Страница 147 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

▮ Рис. 7.22

▮ Рис. 7.23

▮ Рис. 7.24

561 1) Вырежите из бумаги четыре треугольника, равные треугольнику, изображённому на рисунке 7.22 (это равносторонний треугольник со стороной 3 см). Сложите из них: а) треугольник; б) четырёхугольник.

2) Вырежите из бумаги четыре равных квадрата со стороной 3 см. Сложите из них: а) квадрат; б) прямоугольник.

3) Из имеющихся у вас четырёх треугольников и четырёх квадратов сложите многоугольник, как показано на рисунке 7.23.

1)

Для выполнения этого задания нам понадобятся четыре одинаковых равносторонних треугольника со стороной $3$ см.

а) треугольник

Чтобы сложить из четырёх маленьких равносторонних треугольников один большой, нужно расположить три из них в ряд, так чтобы их основания лежали на одной прямой. Это создаст основание большого треугольника длиной $3 \text{ см} + 3 \text{ см} = 6 \text{ см}$. Затем четвёртый треугольник нужно поместить в перевёрнутом виде в выемку, образовавшуюся над центральным треугольником. В результате получится большой равносторонний треугольник со стороной $6$ см.

Ответ: можно сложить, расположив три треугольника в основании и один перевёрнутый сверху в центре.

б) четырёхугольник

Чтобы сложить четырёхугольник, можно, например, составить ромб. Для этого нужно взять два треугольника и приложить их друг к другу по одной из сторон. Получится ромб. Затем к одной из сторон этого ромба приложить третий треугольник, а к противоположной стороне — четвёртый. В результате получится параллелограмм (разновидность четырёхугольника) со сторонами $3$ см и $6$ см. Другой вариант — сложить два ромба из двух треугольников каждый, а затем соединить эти ромбы по стороне.

Ответ: можно сложить, например, параллелограмм, соединив треугольники последовательно друг с другом.

2)

Для этого задания нам понадобятся четыре одинаковых квадрата со стороной $3$ см.

а) квадрат

Чтобы сложить из четырёх маленьких квадратов один большой, их нужно расположить в виде сетки $2 \times 2$. Два квадрата в нижнем ряду и два квадрата в верхнем ряду. В результате получится большой квадрат со стороной $3 \text{ см} + 3 \text{ см} = 6 \text{ см}$.

Ответ: можно сложить, расположив квадраты в виде сетки $2 \times 2$.

б) прямоугольник

Чтобы сложить прямоугольник, который не является квадратом, нужно расположить все четыре квадрата в один ряд, прикладывая их друг к другу сторонами. В результате получится прямоугольник со сторонами $3$ см и $4 \times 3 \text{ см} = 12 \text{ см}$.

Ответ: можно сложить, расположив все квадраты в один ряд.

3)

Чтобы из четырёх равносторонних треугольников и четырёх квадратов (все со стороной $3$ см) сложить многоугольник, как на рисунке 7.23, нужно выполнить следующие шаги:

1. Сначала создадим четыре одинаковых "модуля". Для этого соединим каждый квадрат с одним треугольником по любой из сторон. Получится четыре одинаковые пятиугольные фигуры.
2. Теперь расположим эти четыре модуля так, чтобы их треугольные части были обращены к центру фигуры.
3. Соединим два модуля так, чтобы вершины их треугольников соприкасались. Проделаем то же самое с оставшимися двумя модулями.
4. Наконец, соединим получившиеся две пары фигур по свободным сторонам их квадратов. В результате получится многоугольник, изображённый на рисунке.

Ответ: нужно соединить каждый квадрат с треугольником, а затем сложить полученные четыре фигуры треугольниками к центру, как описано выше.

562 a) Обведите четыре клеточки тетрадного листа так, чтобы получился многоугольник. Сколько различных многоугольников можно нарисовать таким способом?

б) Из двух равных «уголков» (рис. 7.24) можно составить разные фигуры. Нарисуйте их в тетради. Может ли среди этих фигур быть прямоугольник?

Рис. 7.24

а)

Задача состоит в том, чтобы найти все возможные многоугольники, которые можно составить из четырех клеточек тетрадного листа, соединенных сторонами. Такие фигуры в математике называют «тетромино». Различными считаются фигуры, которые нельзя совместить друг с другом путем поворотов и зеркальных отражений.

Существует всего 5 таких различных фигур:

Ответ: 5.

б)

Фигура «уголок», изображенная на рис. 7.24, состоит из трех клеточек. Такая фигура называется L-тримино.

Из двух таких одинаковых «уголков» можно составить разные фигуры. Общая площадь каждой такой фигуры будет равна $3 + 3 = 6$ клеточек. Вот несколько примеров:

Ответим на вопрос, может ли среди этих фигур быть прямоугольник. Прямоугольник, состоящий из 6 клеточек, может иметь размеры $1 \times 6$ или $2 \times 3$.

• Прямоугольник $1 \times 6$ составить невозможно, так как «уголок» имеет ширину в 2 клетки.

• Прямоугольник $2 \times 3$ составить возможно. Для этого нужно соединить два «уголка», один из которых повернут.

На рисунке показано, как это сделать:

Таким образом, из двух равных «уголков» можно составить прямоугольник.

Ответ: да, может.

563 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Если утверждение неверно, опровергните его, сделав чертёж.

а) Два прямоугольника равны, если у них есть по одной паре равных сторон.

б) Два треугольника равны, если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника.

а) Утверждение неверно. Два прямоугольника равны (конгруэнтны) тогда и только тогда, когда равны их смежные стороны (длина и ширина). Если стороны одного прямоугольника равны $a$ и $b$, а стороны второго — $c$ и $d$, то для равенства прямоугольников необходимо выполнение условий $a=c$ и $b=d$ (или $a=d$ и $b=c$). Условие равенства только одной пары сторон не является достаточным для равенства прямоугольников.

Чтобы опровергнуть утверждение, приведем контрпример. Рассмотрим два прямоугольника:

• Прямоугольник 1 со сторонами 5 и 3.
• Прямоугольник 2 со сторонами 7 и 3.

У этих прямоугольников есть одна пара равных сторон (сторона длиной 3), но другие стороны не равны ($5 \neq 7$). Следовательно, сами прямоугольники не равны, что и показано на чертеже.

Ответ: Неверно.

б) Утверждение неверно. Для равенства (конгруэнтности) двух треугольников недостаточно равенства только двух пар их сторон. Данное условие не является признаком равенства треугольников. Существует признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (второй признак): два треугольника равны, если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника. В утверждении отсутствует важное условие о равенстве углов, заключенных между равными сторонами.

Приведем контрпример. Построим два треугольника, у которых две стороны соответственно равны 5 и 7, но углы между ними различны. Например, в одном треугольнике угол между этими сторонами равен $30^\circ$, а в другом — $60^\circ$.

На чертеже видно, что у обоих треугольников есть стороны длиной 5 и 7, но сами треугольники не равны, так как их форма и третья сторона различны. Это происходит из-за того, что углы между равными сторонами не равны.

Ответ: Неверно.

564 Начертите прямоугольник, обозначьте его. Проведите диагонали и обозначьте точку их пересечения. Перечислите все получившиеся треугольники. Есть ли среди них равные треугольники? Назовите их.

Начертите прямоугольник, обозначьте его. Проведите диагонали и обозначьте точку их пересечения.

Выполним построение согласно заданию. Начертим прямоугольник и обозначим его вершины буквами A, B, C и D. Проведём в нём диагонали AC и BD. Точку их пересечения обозначим буквой O. Все дальнейшие рассуждения будут основаны на этом построении.

Перечислите все получившиеся треугольники.

В результате построения диагонали делят прямоугольник на 8 треугольников. Их можно разделить на две группы:
1. Четыре треугольника, образованные отрезками диагоналей и сторонами прямоугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$, $\triangle DOA$.
2. Четыре прямоугольных треугольника, каждый из которых образован двумя сторонами и одной диагональю прямоугольника: $\triangle ABC$, $\triangle ADC$, $\triangle ABD$, $\triangle BCD$.

Ответ: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$, $\triangle DOA$, $\triangle ABC$, $\triangle ADC$, $\triangle ABD$, $\triangle BCD$.

Есть ли среди них равные треугольники? Назовите их.

Да, среди этих треугольников есть равные. Их равенство можно доказать, используя свойства прямоугольника:
- Противоположные стороны прямоугольника равны ($AB = CD$, $BC = AD$).
- Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам ($AC = BD$; $AO = OC = BO = OD$).

Исходя из этих свойств, можно выделить следующие группы равных треугольников:
1. $\triangle AOB = \triangle COD$. Эти треугольники равны по трём сторонам: $AB = CD$ (как противоположные стороны прямоугольника), $AO = CO$ и $BO = DO$ (так как диагонали делятся точкой пересечения пополам).
2. $\triangle BOC = \triangle DOA$. Эти треугольники также равны по трём сторонам: $BC = DA$ (как противоположные стороны), $BO = DO$ и $CO = AO$.
3. $\triangle ABC = \triangle ADC = \triangle BAD = \triangle BCD$. Все четыре больших прямоугольных треугольника равны между собой. Например, $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ равны, так как у них общая гипотенуза $AC$ и равные катеты $BC=AD$. Так как диагонали прямоугольника равны ($AC=BD$), то все четыре треугольника этой группы равны между собой.

Ответ: Да, есть. Равными являются следующие группы треугольников:
- $\triangle AOB$ и $\triangle COD$;
- $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$;
- $\triangle ABC$, $\triangle ADC$, $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$.

565 Круг составлен из четырёх равных элементов (рис. 7.25). Нарисуйте этот элемент в тетради.

Рис. 7.25

Фигура, представленная на рисунке, состоит из четырёх равных элементов, которые вместе образуют круг. Фигура обладает поворотной симметрией 4-го порядка, это означает, что все четыре элемента одинаковы и каждый может быть получен из другого поворотом на $90^\circ$ вокруг центра круга.

Рассмотрим один из элементов, например, тот, что расположен в верхней левой части (зелёный на рисунке). Его можно построить, следуя приведённой ниже инструкции. Для построения понадобятся циркуль, линейка и тетрадный лист в клетку.

Каждый элемент ограничен тремя дугами: одной дугой большого круга и двумя дугами полуокружностей, радиус которых вдвое меньше радиуса большого круга.

1. Выберите центр и проведите оси. На листе в клетку выберите точку пересечения линий и обозначьте её как центр $O$. Проведите через точку $O$ две перпендикулярные прямые — горизонтальную и вертикальную оси.
2. Задайте радиус. Выберите радиус большого круга $R$. Для удобства построения лучше выбрать чётное число клеток, например, $R = 6$ клеток. Тогда радиус малых полуокружностей будет равен $r = R/2 = 3$ клетки.
3. Отметьте ключевые точки. Отложите от центра $O$ по осям расстояние, равное радиусу $R$. Обозначим точку на вертикальной оси сверху как $A$, а точку на горизонтальной оси слева как $C$.
4. Постройте внешнюю дугу. Установите ножку циркуля в центр $O$, а грифель — в точку $A$ (или $C$). Радиус циркуля должен быть равен $R$. Проведите дугу окружности, соединяющую точки $A$ и $C$. Это внешняя граница элемента.
5. Постройте первую внутреннюю дугу. Эта дуга соединяет точки $O$ и $A$.
   • Найдите середину отрезка $OA$. Обозначим её $M_1$.
   • Установите ножку циркуля в точку $M_1$, а грифель — в точку $O$ (или $A$). Радиус циркуля будет равен $r = R/2$.
   • Проведите дугу полуокружности, соединяющую $O$ и $A$. Согласно рисунку, эта дуга должна быть выпуклой влево (это правая полуокружность с центром на оси $Oy$).
6. Постройте вторую внутреннюю дугу. Эта дуга соединяет точки $C$ и $O$.
   • Найдите середину отрезка $CO$. Обозначим её $M_2$.
   • Установите ножку циркуля в точку $M_2$, а грифель — в точку $C$ (или $O$). Радиус циркуля также будет равен $r = R/2$.
   • Проведите дугу полуокружности, соединяющую $C$ и $O$. Согласно рисунку, эта дуга должна быть выпуклой вверх (это верхняя полуокружность с центром на оси $Ox$).

В результате этих действий будет построен один из четырёх равных элементов, из которых составлен круг. Область, ограниченная тремя построенными дугами (O → A → C → O), и есть искомый элемент.

Ответ:

Изображение одного из элементов, который необходимо нарисовать в тетради, представлено ниже. Он ограничен снаружи дугой большого круга, а изнутри — двумя дугами полуокружностей.

566 Начертите круг и, проведя радиусы, разрежьте его:

а) на 3 равные части;

б) на 6 равных частей. Укажите величину угла между радиусами.

Чтобы разрезать круг на несколько равных частей (секторов) с помощью радиусов, необходимо разделить полный центральный угол, равный $360^{\circ}$, на заданное количество частей. Полученное значение и будет величиной угла между соседними радиусами.

а)

Для того чтобы разрезать круг на 3 равные части, нужно разделить $360^{\circ}$ на 3. Вычислим величину угла между радиусами:

$$ \frac{360^{\circ}}{3} = 120^{\circ} $$

Таким образом, нужно провести 3 радиуса из центра круга так, чтобы угол между каждыми двумя соседними радиусами был равен $120^{\circ}$.

Ответ: $120^{\circ}$.

б)

Для того чтобы разрезать круг на 6 равных частей, нужно разделить $360^{\circ}$ на 6. Вычислим величину угла между радиусами:

$$ \frac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ} $$

Следовательно, нужно провести 6 радиусов из центра круга так, чтобы угол между каждыми двумя соседними радиусами был равен $60^{\circ}$.

Ответ: $60^{\circ}$.

567 Возьмите квадрат и проведите его диагонали. Разрежьте квадрат по диагоналям. Какие фигуры вы получили? Равны ли они? Сложите из частей квадрата следующие фигуры и нарисуйте их:

а) два квадрата;

б) прямоугольник;

в) треугольник;

г) четырёхугольник, не являющийся прямоугольником;

д) шестиугольник.

При разрезании квадрата по его двум диагоналям получаются четыре одинаковых (равных) прямоугольных равнобедренных треугольника. У каждого такого треугольника гипотенуза равна стороне исходного квадрата, а катеты равны половине диагонали квадрата.

Из этих четырех треугольников можно сложить различные фигуры.