Страница 139 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

527 Постройте треугольник $ABC$, у которого угол $A$ равен $135^\circ$, сторона $AB$ равна 3 см, а сторона $BC$ — 7 см. Какая из сторон этого треугольника является наибольшей?

Подсказка. Начните с построения заданного угла.

Задача состоит из двух частей: построение треугольника по заданным параметрам и определение его наибольшей стороны.

1. Построение треугольника ABC

Для построения треугольника воспользуемся линейкой, транспортиром и циркулем.

1. Проведем произвольный луч с началом в точке A.
2. С помощью транспортира построим угол, равный $135^\circ$, с вершиной в точке A.
3. На одном из лучей, образующих этот угол, отложим от точки A отрезок AB длиной $3$ см.
4. Теперь необходимо найти положение вершины C. Известно, что она лежит на втором луче угла A, а расстояние от точки B до точки C равно $7$ см.
5. Установим раствор циркуля равным $7$ см. Поместим острие циркуля в точку B и проведем дугу так, чтобы она пересекла второй луч угла A.
6. Точка пересечения дуги и луча является вершиной C.
7. Соединим точки B и C отрезком. Искомый треугольник ABC построен.

2. Определение наибольшей стороны

Для ответа на вопрос, какая из сторон треугольника является наибольшей, применим теорему о соотношении сторон и углов треугольника: напротив большего угла в треугольнике лежит большая сторона.

Проанализируем углы треугольника ABC:

• По условию, $ \angle A = 135^\circ $.
• Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, то есть $ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ $.
• Найдем сумму двух других углов: $ \angle B + \angle C = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ $.
• Поскольку углы B и C — это углы треугольника, их градусные меры положительны. Из этого следует, что каждый из этих углов строго меньше $45^\circ$ ($ \angle B < 45^\circ $ и $ \angle C < 45^\circ $).
• Сравнивая все три угла, видим, что $ \angle A = 135^\circ $ является наибольшим углом в треугольнике ABC.

Согласно теореме, сторона, лежащая напротив наибольшего угла, является наибольшей стороной. Напротив угла A лежит сторона BC.

Таким образом, сторона BC — наибольшая в данном треугольнике. Это также согласуется с данными задачи: $BC = 7$ см, $AB = 3$ см, и очевидно, что $BC > AB$. Теорема подтверждает, что BC будет больше и стороны AC.

Ответ: Наибольшей стороной этого треугольника является сторона BC.

528 а) Проволоку длиной 15 см согнули так, что получился равносторонний треугольник. Чему равен периметр этого треугольника? Чему равна его сторона?

б) Взяли проволоку длиной 17 см и из неё сделали треугольник, две стороны которого равны 5 см и 6 см. Что вы можете сказать об этом треугольнике?

в) Выполните необходимые измерения и вычислите периметр каждого из треугольников, изображённых на рисунке 7.1 (см. с. 136).

а) Периметр фигуры, сделанной из проволоки, равен длине самой проволоки. Следовательно, периметр треугольника равен 15 см. Равносторонний треугольник имеет три одинаковые по длине стороны. Чтобы найти длину одной стороны ($a$), нужно периметр ($P$) разделить на 3.
$P = 15$ см
$a = P \div 3 = 15 \div 3 = 5$ см.
Ответ: периметр этого треугольника равен 15 см, а его сторона равна 5 см.

б) Периметр треугольника равен длине проволоки, то есть 17 см. Периметр — это сумма длин всех сторон. Две стороны известны: 5 см и 6 см. Найдем длину третьей стороны, вычитая из периметра длины известных сторон.
$17 - (5 + 6) = 17 - 11 = 6$ см.
Таким образом, стороны треугольника равны 5 см, 6 см и 6 см. Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным.
Ответ: этот треугольник является равнобедренным со сторонами 5 см, 6 см и 6 см.

в) Для решения этой задачи необходимо произвести измерения сторон треугольников, изображенных на рисунке 7.1 (на стр. 136 учебника). Так как сам рисунок в задании отсутствует, выполнить измерения и вычислить периметр невозможно.
Ответ: выполнить задание невозможно без доступа к рисунку 7.1.

529 В равнобедренном треугольнике периметр равен 36 см.

1) Найдите:

а) длину боковой стороны, если основание равно 10 см;

б) основание, если боковая сторона равна 15 см.

2) Найдите две стороны треугольника, если третья сторона равна 14 см.

Подсказка. В задании 2 рассмотрите два возможных варианта.

Пусть дан равнобедренный треугольник, у которого две боковые стороны равны $a$, а основание равно $b$. Периметр $P$ такого треугольника вычисляется по формуле: $P = a + a + b = 2a + b$. По условию задачи, периметр равен 36 см.

1) а) найдите длину боковой стороны, если основание равно 10 см;

По условию, основание $b = 10$ см, а периметр $P = 36$ см. Подставим эти значения в формулу периметра, чтобы найти боковую сторону $a$:
$P = 2a + b$
$36 = 2a + 10$
Вычтем из обеих частей уравнения 10:
$2a = 36 - 10$
$2a = 26$
Разделим обе части на 2:
$a = 13$ см.
Проверим, существует ли такой треугольник с помощью неравенства треугольника: сумма двух любых сторон должна быть больше третьей. Стороны: 13 см, 13 см, 10 см. $13 + 13 > 10$ (26 > 10) - верно. $13 + 10 > 13$ (23 > 13) - верно.
Ответ: 13 см.

1) б) найдите основание, если боковая сторона равна 15 см.

По условию, боковая сторона $a = 15$ см, а периметр $P = 36$ см. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти основание $b$:
$P = 2a + b$
$36 = 2 \cdot 15 + b$
$36 = 30 + b$
Вычтем из обеих частей уравнения 30:
$b = 36 - 30$
$b = 6$ см.
Проверим неравенство треугольника. Стороны: 15 см, 15 см, 6 см. $15 + 15 > 6$ (30 > 6) - верно. $15 + 6 > 15$ (21 > 15) - верно.
Ответ: 6 см.

2) Найдите две стороны треугольника, если третья сторона равна 14 см.

В равнобедренном треугольнике известная сторона (14 см) может быть как основанием, так и боковой стороной. Рассмотрим оба варианта.

Вариант 1: Известная сторона – это основание.
Пусть основание $b = 14$ см. Две другие стороны - это равные боковые стороны $a$. Найдем их длину из формулы периметра:
$P = 2a + b$
$36 = 2a + 14$
$2a = 36 - 14$
$2a = 22$
$a = 11$ см.
В этом случае две другие стороны равны 11 см и 11 см. Проверим неравенство треугольника: $11 + 11 > 14$ (22 > 14) - верно.

Вариант 2: Известная сторона – это боковая сторона.
Пусть боковая сторона $a = 14$ см. Тогда вторая боковая сторона тоже равна 14 см. Найдем основание $b$:
$P = 2a + b$
$36 = 2 \cdot 14 + b$
$36 = 28 + b$
$b = 36 - 28$
$b = 8$ см.
В этом случае две другие стороны равны 14 см (вторая боковая) и 8 см (основание). Проверим неравенство треугольника: $14 + 8 > 14$ (22 > 14) - верно.
Таким образом, задача имеет два возможных решения.
Ответ: 11 см и 11 см; или 14 см и 8 см.

530 Строим по алгоритму

1) Постройте на нелинованной бумаге равнобедренный треугольник $ABC$ по следующему алгоритму:

• Начертите отрезок $AC$ — основание треугольника.

• Проведите циркулем две равные окружности с центрами в точках $A$ и $C$ так, чтобы окружности пересекались; одну из точек пересечения обозначьте буквой $B$.

• Проведите отрезки $AB$ и $BC$.

2) Постройте равнобедренный треугольник, у которого: а) основание равно 5 см, а боковые стороны – 4 см; б) основание равно 6 см, а боковые стороны – 3 см 5 мм.

1) Постройте на нелинованной бумаге равнобедренный треугольник ABC по следующему алгоритму:

Для построения равнобедренного треугольника по заданному алгоритму необходимо выполнить следующие шаги, используя циркуль и линейку:

1. Начертить отрезок AC, который будет служить основанием треугольника.
2. Взять циркуль и установить его раствор (радиус) на любую длину $r$, большую половины длины отрезка AC ($r > \frac{1}{2}AC$). Это условие необходимо, чтобы окружности, которые мы будем строить, пересеклись.
3. Поставить иглу циркуля в точку A и провести дугу окружности радиусом $r$.
4. Не меняя раствор циркуля, поставить иглу в точку C и провести вторую дугу тем же радиусом $r$.
5. Одну из двух точек пересечения дуг обозначить буквой B.
6. Соединить точку B с точками A и C с помощью линейки, получив отрезки AB и BC.

Докажем, что построенный треугольник ABC является равнобедренным. По построению, точка B лежит на окружности с центром в точке A и радиусом $r$, следовательно, длина отрезка $AB$ равна радиусу: $AB = r$. Точка B также лежит на окружности с центром в точке C и тем же радиусом $r$, следовательно, $BC = r$. Так как $AB = r$ и $BC = r$, то стороны $AB$ и $BC$ равны между собой. По определению, треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Таким образом, $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием AC.

Ответ: Построение выполнено по алгоритму, и доказано, что полученный треугольник является равнобедренным, так как его боковые стороны равны радиусу пересекающихся окружностей.

2) Постройте равнобедренный треугольник, у которого:

а) основание равно 5 см, а боковые стороны — 4 см

Применим алгоритм из пункта 1 для построения треугольника с заданными размерами.

1. С помощью линейки начертим основание — отрезок AC длиной 5 см.
2. Установим раствор циркуля равным длине боковой стороны — 4 см.
3. Проведём дугу окружности с центром в точке A и радиусом 4 см.
4. Проведём дугу окружности с центром в точке C и радиусом 4 см.
5. Точку пересечения дуг обозначим как B.
6. Соединим отрезками точки A и B, а также B и C.

В результате построен $\triangle ABC$, у которого основание $AC = 5$ см, а боковые стороны $AB = BC = 4$ см. Проверим неравенство треугольника: сумма длин двух боковых сторон должна быть больше длины основания. В нашем случае $4 \text{ см} + 4 \text{ см} = 8 \text{ см}$, что больше $5 \text{ см}$ ($8 > 5$). Неравенство верно, значит, такой треугольник существует.

Ответ: Треугольник построен. Основание AC равно 5 см, боковые стороны AB и BC, найденные как пересечение окружностей с радиусом 4 см, равны 4 см.

б) основание равно 6 см, а боковые стороны — 3 см 5 мм

Сначала переведем длину боковой стороны в сантиметры: $3 \text{ см } 5 \text{ мм} = 3,5 \text{ см}$.

1. С помощью линейки начертим основание — отрезок AC длиной 6 см.
2. Установим раствор циркуля равным 3,5 см.
3. Проведём дугу окружности с центром в точке A и радиусом 3,5 см.
4. Проведём дугу окружности с центром в точке C и радиусом 3,5 см.
5. Точку пересечения дуг обозначим как B.
6. Соединим отрезками точки A и B, а также B и C.

В результате построен $\triangle ABC$, у которого основание $AC = 6$ см, а боковые стороны $AB = BC = 3,5$ см. Проверим неравенство треугольника: $3,5 \text{ см} + 3,5 \text{ см} = 7 \text{ см}$, что больше $6 \text{ см}$ ($7 > 6$). Неравенство верно, значит, такой треугольник существует.

Ответ: Треугольник построен. Основание AC равно 6 см, боковые стороны AB и BC, найденные как пересечение окружностей с радиусом 3,5 см, равны 3,5 см.

531 Ищем способ подсчёта

Сколько равносторонних треугольников изображено на рисунке 7.7?

Рис. 7.7

Для того чтобы подсчитать все равносторонние треугольники на рисунке, необходимо систематически посчитать треугольники всех возможных размеров.

За единицу длины примем сторону самого маленького треугольника.

Это самые маленькие треугольники, из которых состоит вся фигура. Их можно посчитать, разделив на две группы по ориентации:

• Треугольники, направленные вершиной вверх: их 6 (3 в нижнем ряду, 2 в среднем и 1 в верхнем).
• Треугольники, направленные вершиной вниз: их 3 (2 в нижнем ряду и 1 в среднем).

Всего треугольников со стороной 1: $6 + 3 = 9$.

Эти треугольники состоят из 4-х маленьких треугольников. Все они направлены вершиной вверх.

• Один треугольник, вершина которого совпадает с верхней вершиной всей фигуры.
• Два треугольника, основания которых лежат на основании всей фигуры (один слева, другой справа).

Всего треугольников со стороной 2: $1 + 2 = 3$.

Это самый большой треугольник, то есть вся фигура целиком. Такой треугольник всего один.

Всего треугольников со стороной 3: 1.

Чтобы найти общее количество, сложим число треугольников всех размеров:

$9 (\text{размер 1}) + 3 (\text{размер 2}) + 1 (\text{размер 3}) = 13$

Ответ: 13.

532 Исследуем

1) Постройте на нелинованной бумаге равнобедренный треугольник ABC, у которого AC – основание. Переведите его на кальку. Переверните кальку другой стороной вверх и опять совместите треугольники. Какой вывод можно сделать об углах при основании равнобедренного треугольника? Закончите предложение: «В равнобедренном треугольнике углы при основании...»

Рис. 7.7

2) У равностороннего треугольника все углы равны. Попробуйте объяснить, почему это так.

1) Проведем мысленный эксперимент, описанный в задаче.
Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По определению это означает, что его боковые стороны равны: $AB = BC$. Углы при основании — это $\angle BAC$ и $\angle BCA$.
Когда мы переводим треугольник на кальку, мы создаем его точную копию. Переворачивая кальку, мы совершаем осевую симметрию. Если теперь совместить перевернутый треугольник с исходным, поменяв местами вершины $A$ и $C$, то треугольники идеально совпадут. Вершина $A$ исходного треугольника совместится с вершиной $C$ на кальке, вершина $C$ — с вершиной $A$ на кальке, а вершина $B$ останется на своем месте.
Такое совмещение возможно, потому что боковые стороны равны ($AB = BC$), и при наложении сторона $AB$ совпадет со стороной $BC$ и наоборот. Полное совпадение треугольников означает и равенство их соответствующих углов. Угол $\angle BAC$ (при вершине $A$) исходного треугольника совпадет с углом при вершине $C$ на перевернутой кальке, который изначально был углом $\angle BCA$. Таким образом, мы делаем вывод, что $\angle BAC = \angle BCA$.
Вывод: у равнобедренного треугольника углы при основании равны.
Закончим предложение: «В равнобедренном треугольнике углы при основании равны».
Ответ: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2) Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны. Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$, у которого $AB = BC = CA$.
Мы можем рассмотреть этот треугольник как равнобедренный, выбрав в качестве основания любую из его сторон.
1. Пусть основанием является сторона $AC$. Тогда боковые стороны $AB$ и $BC$ равны. По свойству равнобедренного треугольника, которое мы установили в пункте 1, углы при основании $AC$ равны: $\angle BAC = \angle BCA$.
2. Теперь пусть основанием является сторона $AB$. Тогда боковые стороны $AC$ и $BC$ равны. Следовательно, углы при основании $AB$ также равны: $\angle ABC = \angle BAC$.
Из полученных равенств $\angle BAC = \angle BCA$ и $\angle ABC = \angle BAC$ следует, что все три угла треугольника равны между собой: $\angle ABC = \angle BAC = \angle BCA$.
Таким образом, в равностороннем треугольнике все углы равны, так как он является равнобедренным относительно любой из своих сторон.
Ответ: В равностороннем треугольнике все стороны равны. Если рассмотреть любую сторону как основание, то две другие стороны будут равными боковыми сторонами. Следовательно, по свойству равнобедренного треугольника, углы при этом основании равны. Поскольку это верно для любой из трех сторон, все три угла треугольника равны между собой.