Страница 161 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

614 Решите задачу и прокомментируйте свои действия:

a) В книге 60 страниц. Девочка прочитала в первый день половину всех страниц, а во второй — треть оставшихся. Сколько страниц ей осталось прочитать?

б) После похода за грибами выяснилось, что из 36 грибов треть всех грибов нашла мама, половину остатка нашёл брат, а остальные – сестра. Сколько грибов нашёл каждый из них?

а)

Для решения этой задачи выполним действия по шагам:

1. Сначала найдём количество страниц, которое девочка прочитала в первый день. По условию, это половина всех страниц в книге (60 страниц). Чтобы найти половину, нужно разделить общее количество на 2.

$60 / 2 = 30$ страниц — прочитано в первый день.

2. Теперь узнаем, сколько страниц осталось прочитать после первого дня. Для этого вычтем из общего числа страниц количество уже прочитанных.

$60 - 30 = 30$ страниц — осталось после первого дня.

3. Далее найдём количество страниц, прочитанных во второй день. По условию, девочка прочитала треть от оставшихся страниц. Осталось 30 страниц, значит, нужно найти одну треть от этого числа.

$30 / 3 = 10$ страниц — прочитано во второй день.

4. Наконец, вычислим, сколько страниц ей осталось прочитать. Для этого из количества страниц, оставшихся после первого дня, вычтем количество страниц, прочитанных во второй день.

$30 - 10 = 20$ страниц.

Ответ: 20 страниц.

б)

Для решения этой задачи определим, сколько грибов нашёл каждый член семьи:

1. Сначала найдём, сколько грибов нашла мама. По условию, это треть от всех собранных грибов (36 грибов). Чтобы найти треть, разделим общее количество на 3.

$36 / 3 = 12$ грибов — нашла мама.

2. Теперь определим, сколько грибов осталось после этого. Вычтем из общего количества грибы, которые нашла мама.

$36 - 12 = 24$ гриба — осталось.

3. Далее найдём, сколько грибов нашёл брат. По условию, он нашёл половину от остатка. Чтобы найти половину, разделим остаток на 2.

$24 / 2 = 12$ грибов — нашёл брат.

4. Наконец, вычислим, сколько грибов нашла сестра. Она нашла остальные грибы. Для этого из остатка после мамы (24 гриба) вычтем грибы, которые нашёл брат (12 грибов).

$24 - 12 = 12$ грибов — нашла сестра.

Ответ: мама нашла 12 грибов, брат нашёл 12 грибов и сестра нашла 12 грибов.

615 МОДЕЛИРУЕМ

a) Половина учащихся класса участвовали в конкурсе чтецов. Треть из них стали победителями. Сколько учащихся в классе, если победителей было 5?

Подсказка. Условие задачи можно схематически изобразить с помощью рисунка (рис. 8.7), это поможет решить задачу.

б) Оля за два дня прочитала половину всех страниц книги, причём четверть из них она прочитала в первый день. Сколько страниц в книге, если в первый день она прочитала 10 страниц?

Подсказка. Изобразите условие задачи схематически с помощью рисунка, как это сделано в пункте «а».

весь класс

половина класса

5 победителей

Рис. 8.7

B

C

E

D

Рис. 8.8

а) Сначала найдем, сколько всего учащихся участвовало в конкурсе. В условии сказано, что 5 победителей составляют треть от всех участников. Значит, чтобы найти общее число участников, нужно количество победителей умножить на 3.
1) $5 \times 3 = 15$ (учащихся) — участвовали в конкурсе.
Теперь найдем, сколько всего учащихся в классе. Известно, что 15 участников — это половина класса. Следовательно, чтобы найти общее число учащихся, нужно количество участников умножить на 2.
2) $15 \times 2 = 30$ (учащихся) — всего в классе.
Ответ: 30 учащихся.

б) Сначала определим, сколько страниц Оля прочитала за два дня. По условию, 10 страниц, прочитанных в первый день, — это четверть от количества, прочитанного за два дня. Значит, за два дня она прочитала в 4 раза больше страниц.
1) $10 \times 4 = 40$ (страниц) — прочитано за два дня.
Теперь найдем общее количество страниц в книге. Известно, что 40 прочитанных страниц — это половина всей книги. Следовательно, чтобы найти общее число страниц, нужно количество прочитанных за два дня страниц умножить на 2.
2) $40 \times 2 = 80$ (страниц) — всего в книге.
Ответ: 80 страниц.

616 Найдите значение выражения:

а) $3 \cdot 15^2$;

б) $(2 \cdot 5)^3$;

в) $(16 + 180 : 2)^2$;

г) $18 \cdot (76 - 66)^3$.

а) $3 \cdot 15^2$

Согласно порядку действий, сначала выполняется возведение в степень, а затем умножение.

1. Возводим 15 в квадрат:

$15^2 = 15 \cdot 15 = 225$

2. Умножаем 3 на полученный результат:

$3 \cdot 225 = 675$

Ответ: 675

б) $(2 \cdot 5)^3$

Сначала необходимо выполнить действие в скобках, а затем возвести результат в степень.

1. Выполняем умножение в скобках:

$2 \cdot 5 = 10$

2. Возводим результат в куб:

$10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$

Ответ: 1000

в) $(16 + 180 : 2)^2$

Вначале выполняем действия в скобках, где деление имеет приоритет над сложением.

1. Выполняем деление в скобках:

$180 : 2 = 90$

2. Выполняем сложение в скобках:

$16 + 90 = 106$

3. Теперь возводим полученную сумму в квадрат:

$106^2 = 106 \cdot 106 = 11236$

Ответ: 11236

г) $18 \cdot (76 - 66)^3$

Порядок действий следующий: сначала вычисляем значение в скобках, затем возводим в степень, и в конце выполняем умножение.

1. Выполняем вычитание в скобках:

$76 - 66 = 10$

2. Возводим результат в куб:

$10^3 = 1000$

3. Умножаем 18 на полученное число:

$18 \cdot 1000 = 18000$

Ответ: 18000

617 Таня и её подруга должны надписать 300 поздравительных открыток. Таня надписывает 30 открыток в час, а её подруга — 35 открыток. Сколько открыток останется им надписать через 2 ч совместной работы? через 4 ч?

Для решения задачи сначала найдём общую производительность Тани и её подруги, то есть сколько открыток они подписывают вместе за один час.

1. Сложим их индивидуальные скорости:

$30 + 35 = 65$ (открыток/час) — общая скорость работы.

Теперь, зная общую производительность, мы можем ответить на вопросы задачи.

через 2 ч

2. Узнаем, сколько открыток они надпишут вместе за 2 часа:

$65 \cdot 2 = 130$ (открыток).

3. Вычтем из общего количества открыток те, что уже подписаны, чтобы найти остаток:

$300 - 130 = 170$ (открыток).

Ответ: через 2 часа останется надписать 170 открыток.

через 4 ч

4. Узнаем, сколько открыток они надпишут вместе за 4 часа:

$65 \cdot 4 = 260$ (открыток).

5. Найдём, сколько открыток останется надписать после 4 часов работы:

$300 - 260 = 40$ (открыток).

Ответ: через 4 часа останется надписать 40 открыток.

618 1) Назовите все вершины, все стороны и все углы четырёхугольника, изображённого на рисунке 8.8.

2) Определите на глаз, есть ли в четырёхугольнике прямой угол, какой из его углов тупой, сколько у него острых углов. Измерьте и запишите величину каждого угла четырёхугольника.

3) Выполните необходимые измерения и найдите периметр четырёхугольника.

Рис. 8.8

1) На рисунке 8.8 изображен четырехугольник BCDE.
Вершины четырехугольника: B, C, D, E.
Стороны четырехугольника: BC, CD, DE, EB.
Углы четырехугольника: ∠B (или ∠EBC), ∠C (или ∠BCD), ∠D (или ∠CDE), ∠E (или ∠DEB).
Ответ: Вершины: B, C, D, E. Стороны: BC, CD, DE, EB. Углы: ∠B, ∠C, ∠D, ∠E.

2) Определим виды углов на глаз:
- Прямых углов (равных $90^\circ$) нет. Угол E близок к прямому, но, вероятнее всего, является острым.
- Углы B и C являются тупыми, так как они очевидно больше $90^\circ$.
- Углы D и E являются острыми, так как они очевидно меньше $90^\circ$.
Таким образом, у четырехугольника два тупых и два острых угла.

Теперь измерим углы с помощью транспортира. Следует учесть, что измерения по изображению на экране могут быть неточными.
Величина каждого угла:
- $\angle B \approx 100^\circ$
- $\angle C \approx 115^\circ$
- $\angle D \approx 70^\circ$
- $\angle E \approx 75^\circ$
Проверим, что сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$:
$100^\circ + 115^\circ + 70^\circ + 75^\circ = 360^\circ$.
Ответ: На глаз: прямых углов нет, тупые углы — B и C, острые углы — D и E. Измеренные величины: $\angle B \approx 100^\circ$, $\angle C \approx 115^\circ$, $\angle D \approx 70^\circ$, $\angle E \approx 75^\circ$.

3) Периметр четырехугольника — это сумма длин всех его сторон. Формула для периметра $P$ четырехугольника BCDE:
$P = BC + CD + DE + EB$
Выполним необходимые измерения сторон с помощью линейки. Значения являются примерными, так как измерены по изображению.
- Длина стороны BC $\approx 4,0$ см
- Длина стороны CD $\approx 4,4$ см
- Длина стороны DE $\approx 2,8$ см
- Длина стороны EB $\approx 2,4$ см
Теперь найдем периметр:
$P \approx 4,0 + 4,4 + 2,8 + 2,4 = 13,6$ см.
Ответ: Периметр четырехугольника равен примерно $13,6$ см.

619 a) Угол в $68^\circ$ разделён биссектрисой на два угла. Найдите их величины.

б) Угол, который образует биссектриса с одной стороной угла A, равен $16^\circ$. Найдите величину угла A.

а) Биссектриса — это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла. По условию, исходный угол равен $68°$. Чтобы найти величину каждого из двух углов, образованных биссектрисой, нужно разделить величину исходного угла на 2.

Выполним вычисление:

$68° \div 2 = 34°$

Таким образом, биссектриса разделила угол в $68°$ на два равных угла, каждый из которых имеет величину $34°$.

Ответ: $34°$ и $34°$.

б) По определению, биссектриса делит угол на две равные части. Угол, который образует биссектриса с одной из сторон угла A, является одной из этих равных частей. По условию, величина этого угла составляет $16°$.

Это означает, что биссектриса разделила угол А на два угла по $16°$ каждый. Чтобы найти величину всего угла A, нужно сложить величины этих двух углов или умножить величину одного из них на 2.

Выполним вычисление:

$16° \cdot 2 = 32°$

Следовательно, величина угла A равна $32°$.

Ответ: $32°$.