Страница 153 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

589 Скопируйте многоугольник, изображённый на рисунке 7.33, в тетрадь. Вычислите площадь многоугольника.

Подсказка. Разбейте многоугольник на несколько прямоугольников или достройте до прямоугольника.

Рис. 7.33 (1 см)

Рис. 7.34 (2 см, 2 см)

Для того чтобы вычислить площадь многоугольника, изображенного на рисунке, можно воспользоваться одним из двух способов, предложенных в подсказке к задаче.

Способ 1: Разбиение многоугольника на прямоугольники

Этот метод предполагает разделение исходной фигуры на несколько простых прямоугольников, площади которых вычисляются по формуле $S = a \times b$, где $a$ и $b$ — стороны прямоугольника. Затем площади этих прямоугольников складываются.

Разбить фигуру можно двумя вариантами:

а) Вертикальное разбиение
Проведем воображаемую вертикальную линию от внутреннего угла фигуры вниз. В результате мы получим два прямоугольника:
1. Левый прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см. Его площадь $S_1 = 3 \times 4 = 12 \text{ см}^2$.
2. Правый прямоугольник со сторонами 2 см и $(5 - 3) = 2$ см. Его площадь $S_2 = 2 \times 2 = 4 \text{ см}^2$.
Общая площадь многоугольника равна сумме их площадей: $S = S_1 + S_2 = 12 \text{ см}^2 + 4 \text{ см}^2 = 16 \text{ см}^2$.

б) Горизонтальное разбиение
Проведем воображаемую горизонтальную линию от внутреннего угла фигуры влево. Фигура также разделится на два прямоугольника:
1. Верхний прямоугольник со сторонами 3 см и $(4 - 2) = 2$ см. Его площадь $S_1 = 3 \times 2 = 6 \text{ см}^2$.
2. Нижний прямоугольник со сторонами 5 см и 2 см. Его площадь $S_2 = 5 \times 2 = 10 \text{ см}^2$.
Общая площадь многоугольника: $S = S_1 + S_2 = 6 \text{ см}^2 + 10 \text{ см}^2 = 16 \text{ см}^2$.

Способ 2: Достроение многоугольника до прямоугольника

Этот метод заключается в том, чтобы мысленно достроить фигуру до большого прямоугольника, найти его площадь, а затем вычесть из нее площадь той части, которой не хватает до целого прямоугольника.

1. Достроим многоугольник до большого прямоугольника. Его стороны будут равны максимальной ширине и высоте фигуры, то есть 5 см и 4 см.
2. Вычислим площадь этого большого прямоугольника: $S_{большой} = 5 \times 4 = 20 \text{ см}^2$.
3. Часть, которую мы добавили, чтобы получить большой прямоугольник, — это маленький прямоугольник (в данном случае квадрат) в правом верхнем углу. Найдем его стороны: ширина равна $5 - 3 = 2$ см, а высота равна $4 - 2 = 2$ см.
4. Вычислим площадь этого недостающего квадрата: $S_{вырезанный} = 2 \times 2 = 4 \text{ см}^2$.
5. Площадь исходного многоугольника равна разности площадей большого прямоугольника и вырезанного квадрата: $S = S_{большой} - S_{вырезанный} = 20 \text{ см}^2 - 4 \text{ см}^2 = 16 \text{ см}^2$.

Оба способа решения приводят к одинаковому результату.

Ответ: 16 см².

Рис. 7.33

Рис. 7.34

590. Сторона большого квадрата равна 7 см (рис. 7.34). Найдите площадь каждой его части.

По условию задачи, сторона большого квадрата равна 7 см. На рисунке 7.34 показано, что он разделен на четыре части. Найдем площадь каждой из этих частей.

Площадь правого верхнего квадрата
Эта часть представляет собой квадрат, сторона которого, согласно рисунку, равна 2 см. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ — сторона квадрата.
$S_1 = 2 \text{ см} \times 2 \text{ см} = 4 \text{ см}^2$.
Ответ: $4 \text{ см}^2$.

Площадь левого верхнего прямоугольника
Высота этой части равна стороне правого верхнего квадрата, то есть 2 см. Длина этой части равна разности стороны большого квадрата и стороны малого квадрата: $7 \text{ см} - 2 \text{ см} = 5 \text{ см}$.
Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \times b$, где $a$ и $b$ — его стороны.
$S_2 = 5 \text{ см} \times 2 \text{ см} = 10 \text{ см}^2$.
Ответ: $10 \text{ см}^2$.

Площадь левого нижнего квадрата
Стороны этой части можно найти, вычитая из стороны большого квадрата (7 см) уже известные нам отрезки (2 см). Ширина этой фигуры равна $7 \text{ см} - 2 \text{ см} = 5 \text{ см}$. Высота также равна $7 \text{ см} - 2 \text{ см} = 5 \text{ см}$.
Таким образом, это квадрат со стороной 5 см.
$S_3 = 5 \text{ см} \times 5 \text{ см} = 25 \text{ см}^2$.
Ответ: $25 \text{ см}^2$.

Площадь правого нижнего прямоугольника
Ширина этой части равна стороне правого верхнего квадрата, то есть 2 см. Высота этой части равна стороне левого нижнего квадрата, то есть 5 см.
Площадь этого прямоугольника:
$S_4 = 2 \text{ см} \times 5 \text{ см} = 10 \text{ см}^2$.
Ответ: $10 \text{ см}^2$.

Для проверки можно сложить площади всех частей. Общая площадь должна быть равна площади большого квадрата.
Площадь большого квадрата: $S_{общая} = 7 \text{ см} \times 7 \text{ см} = 49 \text{ см}^2$.
Сумма площадей частей: $S_{сумма} = 4 \text{ см}^2 + 10 \text{ см}^2 + 25 \text{ см}^2 + 10 \text{ см}^2 = 49 \text{ см}^2$.
Так как $S_{общая} = S_{сумма}$, расчеты верны.

591 АНАЛИЗИРУЕМ

a) Как изменится площадь прямоугольника, если одну из его сторон уменьшить в 3 раза?

б) Как изменится площадь квадрата, если его сторону увеличить вдвое?

а)

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение длин его сторон ($a$ и $b$): $S = a \cdot b$.
Пусть $S_1$ — это первоначальная площадь прямоугольника со сторонами $a$ и $b$. Тогда $S_1 = a \cdot b$.
Согласно условию, одну из сторон уменьшили в 3 раза. Пусть, например, сторона $a$ стала в 3 раза меньше. Новая длина этой стороны будет $a' = \frac{a}{3}$. Вторая сторона $b$ осталась без изменений.
Найдем новую площадь $S_2$ прямоугольника с новыми сторонами $a'$ и $b$:
$S_2 = a' \cdot b = \frac{a}{3} \cdot b = \frac{a \cdot b}{3}$.
Теперь сравним новую площадь $S_2$ с первоначальной $S_1$:
Поскольку $S_1 = a \cdot b$, мы можем подставить это в формулу для $S_2$:
$S_2 = \frac{S_1}{3}$.
Это означает, что площадь прямоугольника уменьшилась в 3 раза.
Ответ: Площадь прямоугольника уменьшится в 3 раза.

б)

Площадь квадрата ($S$) вычисляется как квадрат длины его стороны ($a$): $S = a^2$.
Пусть $S_1$ — это первоначальная площадь квадрата со стороной $a$. Тогда $S_1 = a^2$.
Согласно условию, его сторону увеличили вдвое, то есть в 2 раза. Новая длина стороны будет $a' = 2a$.
Найдем новую площадь $S_2$ квадрата с новой стороной $a'$:
$S_2 = (a')^2 = (2a)^2 = 2^2 \cdot a^2 = 4a^2$.
Теперь сравним новую площадь $S_2$ с первоначальной $S_1$:
Поскольку $S_1 = a^2$, мы можем подставить это в формулу для $S_2$:
$S_2 = 4 \cdot S_1$.
Это означает, что площадь квадрата увеличилась в 4 раза.
Ответ: Площадь квадрата увеличится в 4 раза.