Номер 598, страница 155 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

7.4. Площадь прямоугольника. Глава 7. Треугольники и четырёхугольники - номер 598, страница 155.

598 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

1) Закрашенная часть квадрата тоже квадрат (рис. 7.35). Убедитесь в этом, выполнив необходимые измерения. Во сколько раз площадь закрашенного квадрата меньше площади большого квадрата?

Подсказка. Скопируйте рисунок на лист бумаги в клетку, вырежите квадрат и перегните прямоугольные треугольники к центру по сторонам закрашенного квадрата.

2) Площадь красного квадрата (рис. 7.36) равна 1 кв. ед. Чему равна площадь чёрного квадрата?

3) Пусть площадь чёрного квадрата (см. рис. 7.36) равна 2 кв. ед. Начертите квадрат, площадь которого равна 8 кв. ед.

1) Закрашенная часть квадрата тоже квадрат (рис. 7.35). Убедитесь в этом, выполнив необходимые измерения. Во сколько раз площадь закрашенного квадрата меньше площади большого квадрата?

Большой квадрат состоит из одного центрального закрашенного квадрата и четырех одинаковых прямоугольных треугольников по углам. Если мы последуем подсказке и мысленно (или на бумаге) согнем эти четыре треугольника по сторонам закрашенного квадрата к центру, они полностью покроют закрашенный квадрат без наложений и пробелов. Это означает, что суммарная площадь четырех треугольников равна площади закрашенного квадрата.

Пусть $S_{бол}$ — площадь большого квадрата, а $S_{зак}$ — площадь закрашенного квадрата. Тогда площадь большого квадрата равна сумме площади закрашенного квадрата и площади четырех угловых треугольников:

$S_{бол} = S_{зак} + S_{4 \text{ тр.}}$

Поскольку площадь четырех треугольников равна площади закрашенного квадрата ($S_{4 \text{ тр.}} = S_{зак}$), мы можем подставить это в формулу:

$S_{бол} = S_{зак} + S_{зак} = 2 \times S_{зак}$

Таким образом, площадь большого квадрата в два раза больше площади закрашенного квадрата.

Ответ: Площадь закрашенного квадрата в 2 раза меньше площади большого квадрата.

2) Площадь красного квадрата (рис. 7.36) равна 1 кв. ед. Чему равна площадь чёрного квадрата?

В этой задаче красный и чёрный квадраты соотносятся так же, как закрашенный и большой квадраты в предыдущей задаче. Красный квадрат вписан в чёрный, и его вершины находятся на серединах сторон чёрного квадрата.

Исходя из решения первой задачи, мы знаем, что площадь внешнего квадрата в два раза больше площади вписанного в него квадрата. В данном случае чёрный квадрат является внешним, а красный — внутренним.

Площадь красного квадрата $S_{красного} = 1$ кв. ед.

Следовательно, площадь чёрного квадрата $S_{чёрного}$ будет вдвое больше:

$S_{чёрного} = 2 \times S_{красного} = 2 \times 1 = 2$ кв. ед.

Ответ: Площадь чёрного квадрата равна 2 кв. ед.

3) Пусть площадь чёрного квадрата (см. рис. 7.36) равна 2 кв. ед. Начертите квадрат, площадь которого равна 8 кв. ед.

Нам нужно построить квадрат с площадью 8 кв. ед., имея квадрат с площадью 2 кв. ед. Заметим, что $8 = 4 \times 2$. То есть, нам нужно увеличить площадь в 4 раза.

Мы знаем, что если описать квадрат вокруг другого квадрата (так, чтобы вершины внутреннего касались середин сторон внешнего), площадь увеличится в 2 раза. Чтобы увеличить площадь в 4 раза ($4 = 2 \times 2$), нужно выполнить эту операцию дважды.

Шаг 1: Опишем квадрат вокруг чёрного квадрата (площадь 2 кв. ед.). Получим новый квадрат с площадью $2 \times 2 = 4$ кв. ед.

Шаг 2: Опишем ещё один квадрат вокруг квадрата с площадью 4 кв. ед. В результате получим искомый квадрат с площадью $2 \times 4 = 8$ кв. ед.

Начертить такой квадрат можно, зная длину его диагонали. Площадь квадрата $S$ связана с его диагональю $d$ формулой $S = d^2 / 2$. Для нашего квадрата:

$8 = d^2 / 2 \implies d^2 = 16 \implies d = 4$ ед.

Таким образом, чтобы начертить квадрат площадью 8 кв. ед., нужно начертить два взаимно перпендикулярных отрезка длиной 4 ед. каждый, которые пересекаются в своих серединах. Затем соединить концы этих отрезков. Ниже приведён пример такого квадрата на клетчатой бумаге, где сторона одной клетки равна 1 ед.

На рисунке диагонали (красные пунктирные линии) имеют длину 4 клетки, а площадь квадрата составляет 8 кв. ед. (можно посчитать: квадрат состоит из центрального квадрата 2x2=4 клетки и четырех треугольников по 1 клетке каждый, итого $4+4\times1=8$ кв. ед.).

Ответ: Квадрат с площадью 8 кв. ед. можно начертить, построив фигуру, диагонали которой равны 4 ед., взаимно перпендикулярны и делят друг друга пополам.