
Когда мы переводим треугольник на кальку, мы создаем его точную копию. Переворачивая кальку, мы совершаем осевую симметрию. Если теперь совместить перевернутый треугольник с исходным, поменяв местами вершины $A$ и $C$, то треугольники идеально совпадут. Вершина $A$ исходного треугольника совместится с вершиной $C$ на кальке, вершина $C$ — с вершиной $A$ на кальке, а вершина $B$ останется на своем месте.
Такое совмещение возможно, потому что боковые стороны равны ($AB = BC$), и при наложении сторона $AB$ совпадет со стороной $BC$ и наоборот. Полное совпадение треугольников означает и равенство их соответствующих углов. Угол $\angle BAC$ (при вершине $A$) исходного треугольника совпадет с углом при вершине $C$ на перевернутой кальке, который изначально был углом $\angle BCA$. Таким образом, мы делаем вывод, что $\angle BAC = \angle BCA$.
Вывод: у равнобедренного треугольника углы при основании равны.
Закончим предложение: «В равнобедренном треугольнике углы при основании равны».
Ответ: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2) Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны. Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$, у которого $AB = BC = CA$.
Мы можем рассмотреть этот треугольник как равнобедренный, выбрав в качестве основания любую из его сторон.
1. Пусть основанием является сторона $AC$. Тогда боковые стороны $AB$ и $BC$ равны. По свойству равнобедренного треугольника, которое мы установили в пункте 1, углы при основании $AC$ равны: $\angle BAC = \angle BCA$.
2. Теперь пусть основанием является сторона $AB$. Тогда боковые стороны $AC$ и $BC$ равны. Следовательно, углы при основании $AB$ также равны: $\angle ABC = \angle BAC$.
Из полученных равенств $\angle BAC = \angle BCA$ и $\angle ABC = \angle BAC$ следует, что все три угла треугольника равны между собой: $\angle ABC = \angle BAC = \angle BCA$.
Таким образом, в равностороннем треугольнике все углы равны, так как он является равнобедренным относительно любой из своих сторон.
Ответ: В равностороннем треугольнике все стороны равны. Если рассмотреть любую сторону как основание, то две другие стороны будут равными боковыми сторонами. Следовательно, по свойству равнобедренного треугольника, углы при этом основании равны. Поскольку это верно для любой из трех сторон, все три угла треугольника равны между собой.