Страница 156 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

1. Начертите прямоугольный треугольник, у которого стороны, образующие прямой угол, равны 3 см и 5 см.

Для построения прямоугольного треугольника с заданными сторонами, образующими прямой угол (катетами), нам понадобятся линейка и угольник (или транспортир). Процесс построения состоит из следующих шагов:

1. С помощью линейки начертите горизонтальный отрезок длиной 5 см. Обозначим его концы буквами A и C. Этот отрезок будет первым катетом нашего треугольника.

2. В точке C приложите угольник так, чтобы одна из его сторон, образующих прямой угол, совпала с отрезком AC.

3. Вдоль второй стороны угольника проведите из точки C луч, перпендикулярный отрезку AC. Угол между отрезком AC и этим лучом будет равен 90°.

4. На построенном перпендикулярном луче отложите от точки C отрезок длиной 3 см. Конец этого отрезка обозначьте буквой B. Этот отрезок (BC) будет вторым катетом треугольника.

5. Соедините точки A и B с помощью линейки. Полученный отрезок AB является гипотенузой треугольника.

В результате этих действий будет построен прямоугольный треугольник ABC, в котором $\angle C = 90^\circ$, катет $AC = 5$ см и катет $BC = 3$ см, что полностью соответствует условию задачи.

Дополнительно, можно вычислить длину гипотенузы AB, используя теорему Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

$BC^2 + AC^2 = AB^2$

$3^2 + 5^2 = AB^2$

$9 + 25 = AB^2$

$AB^2 = 34$

$AB = \sqrt{34}$ см (приблизительно 5,83 см).

Ответ: Прямоугольный треугольник построен в соответствии с пошаговой инструкцией. Его катеты равны 3 см и 5 см, а гипотенуза равна $\sqrt{34}$ см.

2. Начертите равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны равны $4 \text{ см}$ и образуют угол $50^\circ$.

Для построения равнобедренного треугольника с боковыми сторонами по 4 см и углом 50° между ними, необходимо выполнить следующие действия с помощью линейки и транспортира:

1. Начертите отрезок, который будет одной из боковых сторон треугольника. С помощью линейки отложите его длину, равную 4 см. Обозначим концы этого отрезка буквами $A$ и $B$.

2. От одного из концов отрезка, например, от точки $A$, с помощью транспортира отложите угол, равный $50^{\circ}$. Для этого совместите центр транспортира с точкой $A$, а его нулевую отметку — с лучом $AB$.

3. Проведите из точки $A$ луч через метку, соответствующую $50^{\circ}$ на шкале транспортира.

4. На этом новом луче отложите от точки $A$ отрезок длиной 4 см. Обозначим его конец точкой $C$. Это будет вторая боковая сторона треугольника, $AC$.

5. Соедините точки $B$ и $C$ отрезком. Этот отрезок $BC$ будет основанием треугольника.

Полученный треугольник $ABC$ является искомым, так как по построению его боковые стороны $AB$ и $AC$ равны 4 см, а угол $ \angle BAC $ между ними составляет $50^{\circ}$.

Ответ: Требуемый треугольник строится по описанному выше алгоритму.

3. Вычислите периметр треугольника:

а) равностороннего со стороной $5 \text{ см}$;

б) равнобедренного с боковой стороной $17 \text{ см}$ и основанием $10 \text{ см}$.

а)

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. У равностороннего треугольника все три стороны равны. Если обозначить длину стороны буквой $a$, то формула для вычисления периметра $P$ будет выглядеть так: $P = a + a + a = 3a$.

Согласно условию задачи, длина стороны треугольника составляет 5 см. Подставим это значение в формулу:

$P = 3 \cdot 5 = 15$ см.

Ответ: 15 см.

б)

Периметр равнобедренного треугольника равен сумме длин его основания и двух равных боковых сторон. Обозначим длину основания буквой $a$, а длину боковой стороны — буквой $b$. Тогда формула для вычисления периметра $P$ будет: $P = a + b + b = a + 2b$.

По условию, боковая сторона $b = 17$ см, а основание $a = 10$ см. Подставим эти значения в формулу для нахождения периметра:

$P = 10 + 2 \cdot 17 = 10 + 34 = 44$ см.

Ответ: 44 см.

4. Чему равен периметр:

а) прямоугольника со сторонами $15 \text{ см}$ и $20 \text{ см}$;

б) квадрата со стороной $45 \text{ см}$?

а) прямоугольника со сторонами 15 см и 20 см;

Периметр прямоугольника — это сумма длин всех его сторон. У прямоугольника две пары равных сторон. Формула для вычисления периметра прямоугольника: $P = 2 \cdot (a + b)$, где $a$ и $b$ — это длины его смежных сторон.

В данном случае, нам даны стороны $a = 15$ см и $b = 20$ см. Подставим эти значения в формулу:

$P = 2 \cdot (15 \text{ см} + 20 \text{ см})$

Сначала выполним сложение в скобках:

$15 + 20 = 35$

Теперь умножим полученную сумму на 2:

$P = 2 \cdot 35 \text{ см} = 70 \text{ см}$

Ответ: 70 см.

б) квадрата со стороной 45 см?

Периметр квадрата — это сумма длин всех его сторон. Так как у квадрата все четыре стороны равны, его периметр можно найти по формуле: $P = 4 \cdot a$, где $a$ — это длина одной стороны квадрата.

По условию, сторона квадрата $a = 45$ см. Подставим это значение в формулу:

$P = 4 \cdot 45 \text{ см}$

Выполним умножение:

$4 \cdot 45 = 180$

Таким образом, периметр квадрата равен 180 см.

Ответ: 180 см.

5. Постройте на нелинованной бумаге:

а) прямоугольник со сторонами 3 см и 3 см 5 мм;

б) квадрат со стороной 4 см.

а) прямоугольник со сторонами 3 см и 3 см 5 мм

Для построения прямоугольника на нелинованной бумаге потребуются линейка и угольник (для построения прямых углов).

Для удобства переведем длины сторон в одну единицу измерения, например, в миллиметры:
$3 \text{ см} = 30 \text{ мм}$
$3 \text{ см} \ 5 \text{ мм} = 35 \text{ мм}$

Алгоритм построения:

1. С помощью линейки начертите горизонтальный отрезок AB длиной 35 мм. Это будет одна из сторон прямоугольника.
2. Приложите угольник к точке A так, чтобы одна его сторона, образующая прямой угол, совпала с отрезком AB. Вдоль другой стороны угольника проведите луч, перпендикулярный отрезку AB.
3. На этом перпендикулярном луче отложите от точки A отрезок AD длиной 30 мм.
4. Переместите угольник к точке B. Аналогично постройте луч, перпендикулярный отрезку AB.
5. На этом луче отложите от точки B отрезок BC длиной 30 мм.
6. Соедините точки D и C с помощью линейки.
7. В результате получится фигура ABCD, которая является искомым прямоугольником. У него углы $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$, а стороны $AB = DC = 35 \text{ мм}$ и $AD = BC = 30 \text{ мм}$.

Ответ: Построен прямоугольник со сторонами 3 см и 3 см 5 мм.

б) квадрат со стороной 4 см

Для построения квадрата также воспользуемся линейкой и угольником.

Алгоритм построения:

1. С помощью линейки начертите отрезок AB, длина которого равна 4 см.
2. В точке A с помощью угольника постройте перпендикуляр к отрезку AB.
3. На этом перпендикуляре от точки A отложите отрезок AD длиной 4 см.
4. В точке B с помощью угольника постройте перпендикуляр к отрезку AB.
5. На этом перпендикуляре от точки B отложите отрезок BC длиной 4 см.
6. Соедините отрезком точки D и C. Длина этого отрезка также должна быть равна 4 см.
7. Полученная фигура ABCD — это квадрат, так как все его стороны равны 4 см и все углы прямые.

Ответ: Построен квадрат со стороной 4 см.

6. Вычислите площадь:

а) прямоугольника со сторонами 4 см и 6 см;

б) квадрата со стороной 13 см.

а) Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его длины на ширину. Обозначим стороны как $a$ и $b$. Формула для нахождения площади ($S$) выглядит следующим образом: $S = a \cdot b$.
По условию задачи, стороны прямоугольника равны 4 см и 6 см. Подставим эти значения в формулу:
$S = 4 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 24 \text{ см}^2$.
Ответ: $24 \text{ см}^2$.

б) Площадь квадрата вычисляется как квадрат длины его стороны. Обозначим сторону как $a$. Формула для нахождения площади ($S$): $S = a^2$.
По условию задачи, сторона квадрата равна 13 см. Подставим это значение в формулу:
$S = (13 \text{ см})^2 = 13 \text{ см} \cdot 13 \text{ см} = 169 \text{ см}^2$.
Ответ: $169 \text{ см}^2$.

7. Какие свойства есть у квадрата, но нет у других прямоугольников?

1) Диагонали пересекаются под прямым углом.

2) Диагонали равны.

3) Диагонали в точке пересечения делятся пополам.

4) Все стороны равны.

5) Все углы прямые.

Чтобы ответить на вопрос, какие свойства есть у квадрата, но нет у других прямоугольников, необходимо проанализировать каждое из предложенных утверждений. Квадрат — это частный случай прямоугольника, у которого все стороны равны.

1) Диагонали пересекаются под прямым углом.
Квадрат является ромбом, так как все его стороны равны. Одно из свойств ромба — его диагонали пересекаются под прямым углом. У прямоугольника, который не является квадратом (длина и ширина не равны), диагонали не перпендикулярны. Следовательно, это свойство отличает квадрат от других прямоугольников.
Ответ: Данное свойство есть у квадрата, но нет у других прямоугольников.

2) Диагонали равны.
Это свойство присуще всем прямоугольникам. Длина диагонали $d$ в прямоугольнике со сторонами $a$ и $b$ вычисляется по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + b^2}$. Так как обе диагонали имеют одинаковую длину, это свойство не является уникальным для квадрата.
Ответ: Данное свойство есть у всех прямоугольников.

3) Диагонали в точке пересечения делятся пополам.
Любой прямоугольник (в том числе и квадрат) является параллелограммом. У всех параллелограммов диагонали в точке пересечения делятся пополам. Это общее свойство для всех прямоугольников.
Ответ: Данное свойство есть у всех прямоугольников.

4) Все стороны равны.
Это основное свойство, которое определяет квадрат и отличает его от других прямоугольников. По определению, квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. У других прямоугольников равны только противолежащие стороны.
Ответ: Данное свойство есть у квадрата, но нет у других прямоугольников.

5) Все углы прямые.
Это свойство является определением любого прямоугольника. У всех прямоугольников, включая квадрат, все углы равны $90^\circ$. Это не является отличительной чертой квадрата.
Ответ: Данное свойство есть у всех прямоугольников.