Страница 155 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

597 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Представьте, что для ремонта вашей классной комнаты необходимо заказать линолеум. В магазине линолеум отрезают от рулона, ширина которого 3 м. Стоимость одного квадратного метра составляет 250 р. Выполнив необходимые измерения и вычисления, определите, сколько метров линолеума необходимо заказать и какова стоимость заказа.

Для решения этой задачи необходимо сначала измерить или предположить размеры классной комнаты. Стандартные размеры школьного класса могут варьироваться, но для примера возьмем класс прямоугольной формы с размерами 8 метров в длину и 6 метров в ширину.

Определение необходимого количества линолеума

Исходные данные:
Длина комнаты (a) = $8$ м.
Ширина комнаты (b) = $6$ м.
Ширина рулона линолеума = $3$ м.

Чтобы покрыть пол, нужно рассчитать, как наиболее экономно разрезать линолеум. Рассмотрим два варианта укладки:

1. Укладываем полосы вдоль длинной стороны (8 м).
Ширина комнаты составляет 6 м. Так как ширина рулона 3 м, для покрытия всей ширины комнаты понадобится ровно две полосы: $6 \text{ м} / 3 \text{ м} = 2$ полосы.
Длина каждой полосы будет равна длине комнаты, то есть 8 м.
Общая длина линолеума, которую нужно отрезать от рулона, составит: $2 \times 8 \text{ м} = 16 \text{ м}$.
В этом случае отходов по ширине не будет.

2. Укладываем полосы вдоль короткой стороны (6 м).
Длина комнаты составляет 8 м. Чтобы покрыть всю длину, понадобится: $8 \text{ м} / 3 \text{ м} \approx 2.67$ полос. Поскольку линолеум продается целыми полосами, необходимо купить 3 полосы.
Длина каждой полосы будет равна ширине комнаты, то есть 6 м.
Общая длина линолеума, которую нужно отрезать: $3 \times 6 \text{ м} = 18 \text{ м}$.
Этот вариант менее экономичен.

Выбираем первый, наиболее экономный вариант.
Ответ: необходимо заказать 16 погонных метров линолеума.

Расчет стоимости заказа

Сначала найдем общую площадь линолеума, который мы покупаем. Мы заказываем 16 метров в длину при ширине рулона 3 метра.
Площадь линолеума: $S = 16 \text{ м} \times 3 \text{ м} = 48 \text{ м}^2$.
(Эта площадь совпадает с площадью комнаты: $8 \text{ м} \times 6 \text{ м} = 48 \text{ м}^2$, что подтверждает отсутствие отходов).

Стоимость одного квадратного метра составляет 250 рублей.
Общая стоимость заказа: $C = 48 \text{ м}^2 \times 250 \text{ руб./м}^2 = 12000 \text{ рублей}$.
Ответ: стоимость заказа составит 12000 рублей.

598 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

1) Закрашенная часть квадрата тоже квадрат (рис. 7.35). Убедитесь в этом, выполнив необходимые измерения. Во сколько раз площадь закрашенного квадрата меньше площади большого квадрата?

Подсказка. Скопируйте рисунок на лист бумаги в клетку, вырежите квадрат и перегните прямоугольные треугольники к центру по сторонам закрашенного квадрата.

2) Площадь красного квадрата (рис. 7.36) равна 1 кв. ед. Чему равна площадь чёрного квадрата?

3) Пусть площадь чёрного квадрата (см. рис. 7.36) равна 2 кв. ед. Начертите квадрат, площадь которого равна 8 кв. ед.

Большой квадрат состоит из одного центрального закрашенного квадрата и четырех одинаковых прямоугольных треугольников по углам. Если мы последуем подсказке и мысленно (или на бумаге) согнем эти четыре треугольника по сторонам закрашенного квадрата к центру, они полностью покроют закрашенный квадрат без наложений и пробелов. Это означает, что суммарная площадь четырех треугольников равна площади закрашенного квадрата.

Пусть $S_{бол}$ — площадь большого квадрата, а $S_{зак}$ — площадь закрашенного квадрата. Тогда площадь большого квадрата равна сумме площади закрашенного квадрата и площади четырех угловых треугольников:

$S_{бол} = S_{зак} + S_{4 \text{ тр.}}$

Поскольку площадь четырех треугольников равна площади закрашенного квадрата ($S_{4 \text{ тр.}} = S_{зак}$), мы можем подставить это в формулу:

$S_{бол} = S_{зак} + S_{зак} = 2 \times S_{зак}$

Таким образом, площадь большого квадрата в два раза больше площади закрашенного квадрата.

Ответ: Площадь закрашенного квадрата в 2 раза меньше площади большого квадрата.

В этой задаче красный и чёрный квадраты соотносятся так же, как закрашенный и большой квадраты в предыдущей задаче. Красный квадрат вписан в чёрный, и его вершины находятся на серединах сторон чёрного квадрата.

Исходя из решения первой задачи, мы знаем, что площадь внешнего квадрата в два раза больше площади вписанного в него квадрата. В данном случае чёрный квадрат является внешним, а красный — внутренним.

Площадь красного квадрата $S_{красного} = 1$ кв. ед.

Следовательно, площадь чёрного квадрата $S_{чёрного}$ будет вдвое больше:

$S_{чёрного} = 2 \times S_{красного} = 2 \times 1 = 2$ кв. ед.

Ответ: Площадь чёрного квадрата равна 2 кв. ед.

Нам нужно построить квадрат с площадью 8 кв. ед., имея квадрат с площадью 2 кв. ед. Заметим, что $8 = 4 \times 2$. То есть, нам нужно увеличить площадь в 4 раза.

Мы знаем, что если описать квадрат вокруг другого квадрата (так, чтобы вершины внутреннего касались середин сторон внешнего), площадь увеличится в 2 раза. Чтобы увеличить площадь в 4 раза ($4 = 2 \times 2$), нужно выполнить эту операцию дважды.

Шаг 1: Опишем квадрат вокруг чёрного квадрата (площадь 2 кв. ед.). Получим новый квадрат с площадью $2 \times 2 = 4$ кв. ед.

Шаг 2: Опишем ещё один квадрат вокруг квадрата с площадью 4 кв. ед. В результате получим искомый квадрат с площадью $2 \times 4 = 8$ кв. ед.

Начертить такой квадрат можно, зная длину его диагонали. Площадь квадрата $S$ связана с его диагональю $d$ формулой $S = d^2 / 2$. Для нашего квадрата:

$8 = d^2 / 2 \implies d^2 = 16 \implies d = 4$ ед.

Таким образом, чтобы начертить квадрат площадью 8 кв. ед., нужно начертить два взаимно перпендикулярных отрезка длиной 4 ед. каждый, которые пересекаются в своих серединах. Затем соединить концы этих отрезков. Ниже приведён пример такого квадрата на клетчатой бумаге, где сторона одной клетки равна 1 ед.

На рисунке диагонали (красные пунктирные линии) имеют длину 4 клетки, а площадь квадрата составляет 8 кв. ед. (можно посчитать: квадрат состоит из центрального квадрата 2x2=4 клетки и четырех треугольников по 1 клетке каждый, итого $4+4\times1=8$ кв. ед.).

Ответ: Квадрат с площадью 8 кв. ед. можно начертить, построив фигуру, диагонали которой равны 4 ед., взаимно перпендикулярны и делят друг друга пополам.

599 Для приготовления яблочного компота берут 5 частей яблок, 2 части сахара и 25 частей воды. Сколько граммов сахара и сколько граммов воды надо взять, чтобы приготовить компот из 600 г яблок?

Для приготовления яблочного компота ингредиенты (яблоки, сахар, вода) берутся в соотношении 5 : 2 : 25. Это означает, что на каждые 5 частей яблок необходимо взять 2 части сахара и 25 частей воды.

По условию задачи, масса яблок составляет 600 г, что соответствует 5 частям. Первым шагом найдем, какова масса одной части. Для этого разделим общую массу яблок на количество их частей:
$600 \div 5 = 120$ (г)
Таким образом, масса одной части составляет 120 г.

Сколько граммов сахара надо взять
Согласно рецепту, для компота требуется 2 части сахара. Зная, что одна часть весит 120 г, рассчитаем необходимую массу сахара:
$2 \cdot 120 = 240$ (г)
Ответ: надо взять 240 граммов сахара.

Сколько граммов воды надо взять
Согласно рецепту, для компота требуется 25 частей воды. Рассчитаем необходимую массу воды:
$25 \cdot 120 = 3000$ (г)
Ответ: надо взять 3000 граммов воды.

600 Найдите НОК чисел:

а) 5 и 14;

б) 36 и 18;

в) 24 и 30.

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Разложить данные числа на простые множители.
2. Выписать все простые множители, которые входят хотя бы в одно из разложений.
3. Взять каждый из этих множителей с наибольшим показателем степени, с которым он входит в разложения.
4. Найти произведение получившихся степеней.

а) 5 и 14

1. Разложим числа на простые множители:
Число 5 является простым, поэтому его разложение: $5 = 5$.
Разложение числа 14: $14 = 2 \times 7$.

2. Выпишем все простые множители из обоих разложений в наибольшей степени: $2^1$, $5^1$, $7^1$.

3. Перемножим их, чтобы найти НОК:
НОК(5, 14) = $2 \times 5 \times 7 = 70$.

Так как числа 5 и 14 являются взаимно простыми (не имеют общих делителей, кроме 1), их НОК равно их произведению.

Ответ: 70.

б) 36 и 18

1. Разложим числа на простые множители:
$18 = 2 \times 9 = 2 \times 3^2$.
$36 = 4 \times 9 = 2^2 \times 3^2$.

2. Выпишем множители в наибольшей степени: для множителя 2 это $2^2$, для множителя 3 это $3^2$.

3. Найдем их произведение:
НОК(36, 18) = $2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$.

Также можно заметить, что 36 делится на 18 без остатка ($36 = 2 \times 18$). Если одно число является кратным другому, то их НОК равно большему из этих чисел.

Ответ: 36.

в) 24 и 30

1. Разложим числа на простые множители:
$24 = 8 \times 3 = 2^3 \times 3$.
$30 = 3 \times 10 = 2 \times 3 \times 5$.

2. Выпишем все простые множители в наибольших степенях, которые встречаются в разложениях: $2^3$, $3^1$ и $5^1$.

3. Найдем их произведение:
НОК(24, 30) = $2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 3 \times 5 = 120$.

Ответ: 120.

601 Представьте число в виде суммы разрядных слагаемых (используйте степени с основанием 10):

а) 36 415;

б) 2 608 143.

а)

Чтобы представить число в виде суммы разрядных слагаемых, нужно каждую цифру числа умножить на соответствующую степень числа 10. Разряды нумеруются справа налево, начиная с нулевого.
Для числа 36 415:
Цифра 3 стоит в разряде десятков тысяч (4-й разряд), что соответствует $10^4$.
Цифра 6 стоит в разряде тысяч (3-й разряд), что соответствует $10^3$.
Цифра 4 стоит в разряде сотен (2-й разряд), что соответствует $10^2$.
Цифра 1 стоит в разряде десятков (1-й разряд), что соответствует $10^1$.
Цифра 5 стоит в разряде единиц (0-й разряд), что соответствует $10^0$.
Таким образом, сумма разрядных слагаемых будет выглядеть так:
$36415 = 3 \cdot 10000 + 6 \cdot 1000 + 4 \cdot 100 + 1 \cdot 10 + 5 \cdot 1 = 3 \cdot 10^4 + 6 \cdot 10^3 + 4 \cdot 10^2 + 1 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0$.

Ответ: $36415 = 3 \cdot 10^4 + 6 \cdot 10^3 + 4 \cdot 10^2 + 1 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0$.

б)

Аналогично представим число 2 608 143 в виде суммы разрядных слагаемых.
Цифра 2 стоит в разряде миллионов (6-й разряд), что соответствует $10^6$.
Цифра 6 стоит в разряде сотен тысяч (5-й разряд), что соответствует $10^5$.
Цифра 0 стоит в разряде десятков тысяч (4-й разряд). Слагаемое для этого разряда будет равно $0 \cdot 10^4 = 0$, поэтому его можно не записывать в итоговую сумму.
Цифра 8 стоит в разряде тысяч (3-й разряд), что соответствует $10^3$.
Цифра 1 стоит в разряде сотен (2-й разряд), что соответствует $10^2$.
Цифра 4 стоит в разряде десятков (1-й разряд), что соответствует $10^1$.
Цифра 3 стоит в разряде единиц (0-й разряд), что соответствует $10^0$.
Таким образом, сумма разрядных слагаемых будет выглядеть так:
$2608143 = 2 \cdot 10^6 + 6 \cdot 10^5 + 0 \cdot 10^4 + 8 \cdot 10^3 + 1 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10^1 + 3 \cdot 10^0$.
Опуская слагаемое с нулем, получаем:
$2608143 = 2 \cdot 10^6 + 6 \cdot 10^5 + 8 \cdot 10^3 + 1 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10^1 + 3 \cdot 10^0$.

Ответ: $2608143 = 2 \cdot 10^6 + 6 \cdot 10^5 + 8 \cdot 10^3 + 1 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10^1 + 3 \cdot 10^0$.

602 Периметр прямоугольника равен 50 см. Найдите длины сторон этого прямоугольника, если известно, что они выражаются числами, кратными 5.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле:

$P = 2(a + b)$

По условию задачи, периметр равен 50 см. Подставим это значение в формулу:

$50 = 2(a + b)$

Отсюда найдем сумму длин сторон $a$ и $b$:

$a + b = \frac{50}{2}$

$a + b = 25$ см

Также в условии сказано, что длины сторон выражаются числами, кратными 5. Это означает, что и $a$, и $b$ должны делиться на 5 без остатка.

Нам необходимо найти пары натуральных чисел ($a$, $b$), которые кратны 5 и в сумме дают 25. Будем перебирать возможные значения для стороны $a$.

• Если $a = 5$ см (5 кратно 5), то $b = 25 - 5 = 20$ см. Число 20 также кратно 5. Эта пара чисел нам подходит.

• Если $a = 10$ см (10 кратно 5), то $b = 25 - 10 = 15$ см. Число 15 также кратно 5. Эта пара чисел тоже подходит.

• Если $a = 15$ см, то $b = 25 - 15 = 10$ см. Это та же пара сторон, что и в предыдущем варианте, просто стороны поменялись местами.

• Если $a = 20$ см, то $b = 25 - 20 = 5$ см. Это та же пара сторон, что и в первом варианте.

Если взять следующее кратное 5 число, $a = 25$ см, то $b$ будет равно 0, что невозможно для стороны прямоугольника. Таким образом, у задачи есть два возможных решения.

Ответ: стороны прямоугольника могут быть равны 5 см и 20 см, или 10 см и 15 см.