Страница 140 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

533 Для приготовления маринада на 1 л воды требуется 12 г лимонной кислоты. Хозяйка готовит 6 л маринада. В магазине продаются пачки лимонной кислоты по 10 г. Какое наименьшее число пачек нужно купить хозяйке для приготовления маринада?

1. Сначала определим общее количество лимонной кислоты, необходимое для приготовления 6 литров маринада. Согласно рецепту, на 1 литр воды требуется 12 граммов кислоты. Значит, для 6 литров потребуется:

$12 \text{ г/л} \times 6 \text{ л} = 72 \text{ г}$

Таким образом, хозяйке нужно 72 грамма лимонной кислоты.

2. Теперь рассчитаем, сколько пачек лимонной кислоты нужно купить. В магазине кислота продается в пачках по 10 граммов. Чтобы найти необходимое количество пачек, разделим общее требуемое количество кислоты на вес одной пачки:

$72 \text{ г} \div 10 \text{ г/пачка} = 7,2 \text{ пачки}$

3. Так как пачки продаются только целиком, и 7 пачек будет недостаточно ($7 \times 10 = 70$ г, что меньше 72 г), необходимо округлить полученное число в большую сторону до ближайшего целого.

Наименьшее целое число пачек, которое обеспечит необходимое количество кислоты, — это 8. При покупке 8 пачек у хозяйки будет $8 \times 10 = 80$ г лимонной кислоты, чего будет достаточно.

Ответ: 8.

534 Разложите на простые множители число:

а) 1092;

б) 960.

а) Чтобы разложить число 1092 на простые множители, будем последовательно делить его на простые числа, начиная с наименьшего.

1. Число 1092 является четным, поэтому оно делится на 2:

$1092 : 2 = 546$

2. Полученное число 546 также четное, снова делим на 2:

$546 : 2 = 273$

3. Число 273 нечетное. Проверим, делится ли оно на 3. Сумма его цифр $2 + 7 + 3 = 12$. Так как 12 делится на 3, то и 273 делится на 3:

$273 : 3 = 91$

4. Проверим делимость числа 91 на следующие простые числа. Оно не делится на 5. Проверим деление на 7:

$91 : 7 = 13$

5. Число 13 является простым, оно делится только на 1 и на само себя.

Таким образом, мы нашли все простые множители числа 1092. Запишем их в виде произведения:

$1092 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13$

Ответ: $1092 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13$.

б) Разложим на простые множители число 960.

1. Число 960 четное, делим его на 2, пока это возможно:

$960 : 2 = 480$

$480 : 2 = 240$

$240 : 2 = 120$

$120 : 2 = 60$

$60 : 2 = 30$

$30 : 2 = 15$

2. Число 15 нечетное. Следующий по порядку простой делитель - 3. 15 делится на 3:

$15 : 3 = 5$

3. Число 5 является простым.

Теперь запишем разложение числа 960 в виде произведения полученных простых множителей:

$960 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^6 \cdot 3 \cdot 5$

Ответ: $960 = 2^6 \cdot 3 \cdot 5$.

535 Округлите число 47508 до десятков; до сотен; до тысяч.

Для округления числа до определенного разряда необходимо следовать правилам:

1. Найдите разряд, до которого нужно округлить число.
2. Посмотрите на цифру, стоящую справа от этого разряда.
3. Если эта цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то цифру в округляемом разряде оставьте без изменений, а все последующие цифры замените нулями.
4. Если эта цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то цифру в округляемом разряде увеличьте на единицу, а все последующие цифры замените нулями.

Применим эти правила к числу 47508.

до десятков
В числе 47508 цифра в разряде десятков — 0. Справа от нее находится цифра 8. Поскольку $8 \geq 5$, мы увеличиваем разряд десятков на 1 ($0+1=1$), а разряд единиц заменяем нулем.
$47508 \approx 47510$
Ответ: 47510

до сотен
В числе 47508 цифра в разряде сотен — 5. Справа от нее находится цифра 0. Поскольку $0 < 5$, мы оставляем разряд сотен без изменений, а разряды десятков и единиц заменяем нулями.
$47508 \approx 47500$
Ответ: 47500

до тысяч
В числе 47508 цифра в разряде тысяч — 7. Справа от нее находится цифра 5. Поскольку $5 \geq 5$, мы увеличиваем разряд тысяч на 1 ($7+1=8$), а разряды сотен, десятков и единиц заменяем нулями.
$47508 \approx 48000$
Ответ: 48000

Рис. 7.8

$AC = BD$

$OB = OC = OA = OD$

Рис. 7.9

Найдите прямоугольники на рисунке 7.8. Есть ли среди них квадрат?

Верно ли, что всякий квадрат является прямоугольником? Верно ли, что не всякий прямоугольник является квадратом?

Определите вид треугольников ABC, ABO, BOC (см. рис. 7.9). Ответ обоснуйте.

Расскажите, как построить квадрат со стороной 3 см, и выполните построения.

Чему равен периметр квадрата со стороной 3 см?

Найдите прямоугольники на рисунке 7.8. Есть ли среди них квадрат?
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые (равны $90^\circ$). На рисунке 7.8 этому определению соответствуют фигуры под номерами 1 и 5.
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Этому условию соответствует фигура под номером 5.
Ответ: Прямоугольниками являются фигуры 1 и 5. Среди них есть квадрат – это фигура 5.

Верно ли, что всякий квадрат является прямоугольником? Верно ли, что не всякий прямоугольник является квадратом?
Первое утверждение верно. По определению, у квадрата все углы прямые, что соответствует определению прямоугольника. Поэтому любой квадрат является частным случаем прямоугольника.
Второе утверждение также верно. У прямоугольника должны быть прямые углы, но его смежные стороны не обязательно должны быть равны. Если смежные стороны прямоугольника имеют разную длину, он не является квадратом.
Ответ: Да, верно, что всякий квадрат является прямоугольником. Да, верно, что не всякий прямоугольник является квадратом.

Определите вид треугольников ABC, ABO, BOC (см. рис. 7.9). Ответ обоснуйте.
Фигура ABCD на рисунке 7.9 – это прямоугольник.

• Треугольник ABC: Угол $\angle ABC$ является одним из углов прямоугольника, поэтому он прямой и равен $90^\circ$. Треугольник, имеющий прямой угол, называется прямоугольным.
• Треугольник ABO: Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, отрезки $OA$ и $OB$ являются половинами равных диагоналей, а значит $OA = OB$. Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным.
• Треугольник BOC: Аналогично, отрезки $OB$ и $OC$ равны, так как являются половинами равных диагоналей ($OB = OC$). Следовательно, треугольник BOC также является равнобедренным.

Ответ: Треугольник ABC – прямоугольный. Треугольники ABO и BOC – равнобедренные.

Расскажите, как построить квадрат со стороной 3 см, и выполните построения.
Для построения квадрата со стороной 3 см с помощью линейки и угольника (или транспортира) необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертить отрезок AD длиной 3 см.
2. От точки A под прямым углом ($90^\circ$) к отрезку AD начертить луч.
3. На этом луче отложить отрезок AB длиной 3 см.
4. От точки D под прямым углом ($90^\circ$) к отрезку AD начертить луч в ту же сторону, что и луч от точки А.
5. На этом луче отложить отрезок DC длиной 3 см.
6. Соединить точки B и C.

Получившаяся фигура ABCD и будет искомым квадратом.
Ответ: Построение выполняется в 6 шагов: чертится первая сторона (отрезок 3 см), от ее концов строятся два перпендикуляра в одну сторону, на них откладываются отрезки по 3 см, и их концы соединяются.

Чему равен периметр квадрата со стороной 3 см?
Периметр квадрата ($P$) – это сумма длин всех его четырех сторон. Так как все стороны квадрата равны, его периметр можно найти по формуле $P = 4a$, где $a$ – длина стороны квадрата.
Подставим значение стороны $a = 3$ см в формулу:
$P = 4 \times 3 = 12$ см.
Ответ: Периметр квадрата со стороной 3 см равен 12 см.