Номер 593, страница 154 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

7.4. Площадь прямоугольника. Глава 7. Треугольники и четырёхугольники - номер 593, страница 154.

593 ИССЛЕДУЕМ

1) Площадь каждого из пяти различных прямоугольников равна $36 см^2$, а сторона выражена в сантиметрах. Какими могут быть их периметры? Рассмотрите все возможные варианты и заполните таблицу.

Прямоугольник	Длина	Ширина	Площадь	Периметр
1
2
3
4
5

Какой из данных прямоугольников имеет наименьший периметр?

2) Необходимо огородить участок земли прямоугольной формы площадью $900 м^2$. Какими должны быть его стороны, чтобы длина забора была наименьшей?

1)

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ – длина, а $b$ – ширина. Периметр ($P$) прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$.

По условию, площадь каждого прямоугольника равна 36 см², а стороны выражены в сантиметрах. Чтобы найти все возможные варианты сторон, нужно найти все пары целых чисел, произведение которых равно 36. Это пары делителей числа 36:

• 1 и 36
• 2 и 18
• 3 и 12
• 4 и 9
• 6 и 6

Теперь для каждой пары сторон вычислим соответствующий периметр:

• Для сторон 1 см и 36 см: $P = 2(1 + 36) = 2 \cdot 37 = 74$ см.
• Для сторон 2 см и 18 см: $P = 2(2 + 18) = 2 \cdot 20 = 40$ см.
• Для сторон 3 см и 12 см: $P = 2(3 + 12) = 2 \cdot 15 = 30$ см.
• Для сторон 4 см и 9 см: $P = 2(4 + 9) = 2 \cdot 13 = 26$ см.
• Для сторон 6 см и 6 см: $P = 2(6 + 6) = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Заполним таблицу, расположив прямоугольники в порядке убывания длины большей стороны.

Прямоугольник	Длина, см	Ширина, см	Площадь, см²	Периметр, см
1	36	1	36	74
2	18	2	36	40
3	12	3	36	30
4	9	4	36	26
5	6	6	36	24

Сравнивая полученные значения периметров, видим, что наименьший периметр имеет прямоугольник №5, у которого стороны равны (квадрат). Его периметр равен 24 см.

Ответ: наименьший периметр (24 см) имеет прямоугольник со сторонами 6 см и 6 см.

2)

В этой задаче требуется найти стороны прямоугольного участка, чтобы при заданной площади длина забора (периметр) была наименьшей. Площадь участка $S = 900$ м².

Как показывает решение из первого пункта, при фиксированной площади наименьший периметр имеет прямоугольник, у которого стороны максимально близки по длине. Идеальным случаем является квадрат, у которого стороны равны.

Найдем сторону квадрата $a$, площадь которого равна 900 м²:

$S = a \cdot a = a^2 = 900$ м²

Отсюда, $a = \sqrt{900} = 30$ м.

Таким образом, чтобы длина забора была наименьшей, участок должен иметь форму квадрата со сторонами 30 на 30 метров.

Ответ: стороны участка должны быть 30 м и 30 м.