Страница 168 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

640 Сколько минут содержится:

а) В $\frac{1}{5}$ ч;

б) В $\frac{2}{3}$ ч;

в) В $\frac{11}{10}$ ч;

г) В $\frac{5}{12}$ ч;

д) В $\frac{12}{5}$ ч?

Для того чтобы найти, сколько минут содержится в определённой части часа, необходимо эту часть (дробь) умножить на общее количество минут в одном часе. В одном часе содержится 60 минут.

а) Найдём количество минут в $\frac{1}{5}$ часа:
$\frac{1}{5} \times 60 = \frac{60}{5} = 12$ минут.
Ответ: 12 минут.

б) Найдём количество минут в $\frac{2}{3}$ часа:
$\frac{2}{3} \times 60 = \frac{2 \times 60}{3} = \frac{120}{3} = 40$ минут.
Ответ: 40 минут.

в) Найдём количество минут в $\frac{11}{10}$ часа:
$\frac{11}{10} \times 60 = 11 \times \frac{60}{10} = 11 \times 6 = 66$ минут.
Ответ: 66 минут.

г) Найдём количество минут в $\frac{5}{12}$ часа:
$\frac{5}{12} \times 60 = 5 \times \frac{60}{12} = 5 \times 5 = 25$ минут.
Ответ: 25 минут.

д) Найдём количество минут в $\frac{12}{5}$ часа:
$\frac{12}{5} \times 60 = 12 \times \frac{60}{5} = 12 \times 12 = 144$ минуты.
Ответ: 144 минуты.

641 Сколько сантиметров содержится:

а) В $\frac{1}{10}$ М;

б) В $\frac{7}{20}$ М;

в) В $\frac{11}{50}$ М;

г) В $\frac{1}{10}$ ДМ;

д) В $\frac{4}{5}$ ДМ;

е) В $\frac{7}{2}$ ДМ?

а) Чтобы перевести метры в сантиметры, необходимо вспомнить, что 1 метр равен 100 сантиметрам. Для нахождения значения в сантиметрах, умножим данную дробь на 100.
$\frac{1}{10} \text{ м} = \frac{1}{10} \times 100 \text{ см} = \frac{1 \times 100}{10} \text{ см} = \frac{100}{10} \text{ см} = 10 \text{ см}.$
Ответ: 10 см.

б) Умножим $\frac{7}{20}$ на 100, чтобы перевести метры в сантиметры.
$\frac{7}{20} \text{ м} = \frac{7}{20} \times 100 \text{ см} = \frac{7 \times 100}{20} \text{ см} = 7 \times 5 \text{ см} = 35 \text{ см}.$
Ответ: 35 см.

в) Умножим $\frac{11}{50}$ на 100, чтобы перевести метры в сантиметры.
$\frac{11}{50} \text{ м} = \frac{11}{50} \times 100 \text{ см} = \frac{11 \times 100}{50} \text{ см} = 11 \times 2 \text{ см} = 22 \text{ см}.$
Ответ: 22 см.

г) Чтобы перевести дециметры в сантиметры, необходимо вспомнить, что 1 дециметр равен 10 сантиметрам. Для нахождения значения в сантиметрах, умножим данную дробь на 10.
$\frac{1}{10} \text{ дм} = \frac{1}{10} \times 10 \text{ см} = \frac{1 \times 10}{10} \text{ см} = \frac{10}{10} \text{ см} = 1 \text{ см}.$
Ответ: 1 см.

д) Умножим $\frac{4}{5}$ на 10, чтобы перевести дециметры в сантиметры.
$\frac{4}{5} \text{ дм} = \frac{4}{5} \times 10 \text{ см} = \frac{4 \times 10}{5} \text{ см} = 4 \times 2 \text{ см} = 8 \text{ см}.$
Ответ: 8 см.

е) Умножим $\frac{7}{2}$ на 10, чтобы перевести дециметры в сантиметры.
$\frac{7}{2} \text{ дм} = \frac{7}{2} \times 10 \text{ см} = \frac{7 \times 10}{2} \text{ см} = 7 \times 5 \text{ см} = 35 \text{ см}.$
Ответ: 35 см.

642 а) За 1 ч туристы прошли $\frac{1}{5}$ всего пути. За сколько часов они пройдут весь путь, если будут идти с той же скоростью?

б) В банку насыпали 140 г крупы, и это составило $\frac{1}{7}$ её вместимости. Сколько граммов такой крупы вмещает банка?

а)

В задаче говорится, что $\frac{1}{5}$ всего пути туристы прошли за 1 час. Весь путь можно принять за 1, или, что то же самое, за $\frac{5}{5}$. Это означает, что весь путь состоит из 5 равных частей, и на прохождение одной такой части туристы тратят 1 час.

Чтобы найти время, необходимое для прохождения всего пути, нужно время, затраченное на одну часть, умножить на общее количество таких частей.

Математически это можно выразить как деление времени на долю пройденного пути:

$1 \text{ час} \div \frac{1}{5} = 1 \times 5 = 5 \text{ часов}$

Таким образом, чтобы пройти весь путь, туристам понадобится 5 часов.

Ответ: 5 часов.

б)

Из условия известно, что 140 граммов крупы — это $\frac{1}{7}$ от полной вместимости банки. Полную вместимость банки можно принять за 1, или $\frac{7}{7}$. Это значит, что вся вместимость банки состоит из 7 равных частей, и одна такая часть равна 140 граммам.

Чтобы найти, сколько всего граммов крупы вмещает банка, нужно массу одной части умножить на общее количество таких частей.

Выполним вычисление, разделив известную массу на долю, которую она составляет от целого:

$140 \text{ г} \div \frac{1}{7} = 140 \times 7 = 980 \text{ г}$

Следовательно, полная вместимость банки составляет 980 граммов крупы.

Ответ: 980 граммов.

643. Какие натуральные числа можно подставить вместо буквы k, чтобы дробь $k \over 7$ была:

а) правильной?

б) неправильной?

а)

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. В дроби $k/7$ числитель равен $k$, а знаменатель равен 7.

Для того чтобы дробь была правильной, должно выполняться условие: числитель < знаменатель. В нашем случае $k < 7$.

Поскольку в условии задачи говорится, что $k$ – это натуральное число (то есть 1, 2, 3, ...), то нам нужно найти все натуральные числа, которые меньше 7.

Такими числами являются: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

б)

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Для дроби $k/7$ это условие записывается так: $k \ge 7$.

Так как $k$ – это натуральное число, то ему могут соответствовать все натуральные числа, которые больше или равны 7.

Это числа: 7, 8, 9, 10, 11 и так далее до бесконечности.

Ответ: любое натуральное число $k$, для которого выполняется условие $k \ge 7$ (например, 7, 8, 9, ...).

644 Подставьте в дробь $ \frac{a}{b} $ вместо букв $a$ и $b$ всеми возможными способами натуральные числа от 1 до 6 так, чтобы полученные дроби были правильными.

По условию задачи, необходимо в дробь $ \frac{a}{b} $ подставить вместо $ a $ (числитель) и $ b $ (знаменатель) натуральные числа от 1 до 6. При этом полученные дроби должны быть правильными.

Правильная дробь — это такая дробь, у которой числитель строго меньше знаменателя. Таким образом, нам нужно найти все пары натуральных чисел $ a $ и $ b $ из множества $ \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} $, для которых выполняется неравенство $ a < b $.

Для того чтобы найти все возможные дроби, будем последовательно перебирать все возможные значения для знаменателя $ b $, начиная с наименьшего возможного.

• Пусть знаменатель $ b = 2 $. Тогда числитель $ a $ должен быть меньше 2. Из заданного набора чисел подходит только $ a = 1 $. Получаем дробь: $ \frac{1}{2} $.
• Пусть знаменатель $ b = 3 $. Тогда числитель $ a $ может быть равен 1 или 2 ($ a < 3 $). Получаем дроби: $ \frac{1}{3}, \frac{2}{3} $.
• Пусть знаменатель $ b = 4 $. Тогда числитель $ a $ может быть равен 1, 2 или 3 ($ a < 4 $). Получаем дроби: $ \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4} $.
• Пусть знаменатель $ b = 5 $. Тогда числитель $ a $ может быть равен 1, 2, 3 или 4 ($ a < 5 $). Получаем дроби: $ \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5} $.
• Пусть знаменатель $ b = 6 $. Тогда числитель $ a $ может быть равен 1, 2, 3, 4 или 5 ($ a < 6 $). Получаем дроби: $ \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}, \frac{4}{6}, \frac{5}{6} $.

Знаменатель $ b $ не может быть равен 1, так как в заданном наборе нет натурального числа $ a $, которое было бы меньше 1.

Соберем все найденные дроби в один список.

Ответ: $ \frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{2}{3}; \frac{1}{4}; \frac{2}{4}; \frac{3}{4}; \frac{1}{5}; \frac{2}{5}; \frac{3}{5}; \frac{4}{5}; \frac{1}{6}; \frac{2}{6}; \frac{3}{6}; \frac{4}{6}; \frac{5}{6} $.

645 Начертите координатную прямую и отметьте на ней дроби

$\frac{1}{4}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{5}{12}$, $\frac{9}{12}$, $\frac{16}{12}$

Совет. Подумайте, какой единичный отрезок удобно взять.

Чтобы отметить на координатной прямой дроби с разными знаменателями, сначала приведем их к общему знаменателю. В нашем случае даны дроби со знаменателями 4, 6 и 12.

Наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 4, 6 и 12 равно 12. Поэтому общим знаменателем будет 12. Приведем все дроби к этому знаменателю:

• $ \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12} $

• $ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12} $

• $ \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12} $

• $ \frac{5}{12} $ (уже приведена)

• $ \frac{9}{12} $ (уже приведена)

• $ \frac{16}{12} $ (уже приведена)

Теперь нам нужно отметить на прямой точки, соответствующие дробям $ \frac{3}{12}, \frac{5}{12}, \frac{9}{12}, \frac{10}{12} $ и $ \frac{16}{12} $. Обратите внимание, что дроби $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{9}{12} $ обозначают одну и ту же точку на прямой.

Для построения координатной прямой выберем удобный единичный отрезок, то есть расстояние от 0 до 1. Поскольку общий знаменатель равен 12, удобно взять единичный отрезок, равный 12 делениям (например, 12 клеткам тетради). Тогда каждое деление будет соответствовать $ \frac{1}{12} $.

Начертим прямую, отметим начало отсчета 0, направление и расставим точки согласно их значениям:

• Точка $ \frac{1}{4} $ ($ \frac{3}{12} $) будет расположена на 3-м делении от 0.

• Точка $ \frac{5}{12} $ будет расположена на 5-м делении от 0.

• Точки $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{9}{12} $ будут расположены на 9-м делении от 0.

• Точка $ \frac{5}{6} $ ($ \frac{10}{12} $) будет расположена на 10-м делении от 0.

• Точка $ \frac{16}{12} $, равная $ 1\frac{4}{12} $, будет расположена на 16-м делении от 0 (или на 4 деления правее отметки 1).

Ответ:

Ниже представлена координатная прямая с отмеченными на ней дробями.

646 Какие из точек, отмеченных на координатной прямой (рис. 8.21), изображают правильные дроби? неправильные дроби?

Для того чтобы определить, какие точки изображают правильные, а какие — неправильные дроби, необходимо вспомнить их определения и связь с числовой прямой.

Правильные дроби

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Любая положительная правильная дробь всегда меньше 1. На координатной прямой такие дроби располагаются между 0 и 1.

На данном рисунке точки C и A находятся на промежутке от 0 до 1. Это означает, что координаты этих точек — правильные дроби.

Ответ: точки C и A.

Неправильные дроби

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Такая дробь всегда больше или равна 1 ($≥ 1$). На координатной прямой такие дроби располагаются в точке 1 или правее неё.

На данном рисунке точки B и D находятся правее отметки 1. Это означает, что координаты этих точек — неправильные дроби.

Ответ: точки B и D.

647 Спланируйте ход решения и решите Рис. 8.21 задачу:

a) В парке посадили 60 берёз и рябин. Берёзы составили $ \frac{7}{12} $ всех посаженных деревьев. Сколько посадили рябин?

б) Из 30 дней июня $ \frac{2}{5} $ были дождливыми, а остальные — солнечными. Сколько солнечных дней было в июне?

а)

Для решения этой задачи нужно выполнить два действия. Сначала мы найдём количество берёз, а затем, зная общее количество деревьев, сможем найти количество рябин.

1. Найдём, сколько берёз посадили. Берёзы составляют $\frac{7}{12}$ от всех 60 деревьев. Чтобы найти часть от числа, нужно это число умножить на дробь:

$60 \cdot \frac{7}{12} = \frac{60 \cdot 7}{12} = 5 \cdot 7 = 35$ (берёз)

2. Теперь найдём, сколько посадили рябин. Для этого из общего количества деревьев вычтем количество берёз:

$60 - 35 = 25$ (рябин)

Ответ: 25 рябин.

б)

Эта задача также решается в два действия. Сначала определим количество дождливых дней, а затем вычтем их из общего числа дней в июне, чтобы найти количество солнечных дней.

1. Найдём, сколько было дождливых дней. Они составили $\frac{2}{5}$ от 30 дней июня:

$30 \cdot \frac{2}{5} = \frac{30 \cdot 2}{5} = 6 \cdot 2 = 12$ (дождливых дней)

2. Теперь найдём количество солнечных дней, вычтя из общего числа дней в месяце количество дождливых дней:

$30 - 12 = 18$ (солнечных дней)

Ответ: 18 солнечных дней.

648 РЕШАЕМ ЗАДАЧУ ПО ПЛАНУ

а) Площадь кухни 10 м². Она составляет $\frac{2}{13}$ общей площади квартиры. Чему равна площадь квартиры?

1) Известно, сколько квадратных метров приходится на две тринадцатые. Определите, сколько квадратных метров приходится на одну тринадцатую.

2) Теперь известно, сколько квадратных метров приходится на одну тринадцатую площади квартиры. Определите, сколько квадратных метров приходится на всю квартиру. (Подумайте, сколько тринадцатых долей составляет вся площадь квартиры.)

б) За 3 ч маляры выполнили $\frac{3}{7}$ всей работы. За сколько часов они выполнят всю работу?

Подсказка. Составьте план, аналогичный плану в задании «а».

а)

По условию, площадь кухни равна 10 м², и это составляет $\frac{2}{13}$ от общей площади квартиры. Чтобы найти общую площадь, нужно найти целое по его части. Для этого воспользуемся планом.

1) Нам известно, что $\frac{2}{13}$ площади квартиры — это 10 м². Чтобы найти, сколько квадратных метров приходится на одну тринадцатую ($\frac{1}{13}$), нужно 10 м² разделить на 2:

$10 \div 2 = 5$ (м²)

Таким образом, одна тринадцатая доля площади квартиры составляет 5 м².

2) Вся площадь квартиры составляет 13 таких долей ($\frac{13}{13}$). Чтобы найти общую площадь, нужно площадь одной доли (5 м²) умножить на 13:

$5 \times 13 = 65$ (м²)

Ответ: площадь квартиры равна 65 м².

б)

По условию, за 3 часа маляры выполнили $\frac{3}{7}$ всей работы. Чтобы найти, сколько времени им потребуется на всю работу, составим план, аналогичный предыдущей задаче.

1) Сначала определим, сколько времени требуется на выполнение одной седьмой ($\frac{1}{7}$) части всей работы. Если на $\frac{3}{7}$ работы ушло 3 часа, то на $\frac{1}{7}$ работы потребуется в 3 раза меньше времени:

$3 \div 3 = 1$ (час)

Таким образом, на выполнение одной седьмой части работы уходит 1 час.

2) Вся работа составляет 7 таких частей ($\frac{7}{7}$). Чтобы найти общее время, необходимое для выполнения всей работы, нужно время выполнения одной части (1 час) умножить на 7:

$1 \times 7 = 7$ (часов)

Ответ: маляры выполнят всю работу за 7 часов.