Страница 143 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

549 ИЩЕМ СПОСОБ ПОДСЧЁТА Сколько прямоугольников вы видите на рисунке 7.13?

Ищем способ подсчёта

Чтобы найти общее количество прямоугольников на рисунке, можно провести подсчёт, систематически группируя их по размеру.

1. Прямоугольники, состоящие из одной ячейки (самые маленькие). На рисунке их 4.

2. Прямоугольники, состоящие из двух ячеек. Среди них 2 горизонтальных (верхний и нижний ряды) и 2 вертикальных (левый и правый столбцы). Всего таких прямоугольников $2 + 2 = 4$.

3. Прямоугольник, состоящий из всех четырех ячеек (самый большой). Он всего 1.

Теперь сложим количество всех найденных прямоугольников, чтобы получить итоговый результат:

$4 + 4 + 1 = 9$

Также эту задачу можно решить с помощью комбинаторики. Любой прямоугольник на сетке определяется выбором двух горизонтальных и двух вертикальных линий, которые служат его сторонами. На данном рисунке 3 горизонтальные и 3 вертикальные линии.

Число способов выбрать 2 горизонтальные линии из 3 доступных равно числу сочетаний из 3 по 2:

$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times 1} = 3$

Аналогично, число способов выбрать 2 вертикальные линии из 3 доступных также равно:

$C_3^2 = 3$

Общее количество прямоугольников равно произведению этих двух значений:

$3 \times 3 = 9$

Ответ: 9.

550 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Для строительства спортивного городка выделили территорию в форме прямоугольника со сторонами 120 м и 130 м. На ней необходимо разместить футбольное поле, волейбольную и баскетбольную площадки, теннисный корт. Размеры площадок (в метрах) даны в таблице. Расстояние от внешней ограды городка до площадок и между площадками должно быть не менее 10 м. Представьте, что вам поручено начертить план спортивного городка. Начертите план в тетради, приняв сторону клетки тетради за 10 м.

Рис. 7.13

Площадка | Длина, м | Ширина, м

Футбольное поле | 100 | 70

Баскетбольная | 28 | 15

Волейбольная | 18 | 9

Теннисный корт | 40 | 20

Для решения этой задачи необходимо разработать план размещения всех спортивных площадок на выделенной территории, соблюдая указанные размеры и обязательные отступы. Решение можно разбить на несколько этапов: анализ доступного пространства, разработка схемы размещения и подготовка описания для чертежа.

1. Расчет размеров и доступного пространства

Сначала определим размеры "рабочей" зоны, в которой можно размещать площадки. Общая территория представляет собой прямоугольник со сторонами $130$ м и $120$ м.

По условию, расстояние от внешней ограды до любой площадки должно быть не менее $10$ м. Это означает, что со всех четырех сторон нужно сделать отступ в $10$ м. Таким образом, размеры внутреннего прямоугольника (рабочей зоны), в котором можно размещать объекты, будут следующими:

• Длина рабочей зоны: $130 \text{ м} - 10 \text{ м} \text{ (сверху)} - 10 \text{ м} \text{ (снизу)} = 110 \text{ м}$.
• Ширина рабочей зоны: $120 \text{ м} - 10 \text{ м} \text{ (слева)} - 10 \text{ м} \text{ (справа)} = 100 \text{ м}$.

Все площадки должны быть размещены внутри прямоугольника размером $110 \times 100$ м, при этом расстояние между самими площадками также должно быть не менее $10$ м.

Ответ: Размеры доступной для застройки территории, с учетом отступов от ограды, составляют $110 \times 100$ м.

2. План размещения объектов

Наиболее эффективный способ — начать размещение с самого большого объекта, футбольного поля.

1. Размещение футбольного поля.
   Размеры футбольного поля: $100 \times 70$ м. Размеры рабочей зоны: $110 \times 100$ м.
   Разместим футбольное поле так, чтобы его длинная сторона ($100$ м) располагалась параллельно длинной стороне рабочей зоны ($110$ м), а короткая сторона ($70$ м) — параллельно короткой ($100$ м). Таким образом, футбольное поле займет область $100 \times 70$ м внутри рабочей зоны.
2. Определение оставшегося пространства.
   После размещения футбольного поля и учета обязательного отступа в $10$ м от него, у нас остается свободное пространство для остальных объектов. Если расположить поле вплотную к одной из сторон рабочей зоны, то с другой стороны образуется свободная полоса. Например, вдоль стороны в $100$ м мы занимаем $70$ м под поле и $10$ м под буферную зону.
   Оставшееся пространство будет представлять собой прямоугольник размером:
   • Длина: $110$ м (та же, что и у рабочей зоны).
   • Ширина: $100 \text{ м} \text{ (ширина раб. зоны)} - 70 \text{ м} \text{ (ширина поля)} - 10 \text{ м} \text{ (отступ)} = 20 \text{ м}$.
   Итак, у нас есть полоса размером $110 \times 20$ м для размещения теннисного корта, баскетбольной и волейбольной площадок.
3. Размещение остальных площадок.
   Размеры оставшихся площадок:
   • Теннисный корт: $40 \times 20$ м.
   • Баскетбольная площадка: $28 \times 15$ м.
   • Волейбольная площадка: $18 \times 9$ м.
   Их можно расположить в ряд в оставшейся полосе $110 \times 20$ м. Ширина каждой из этих площадок не превышает $20$ м, поэтому они все помещаются по ширине. Проверим, помещаются ли они по длине с учетом отступов в $10$ м между ними:
   $40 \text{ м (теннис)} + 10 \text{ м (отступ)} + 28 \text{ м (баскетбол)} + 10 \text{ м (отступ)} + 18 \text{ м (волейбол)} = 106 \text{ м}$.
   Общая требуемая длина $106$ м меньше, чем доступные $110$ м ($106 \leq 110$). Следовательно, такой план размещения возможен.

Ответ: Футбольное поле ($100 \times 70$ м) размещается в основной части рабочей зоны. В оставшейся полосе размером $110 \times 20$ м в ряд, с отступами по $10$ м, размещаются теннисный корт, баскетбольная и волейбольная площадки.

3. Пошаговая инструкция для чертежа в тетради

Принимаем масштаб: 1 клетка тетради = $10$ м.

1. Начертите внешний прямоугольник (ограду городка) размером 13 клеток в длину (по вертикали) и 12 клеток в ширину (по горизонтали).
2. Отступите по 1 клетке с каждой стороны внутрь. У вас получится внутренняя "рабочая зона" размером 11 клеток в длину и 10 клеток в ширину.
3. Футбольное поле (10x7 клеток): Внутри рабочей зоны начертите прямоугольник размером 10 клеток в длину и 7 клеток в ширину. Например, расположите его так, чтобы он занимал 10 верхних клеток в 7 левых столбцах рабочей зоны.
4. Буферная зона: Справа от футбольного поля останется полоса шириной $10 - 7 = 3$ клетки. Одна из этих колонок (например, самая левая из трех) будет буферной зоной шириной в 1 клетку ($10$ м).
5. Оставшиеся площадки: Справа от буферной зоны у вас осталась полоса размером 11 клеток в длину и 2 клетки в ширину. В этой полосе разместите оставшиеся площадки, начиная сверху:
   • Теннисный корт (4x2 клетки): Начертите прямоугольник 4 клетки в длину и 2 клетки в ширину.
   • Отступите 1 клетку вниз (это буфер $10$ м).
   • Баскетбольная площадка (2.8x1.5 клетки): Начертите прямоугольник размером примерно 3 клетки в длину и 1.5 клетки в ширину.
   • Отступите 1 клетку вниз.
   • Волейбольная площадка (1.8x0.9 клетки): Начертите прямоугольник размером примерно 2 клетки в длину и 1 клетку в ширину.

Оставшееся свободное место между площадками и границами рабочей зоны будет дополнительным пространством, так как все минимальные отступы соблюдены.

Ответ: План успешно размещается на листе в клетку с масштабом 1 клетка = 10 м, следуя приведенной инструкции.

551 НАБЛЮДАЕМ На рисунке 7.14 изображены различные четырёхугольники. Назовите те из них, у которых диагонали:

а) равны;

б) в точке пересечения делятся пополам;

в) равны и в точке пересечения делятся пополам;

г) пересекаются под прямым углом;

д) равны и пересекаются под прямым углом;

е) в точке пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым углом;

ж) равны, в точке пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым углом.

прямоугольник квадрат трапеция параллелограмм ромб

Рис. 7.14

а) равны
Диагонали равны у прямоугольника, квадрата и равнобокой трапеции. На рисунке изображена именно равнобокая трапеция, поэтому она входит в ответ.
Ответ: прямоугольник, квадрат, трапеция.

б) в точке пересечения делятся пополам
Это свойство всех параллелограммов. Из фигур на рисунке это параллелограмм и его частные случаи: прямоугольник, квадрат и ромб.
Ответ: прямоугольник, квадрат, параллелограмм, ромб.

в) равны и в точке пересечения делятся пополам
Этим свойством обладают четырёхугольники, являющиеся прямоугольниками. Квадрат — частный случай прямоугольника.
Ответ: прямоугольник, квадрат.

г) пересекаются под прямым углом
Это свойство ромбов. Квадрат является частным случаем ромба, поэтому его диагонали также перпендикулярны.
Ответ: квадрат, ромб.

д) равны и пересекаются под прямым углом
Из всех представленных фигур только у квадрата диагонали одновременно равны и перпендикулярны.
Ответ: квадрат.

е) в точке пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым углом
Этим свойством обладают ромбы. Квадрат, как частный случай ромба, также подходит.
Ответ: квадрат, ромб.

ж) равны, в точке пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым углом
Всеми тремя свойствами одновременно обладает только квадрат. Это его отличительная особенность.
Ответ: квадрат.