Страница 142 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Рис. 7.11

540 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Для каждого утверждения укажите рисунок, который его опровергает (рис. 7.11).

а) Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого есть две пары равных сторон.

б) Квадрат — это четырёхугольник, у которого все стороны равны.

в) Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого есть прямые углы.

а) Утверждение «Прямоугольник – это четырёхугольник, у которого есть две пары равных сторон» является неверным, так как это неполное определение. Чтобы его опровергнуть, необходимо найти четырёхугольник, который удовлетворяет этому условию (имеет две пары равных сторон), но не является прямоугольником. Таким контрпримером служит фигура, изображенная на рисунке 2. Эта фигура — дельтоид (кайт). У неё есть две пары равных смежных сторон. Если принять сторону клетки за 1, то можно вычислить длины сторон фигуры. Её вершины расположены в точках с координатами (1,1), (3,2), (6,1) и (3,0). Длины смежных сторон, сходящихся в вершине (1,1), равны $ \sqrt{(3-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{5} $ и $ \sqrt{(3-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{5} $. Длины смежных сторон, сходящихся в вершине (6,1), равны $ \sqrt{(6-3)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{10} $ и $ \sqrt{(6-3)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{10} $. Таким образом, у фигуры есть две пары равных сторон. Однако её углы не прямые, следовательно, она не является прямоугольником. Рисунок 2 опровергает данное утверждение.
Ответ: Рисунок 2.

б) Утверждение «Квадрат – это четырёхугольник, у которого все стороны равны» является неверным, так как это неполное определение квадрата. Чтобы его опровергнуть, нужно найти четырёхугольник, у которого все стороны равны, но который не является квадратом. Таким контрпримером является фигура на рисунке 3 — это ромб. У ромба все стороны равны. Проверим это для данной фигуры, приняв сторону клетки за 1. Вершины фигуры находятся в точках (0,1), (3,2), (6,1) и (3,0). Длина каждой стороны равна, например, $ \sqrt{(3-0)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10} $. Однако, чтобы четырёхугольник был квадратом, все его углы должны быть прямыми. У ромба на рисунке 3 углы не являются прямыми. Следовательно, рисунок 3 опровергает данное утверждение.
Ответ: Рисунок 3.

в) Утверждение «Прямоугольник – это четырёхугольник, у которого есть прямые углы» является неверным. Оно подразумевает, что любой четырёхугольник, имеющий прямые углы, является прямоугольником. Чтобы опровергнуть это утверждение, нужно найти четырёхугольник, у которого есть прямые углы, но который не является прямоугольником. Таким контрпримером является фигура на рисунке 1. Эта фигура — прямоугольная трапеция. Два её угла (левый верхний и левый нижний) являются прямыми, так как их стороны лежат на линиях сетки. Однако два других угла не прямые, а у прямоугольника все четыре угла должны быть прямыми. Таким образом, рисунок 1 опровергает данное утверждение.
Ответ: Рисунок 1.

541. Найдите периметр квадрата со стороной, равной:

а) 5 см;

б) 7 см 5 мм;

в) 10 см 3 мм.

Периметр квадрата (P) — это сумма длин всех его четырех равных сторон. Он вычисляется по формуле $P = 4a$, где $a$ – длина стороны квадрата.

а)

Дано, что сторона квадрата $a = 5$ см.

Найдем периметр, умножив длину стороны на 4:

$P = 4 \cdot 5$ см $= 20$ см.

Ответ: 20 см.

б)

Дано, что сторона квадрата $a = 7$ см $5$ мм.

Чтобы выполнить вычисления, сначала переведем длину стороны в одну единицу измерения, например, в миллиметры. Мы знаем, что $1$ см $= 10$ мм.

$a = 7$ см $5$ мм $= 7 \cdot 10$ мм $+ 5$ мм $= 70$ мм $+ 5$ мм $= 75$ мм.

Теперь найдем периметр:

$P = 4 \cdot 75$ мм $= 300$ мм.

Переведем результат обратно в сантиметры:

$300$ мм $= 30$ см.

Ответ: 30 см.

в)

Дано, что сторона квадрата $a = 10$ см $3$ мм.

Переведем длину стороны в миллиметры:

$a = 10$ см $3$ мм $= 10 \cdot 10$ мм $+ 3$ мм $= 100$ мм $+ 3$ мм $= 103$ мм.

Теперь найдем периметр:

$P = 4 \cdot 103$ мм $= 412$ мм.

Переведем результат обратно в сантиметры и миллиметры:

$412$ мм $= 410$ мм $+ 2$ мм $= 41$ см $2$ мм.

Ответ: 41 см 2 мм.

542 Найдите периметр прямоугольника со сторонами, равными:

а) 22 м и 14 м;

б) 3 м 45 см и 1 м 70 см.

а) Периметр прямоугольника $P$ сo сторонами $a$ и $b$ вычисляется по формуле:
$P = 2(a + b)$
В данном случае стороны прямоугольника равны $a = 22$ м и $b = 14$ м.
Подставим эти значения в формулу:
$P = 2(22 \text{ м} + 14 \text{ м})$
Сначала найдем сумму длин сторон:
$22 + 14 = 36$ м
Теперь умножим сумму на 2, чтобы найти периметр:
$P = 2 \cdot 36 = 72$ м
Ответ: 72 м.

б) Стороны прямоугольника равны $a = 3$ м $45$ см и $b = 1$ м $70$ см.
Для удобства вычислений переведем все размеры в сантиметры. В одном метре 100 сантиметров ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$).
$a = 3 \text{ м } 45 \text{ см} = 3 \cdot 100 \text{ см} + 45 \text{ см} = 300 \text{ см} + 45 \text{ см} = 345$ см
$b = 1 \text{ м } 70 \text{ см} = 1 \cdot 100 \text{ см} + 70 \text{ см} = 100 \text{ см} + 70 \text{ см} = 170$ см
Теперь используем формулу периметра $P = 2(a + b)$:
$P = 2(345 \text{ см} + 170 \text{ см})$
Найдем сумму длин сторон:
$345 + 170 = 515$ см
Теперь умножим сумму на 2:
$P = 2 \cdot 515 = 1030$ см
Переведем результат обратно в метры и сантиметры:
$1030 \text{ см} = 1000 \text{ см} + 30 \text{ см} = 10 \text{ м} \ 30$ см
Ответ: 10 м 30 см.

543 а) Периметр прямоугольника равен 36 см, длина одной стороны – 10 см. Найдите длину другой стороны прямоугольника.

б) Периметр квадрата равен 36 см. Чему равна его сторона?

а) Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $P$ — периметр, а $a$ и $b$ — длины его смежных сторон. По условию задачи, периметр $P$ равен 36 см, а длина одной стороны, пусть это будет $a$, равна 10 см.
Чтобы найти длину второй стороны $b$, можно сначала найти полупериметр (сумму длин двух смежных сторон), разделив периметр на 2:
$a + b = P \div 2 = 36 \div 2 = 18$ см.
Теперь, зная сумму сторон и длину одной из них, мы можем найти вторую сторону, вычтя известную сторону из полупериметра:
$b = 18 - a = 18 - 10 = 8$ см.
Таким образом, длина другой стороны прямоугольника составляет 8 см.
Ответ: 8 см.

б) Периметр квадрата — это сумма длин всех его четырех равных сторон. Формула для вычисления периметра квадрата: $P = 4s$, где $P$ — периметр, а $s$ — длина его стороны.
По условию, периметр квадрата $P$ равен 36 см.
Чтобы найти длину стороны квадрата $s$, необходимо его периметр разделить на количество сторон, то есть на 4:
$s = P \div 4 = 36 \div 4 = 9$ см.
Следовательно, сторона квадрата равна 9 см.
Ответ: 9 см.

544 Разметили два земельных участка прямоугольной формы. Размеры одного – 110 м и 190 м, а другого – 150 м и 140 м. У какого участка длина ограды будет больше?

Чтобы определить, у какого участка длина ограды будет больше, нужно найти периметр каждого прямоугольного участка. Длина ограды равна периметру.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$, где $a$ и $b$ — длины его сторон.

1. Найдем периметр первого участка со сторонами 110 м и 190 м:

$P_1 = 2 \cdot (110 + 190) = 2 \cdot 300 = 600$ м.

2. Найдем периметр второго участка со сторонами 150 м и 140 м:

$P_2 = 2 \cdot (150 + 140) = 2 \cdot 290 = 580$ м.

3. Сравним полученные значения периметров:

$600$ м > $580$ м.

Таким образом, длина ограды первого участка больше, чем у второго.

Ответ: Длина ограды будет больше у первого участка (размерами 110 м и 190 м).

545 ИЩЕМ СПОСОБ КОПИРОВАНИЯ

Скопируйте рисунок 7.12 на лист нелинованной бумаги и раскрасьте его по-своему. Расскажите алгоритм построения.

Рис. 7.12

Данный симметричный узор, известный как четырехлистник, можно построить с помощью циркуля и линейки. Для этого необходимо следовать определенному алгоритму.

1. Начертите на листе нелинованной бумаги квадрат. Для удобства можно обозначить его вершины.
2. Разделите квадрат на четыре равных малых квадрата. Для этого найдите середины каждой из четырех сторон и соедините отрезками середины противоположных сторон. Эти два отрезка (средние линии) пересекутся в центре исходного большого квадрата. Обозначим эту точку центром O.
3. Теперь необходимо найти центры каждого из четырех малых квадратов. Центр квадрата — это точка пересечения его диагоналей. Найдите эти четыре центра.
4. Далее все построения выполняются циркулем. Установите ножку циркуля в центр одного из малых квадратов (например, верхнего левого), а грифель — в центр большого квадрата (точку O). Таким образом, раствор циркуля будет равен расстоянию от центра малого квадрата до центра большого квадрата.
5. Не меняя полученный раствор циркуля, проведите первую дугу. С центром в центре верхнего левого малого квадрата проведите дугу, которая соединит середину верхней стороны большого квадрата с серединой его левой стороны. Эта дуга пройдет точно через центр O.
6. Последовательно перемещая ножку циркуля в центры трех оставшихся малых квадратов, проведите еще три дуги с тем же радиусом:
   • С центром в верхнем правом малом квадрате — дугу, соединяющую середины верхней и правой сторон.
   • С центром в нижнем правом малом квадрате — дугу, соединяющую середины правой и нижней сторон.
   • С центром в нижнем левом малом квадрате — дугу, соединяющую середины нижней и левой сторон.
7. В результате этих построений получится узор, изображенный на рисунке. Его можно раскрасить по своему усмотрению, например, выделив цветом центральный "цветок" и четыре угловых элемента.

Примечательно, что все четыре дуги являются частями окружностей одинакового радиуса. Если обозначить сторону малого квадрата как $a$, то его диагональ будет равна $a\sqrt{2}$. Центр малого квадрата делит его диагональ пополам, поэтому радиус $R$, равный расстоянию от центра малого квадрата до его вершины (в нашем случае, до точки O), равен половине длины диагонали: $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: Алгоритм построения узора заключается в последовательном черчении квадрата, делении его на четыре равные части, нахождении центров этих частей и проведении четырех дуг окружностей одинакового радиуса с центрами в найденных точках.

546 Начертите в тетради какой-нибудь прямоугольник с периметром, равным 24 см. Укажите длины его сторон. Начертите ещё один прямоугольник с таким же периметром, но с другими сторонами. Может ли среди таких прямоугольников быть квадрат?

Начертите в тетради какой-нибудь прямоугольник с периметром, равным 24 см. Укажите длины его сторон.

Периметр прямоугольника ($P$) вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — длины его смежных сторон. По условию задачи, периметр равен 24 см.

$2 \cdot (a+b) = 24$

Чтобы найти сумму длин двух смежных сторон, разделим периметр на 2:

$a+b = 24 / 2$

$a+b = 12$ см

Теперь нужно подобрать любую пару чисел, сумма которых равна 12. Например, пусть длина одной стороны $a$ будет 8 см. Тогда длина второй стороны $b$ будет:

$b = 12 - 8 = 4$ см

Таким образом, можно начертить прямоугольник со сторонами 8 см и 4 см.
Ответ: Прямоугольник со сторонами 8 см и 4 см.

Начертите ещё один прямоугольник с таким же периметром, но с другими сторонами.

Для этого нужно найти другую пару чисел, сумма которых также равна 12. Например, возьмем длину одной стороны $a$ равной 10 см. Тогда длина второй стороны $b$ будет:

$b = 12 - 10 = 2$ см

Проверим периметр: $P = 2 \cdot (10 + 2) = 2 \cdot 12 = 24$ см. Условие выполняется.
Ответ: Прямоугольник со сторонами 10 см и 2 см.

Может ли среди таких прямоугольников быть квадрат?

Квадрат — это частный случай прямоугольника, у которого все стороны равны ($a=b$). Используем наше уравнение для суммы сторон: $a+b=12$. Если $a=b$, то можно записать:

$a+a = 12$

$2a = 12$

$a = 12 / 2$

$a = 6$ см

Это означает, что если стороны прямоугольника равны 6 см, то он является квадратом. Его периметр будет равен $P = 4 \cdot a = 4 \cdot 6 = 24$ см. Следовательно, среди прямоугольников с периметром 24 см может быть квадрат.
Ответ: Да, может. Это будет квадрат со стороной 6 см.

547 Представьте, что вам надо определить периметр вашей классной комнаты, а у вас нет измерительных инструментов. Определите размеры комнаты на глаз, а затем проверьте себя, выполнив необходимые измерения.

Это практическое задание, которое нужно выполнить в реальных условиях. Ниже приведен примерный план действий и гипотетические расчеты, которые показывают, как можно выполнить это задание.

Так как у нас нет измерительных инструментов, мы можем использовать для измерения длины и ширины комнаты подручные средства. Самый простой способ — измерение шагами. Для этого нужно пройти вдоль каждой стены, считая количество шагов.

Предположим, что классная комната имеет форму прямоугольника. Выполним следующие действия:

1. Пройдем вдоль длинной стены (длины) и сосчитаем шаги. Допустим, у нас получилось 12 шагов.
2. Пройдем вдоль короткой стены (ширины) и сосчитаем шаги. Допустим, получилось 8 шагов.
3. Оценим длину своего среднего шага. Для ученика среднего школьного возраста она может составлять примерно 0,6–0,7 метра. Возьмем для расчета 0,7 м.

Теперь можно рассчитать примерные размеры комнаты:

Примерная длина $a \approx 12 \text{ шагов} \times 0.7 \text{ м/шаг} = 8.4 \text{ м}$

Примерная ширина $b \approx 8 \text{ шагов} \times 0.7 \text{ м/шаг} = 5.6 \text{ м}$

Периметр прямоугольника находится по формуле $P = 2 \times (a + b)$. Подставим наши оценочные значения:

$P_{оценка} = 2 \times (8.4 \text{ м} + 5.6 \text{ м}) = 2 \times 14 \text{ м} = 28 \text{ м}$

Ответ: Оценочный периметр классной комнаты составляет 28 метров.

Теперь возьмем измерительный инструмент, например, рулетку, и измерим точные размеры комнаты, чтобы проверить нашу оценку.

Допустим, точные измерения дали следующие результаты:

Точная длина $a = 8.0 \text{ м}$

Точная ширина $b = 5.5 \text{ м}$

Рассчитаем точный периметр по той же формуле $P = 2 \times (a + b)$:

$P_{точный} = 2 \times (8.0 \text{ м} + 5.5 \text{ м}) = 2 \times 13.5 \text{ м} = 27 \text{ м}$

Сравним результаты: оценочный периметр (28 м) и точный периметр (27 м). Расхождение составило всего $28 - 27 = 1$ метр, что говорит о достаточно хорошей точности первоначальной оценки "на глаз".

Ответ: Точный периметр классной комнаты, измеренный с помощью рулетки, составляет 27 метров.

548 Представьте, что вам надо начертить план комнаты, имеющей форму прямоугольника, длина которого равна 4 м, ширина — 3 м. Пусть сторона одной клетки тетради изображает 1 м. Начертите такой прямоугольник. Затем начертите прямоугольник с такими же размерами, если 1 м изображается отрезком, равным 1 см.

Для решения этой задачи необходимо выполнить два чертежа плана комнаты в разных масштабах.

План в масштабе "1 клетка = 1 м"

Сначала начертим план комнаты, используя первый масштаб.
Дано:
- Длина комнаты: 4 м
- Ширина комнаты: 3 м
- Масштаб: 1 клетка тетради соответствует 1 метру.

Чтобы найти размеры плана в клетках, переведем реальные размеры в масштабные:

Длина на плане: $4 \text{ м} \times \frac{1 \text{ клетка}}{1 \text{ м}} = 4 \text{ клетки}$

Ширина на плане: $3 \text{ м} \times \frac{1 \text{ клетка}}{1 \text{ м}} = 3 \text{ клетки}$

Таким образом, на листе в клетку нужно начертить прямоугольник со сторонами 4 клетки и 3 клетки.

Ответ: Необходимо начертить прямоугольник со сторонами 4 клетки и 3 клетки.

План в масштабе "1 см = 1 м"

Теперь начертим план той же комнаты, но в другом масштабе.
Дано:
- Длина комнаты: 4 м
- Ширина комнаты: 3 м
- Масштаб: 1 см на чертеже соответствует 1 метру.

Рассчитаем размеры для нового плана в сантиметрах:

Длина на плане: $4 \text{ м} \times \frac{1 \text{ см}}{1 \text{ м}} = 4 \text{ см}$

Ширина на плане: $3 \text{ м} \times \frac{1 \text{ см}}{1 \text{ м}} = 3 \text{ см}$

Следовательно, с помощью линейки нужно начертить прямоугольник со сторонами 4 см и 3 см.

Ответ: Необходимо начертить прямоугольник со сторонами 4 см и 3 см.