Страница 154 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

592 Размеры футбольного поля могут изменяться в следующих пределах: длина – от 100 м до 110 м, ширина – от 64 м до 75 м. Рекомендуемые значения для проведения международных матчей составляют: длина – 105 м, ширина – 68 м. Чему равна минимальная, максимальная и рекомендуемая площадь футбольного поля?

Площадь футбольного поля, которое имеет прямоугольную форму, вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ – длина, а $b$ – ширина.

Минимальная площадь

Чтобы найти минимальную площадь, необходимо перемножить минимальные значения длины и ширины.

Минимальная длина: $100$ м.
Минимальная ширина: $64$ м.

$S_{мин} = 100 \text{ м} \cdot 64 \text{ м} = 6400 \text{ м}^2$.

Ответ: минимальная площадь футбольного поля равна $6400 \text{ м}^2$.

Максимальная площадь

Чтобы найти максимальную площадь, необходимо перемножить максимальные значения длины и ширины.

Максимальная длина: $110$ м.
Максимальная ширина: $75$ м.

$S_{макс} = 110 \text{ м} \cdot 75 \text{ м} = 8250 \text{ м}^2$.

Ответ: максимальная площадь футбольного поля равна $8250 \text{ м}^2$.

Рекомендуемая площадь

Чтобы найти рекомендуемую площадь, необходимо перемножить рекомендуемые значения длины и ширины для международных матчей.

Рекомендуемая длина: $105$ м.
Рекомендуемая ширина: $68$ м.

$S_{рек} = 105 \text{ м} \cdot 68 \text{ м} = 7140 \text{ м}^2$.

Ответ: рекомендуемая площадь футбольного поля равна $7140 \text{ м}^2$.

593 ИССЛЕДУЕМ

1) Площадь каждого из пяти различных прямоугольников равна $36 см^2$, а сторона выражена в сантиметрах. Какими могут быть их периметры? Рассмотрите все возможные варианты и заполните таблицу.

Какой из данных прямоугольников имеет наименьший периметр?

2) Необходимо огородить участок земли прямоугольной формы площадью $900 м^2$. Какими должны быть его стороны, чтобы длина забора была наименьшей?

1)

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ – длина, а $b$ – ширина. Периметр ($P$) прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$.

По условию, площадь каждого прямоугольника равна 36 см², а стороны выражены в сантиметрах. Чтобы найти все возможные варианты сторон, нужно найти все пары целых чисел, произведение которых равно 36. Это пары делителей числа 36:

• 1 и 36
• 2 и 18
• 3 и 12
• 4 и 9
• 6 и 6

Теперь для каждой пары сторон вычислим соответствующий периметр:

• Для сторон 1 см и 36 см: $P = 2(1 + 36) = 2 \cdot 37 = 74$ см.
• Для сторон 2 см и 18 см: $P = 2(2 + 18) = 2 \cdot 20 = 40$ см.
• Для сторон 3 см и 12 см: $P = 2(3 + 12) = 2 \cdot 15 = 30$ см.
• Для сторон 4 см и 9 см: $P = 2(4 + 9) = 2 \cdot 13 = 26$ см.
• Для сторон 6 см и 6 см: $P = 2(6 + 6) = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Заполним таблицу, расположив прямоугольники в порядке убывания длины большей стороны.

Сравнивая полученные значения периметров, видим, что наименьший периметр имеет прямоугольник №5, у которого стороны равны (квадрат). Его периметр равен 24 см.

Ответ: наименьший периметр (24 см) имеет прямоугольник со сторонами 6 см и 6 см.

2)

В этой задаче требуется найти стороны прямоугольного участка, чтобы при заданной площади длина забора (периметр) была наименьшей. Площадь участка $S = 900$ м².

Как показывает решение из первого пункта, при фиксированной площади наименьший периметр имеет прямоугольник, у которого стороны максимально близки по длине. Идеальным случаем является квадрат, у которого стороны равны.

Найдем сторону квадрата $a$, площадь которого равна 900 м²:

$S = a \cdot a = a^2 = 900$ м²

Отсюда, $a = \sqrt{900} = 30$ м.

Таким образом, чтобы длина забора была наименьшей, участок должен иметь форму квадрата со сторонами 30 на 30 метров.

Ответ: стороны участка должны быть 30 м и 30 м.

594 Длины сторон прямоугольника выражены в сантиметрах, его периметр равен $16$ см, а площадь — $15$ см$^2$. Найдите стороны этого прямоугольника.

Подсказка. Переберите все возможные варианты.

Пусть длина одной стороны прямоугольника равна $a$ см, а другой — $b$ см.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$, а его площадь по формуле $S = a \cdot b$.

По условию задачи нам известно, что периметр равен 16 см, а площадь — 15 см². Составим систему из двух уравнений на основе этих данных:
$2(a + b) = 16$
$a \cdot b = 15$

Упростим первое уравнение, разделив обе его части на 2:
$a + b = 16 / 2$
$a + b = 8$

Теперь наша задача — найти два числа, сумма которых равна 8, а произведение — 15. Следуя подсказке в условии, переберем возможные пары целых чисел, которые в сумме дают 8, и проверим их произведение:
- Если стороны равны 1 см и 7 см, их сумма $1 + 7 = 8$ см, а их произведение $1 \cdot 7 = 7$ см². Это не соответствует условию площади.
- Если стороны равны 2 см и 6 см, их сумма $2 + 6 = 8$ см, а их произведение $2 \cdot 6 = 12$ см². Это также не соответствует условию площади.
- Если стороны равны 3 см и 5 см, их сумма $3 + 5 = 8$ см, а их произведение $3 \cdot 5 = 15$ см². Этот вариант удовлетворяет обоим условиям.
- Если стороны равны 4 см и 4 см, их сумма $4 + 4 = 8$ см, а их произведение $4 \cdot 4 = 16$ см². Это не соответствует условию площади.

Единственная пара чисел, которая подходит под условия задачи, это 3 и 5. Следовательно, стороны прямоугольника равны 3 см и 5 см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 3 см и 5 см.

595 ВЫЧИСЛЯЕМ ПО АЛГОРИТМУ Приближённое значение площади фигуры, изображённой на квадратной сетке, можно найти по следующему алгоритму:

• Отметить все квадраты, большая часть которых попала внутрь фигуры.

• Подсчитать их количество.

• Определить площадь одного квадрата.

• Умножить число квадратов на площадь одного квадрата сетки.

Начертите на листе в клетку замкнутую линию без самопересечений. Пользуясь описанным алгоритмом, найдите площадь фигуры, ограниченной вашей линией.

Задача состоит в том, чтобы начертить произвольную замкнутую линию без самопересечений на листе в клетку и, используя предложенный алгоритм, найти приближённую площадь образовавшейся фигуры. Выполним это задание по шагам.

Сначала начертим фигуру. Пусть она выглядит следующим образом:

Теперь применим алгоритм для нахождения её площади.

Отметить все квадраты, бóльшая часть которых попала внутрь фигуры.

Выделим жёлтым цветом все клетки, которые заполнены синей фигурой более чем наполовину.

Подсчитать их количество.

Теперь посчитаем количество жёлтых квадратов. Обозначим это количество буквой $N$. Подсчёт можно вести по строкам.
$N = 2 + 6 + 7 + 8 + 8 + 8 + 8 + 6 + 4 = 57$.
Итого, получилось 57 квадратов.

Ответ: 57.

Определить площадь одного квадрата.

Для простоты расчётов примем площадь одной клетки (квадрата) за 1 квадратную единицу (кв. ед.). Обозначим её как $S_{кв}$.

Ответ: $S_{кв} = 1$ кв. ед.

Умножить число квадратов на площадь одного квадрата сетки.

Для нахождения приближённой площади фигуры ($S_{фиг}$) умножим количество подсчитанных квадратов $N$ на площадь одного квадрата $S_{кв}$.
$S_{фиг} \approx N \times S_{кв} = 57 \times 1 \text{ кв. ед.} = 57 \text{ кв. ед.}$

Ответ: 57 кв. ед.

596 На квадратном участке площадью 4 а высаживают яблони. Под каждую яблоню отводится круглый участок радиусом 2 м. Сколько яблонь можно высадить на квадратном участке, если яблони высаживать одинаковыми рядами вдоль сторон участка? Нарисуйте от руки план посадок, принимая сторону одной клетки тетради за 2 м.

Рис. 7.35

Рис. 7.36

1. Определим размеры квадратного участка.

Площадь участка дана в арах (а). Переведем ее в квадратные метры, зная, что 1 ар (сотка) равен 100 квадратным метрам.
$S = 4 \text{ а} = 4 \times 100 \text{ м}^2 = 400 \text{ м}^2$
Участок имеет форму квадрата. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ – длина его стороны. Найдем сторону участка:
$a = \sqrt{S} = \sqrt{400 \text{ м}^2} = 20 \text{ м}$
Таким образом, участок представляет собой квадрат со стороной 20 метров.
Ответ: Сторона квадратного участка равна 20 метрам.

2. Определим необходимое пространство для одной яблони.

Под каждую яблоню отводится круглый участок радиусом $r = 2 \text{ м}$.
При высаживании деревьев рядами, чтобы их кроны (и корневые системы) не мешали друг другу, необходимо, чтобы центры деревьев находились на расстоянии, равном диаметру отведенного под них круглого участка.
Диаметр круга равен двум радиусам:
$d = 2r = 2 \times 2 \text{ м} = 4 \text{ м}$
Это означает, что каждое дерево будет занимать квадратную ячейку со стороной 4 метра, а само дерево будет находиться в центре этой ячейки.
Ответ: Каждая яблоня занимает квадратный участок размером 4x4 метра.

3. Рассчитаем количество яблонь в одном ряду и количество рядов.

Длина стороны участка – 20 м. Каждая яблоня в ряду занимает 4 м. Чтобы найти, сколько яблонь поместится в одном ряду вдоль стороны участка, разделим длину стороны участка на ширину ячейки для одной яблони:
$N_{\text{в ряду}} = \frac{20 \text{ м}}{4 \text{ м}} = 5$ яблонь.
Поскольку участок квадратный (20x20 м), количество рядов будет таким же, как и количество яблонь в ряду.
$N_{\text{рядов}} = \frac{20 \text{ м}}{4 \text{ м}} = 5$ рядов.
Ответ: Можно высадить 5 рядов по 5 яблонь в каждом.

4. Рассчитаем общее количество яблонь.

Чтобы найти общее количество яблонь, умножим количество яблонь в одном ряду на количество рядов:
$N_{\text{всего}} = N_{\text{в ряду}} \times N_{\text{рядов}} = 5 \times 5 = 25$ яблонь.
Ответ: Всего на участке можно высадить 25 яблонь.

5. План посадок.

Нарисуем план участка. Сторона одной клетки тетради принята за 2 м. Наш участок имеет размер 20x20 м, значит на плане он будет выглядеть как квадрат размером 10x10 клеток. Каждая яблоня (круг радиусом 2 м, т.е. 1 клетка) будет находиться в центре квадрата 4x4 м (2x2 клетки).