Страница 169 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

РАССУЖДАЕМ (649–650)

24 км

$ \frac{1}{4} $

$ \frac{3}{4} $

Рис. 8.22

649 a) Автобус прошёл четверть всего маршрута и сделал остановку. После остановки до конца маршрута он прошёл 24 км. Какова длина всего маршрута?

Вашим рассуждениям может помочь рисунок. Изобразим весь маршрут отрезком и разделим его на четыре равные части (рис. 8.22).

После того как пройдена четверть маршрута, осталось пройти три четверти этого маршрута, и эти три четверти составляют 24 км. Закончите решение задачи.

б) В пакете лежали орехи. Когда высыпали треть содержимого пакета, то в пакете осталось 18 орехов. Сколько орехов было в пакете первоначально?

а) Весь маршрут примем за единицу, или $ \frac{4}{4} $. Автобус прошёл четверть маршрута, то есть $ \frac{1}{4} $.

1. Найдём, какая часть маршрута осталась после остановки. Для этого из всего маршрута вычтем пройденную часть:
$ 1 - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $ (часть маршрута).

2. По условию, оставшаяся часть маршрута составляет 24 км. Следовательно, $ \frac{3}{4} $ маршрута равны 24 км. Чтобы найти, сколько километров составляет одна четверть ($ \frac{1}{4} $) маршрута, разделим 24 км на 3:
$ 24 \div 3 = 8 $ (км).

3. Теперь, зная, что одна четверть маршрута равна 8 км, мы можем найти длину всего маршрута (четыре четверти), умножив эту величину на 4:
$ 8 \times 4 = 32 $ (км).

Ответ: 32 км.

б) Общее количество орехов в пакете примем за единицу, или $ \frac{3}{3} $. Из пакета высыпали треть содержимого, то есть $ \frac{1}{3} $ всех орехов.

1. Узнаем, какая часть орехов осталась в пакете. Для этого из общего количества вычтем ту часть, которую высыпали:
$ 1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $ (часть орехов).

2. По условию, в пакете осталось 18 орехов, что составляет $ \frac{2}{3} $ от первоначального количества. Чтобы найти, сколько орехов составляет одна треть ($ \frac{1}{3} $), разделим оставшееся количество орехов на 2:
$ 18 \div 2 = 9 $ (орехов).

3. Зная, что одна треть — это 9 орехов, найдём общее количество орехов (три трети), умножив это число на 3:
$ 9 \times 3 = 27 $ (орехов).

Ответ: 27 орехов.

650 a) На столе лежало несколько книг. Когда взяли половину всех книг и ещё одну книгу, то осталось 2 книги. Сколько книг лежало на столе?

б) Когда Петя отдал брату половину всех значков и ещё 3 значка, у него осталось 19 значков. Сколько значков было у Пети первоначально?

а) Эту задачу удобнее всего решать с конца. Известно, что в итоге осталось 2 книги. Это произошло после того, как со стола взяли одну книгу. Значит, до этого момента на столе было $2 + 1 = 3$ книги. Эти 3 книги остались после того, как взяли половину всех книг. Следовательно, 3 книги — это и есть вторая половина. Чтобы найти общее количество книг, нужно удвоить это число: $3 \times 2 = 6$ книг.
Проверим: Изначально было 6 книг. Взяли половину ($6 / 2 = 3$) и еще одну ($3 + 1 = 4$). Осталось $6 - 4 = 2$ книги. Все верно.
Также можно решить задачу с помощью уравнения. Пусть $x$ — первоначальное количество книг. Тогда со стола взяли $\frac{x}{2} + 1$ книг. Осталось $x - (\frac{x}{2} + 1)$ книг, что по условию равно 2.
Составим и решим уравнение:
$x - (\frac{x}{2} + 1) = 2$
$x - \frac{x}{2} - 1 = 2$
$\frac{x}{2} = 2 + 1$
$\frac{x}{2} = 3$
$x = 6$
Ответ: 6 книг.

б) Решим эту задачу аналогично предыдущей, с конца. У Пети осталось 19 значков. Это количество получилось после того, как он отдал 3 значка. Значит, до этого у него было $19 + 3 = 22$ значка. Эти 22 значка составляют половину от его первоначального количества, так как другую половину он отдал брату в самом начале. Следовательно, первоначально у Пети было $22 \times 2 = 44$ значка.
Проверим: Изначально было 44 значка. Петя отдал половину ($44 / 2 = 22$) и еще 3 значка ($22 + 3 = 25$). У него осталось $44 - 25 = 19$ значков. Все верно.
Решение с помощью уравнения. Пусть $y$ — первоначальное количество значков у Пети. Он отдал брату $\frac{y}{2} + 3$ значков. У него осталось $y - (\frac{y}{2} + 3)$ значков, что по условию равно 19.
Составим и решим уравнение:
$y - (\frac{y}{2} + 3) = 19$
$y - \frac{y}{2} - 3 = 19$
$\frac{y}{2} = 19 + 3$
$\frac{y}{2} = 22$
$y = 44$
Ответ: 44 значка.

651 Найдите значение выражения:

a) $500 - 2 \cdot 6^3$;

б) $(113 - 108)^3$;

в) $79 + 11^2$;

г) $(3 \cdot 8^2) : 4^2$.

а) $500 - 2 \cdot 6^3$

Чтобы найти значение данного выражения, необходимо следовать порядку выполнения арифметических действий. Сначала выполняется возведение в степень, затем умножение, и в последнюю очередь вычитание.

1. Возводим число 6 в третью степень: $6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$.

2. Выполняем умножение: $2 \cdot 216 = 432$.

3. Выполняем вычитание: $500 - 432 = 68$.

Таким образом, $500 - 2 \cdot 6^3 = 500 - 2 \cdot 216 = 500 - 432 = 68$.

Ответ: 68

б) $(113 - 108)^3$

В этом выражении сначала нужно выполнить действие в скобках, а затем возвести полученный результат в степень.

1. Вычисляем разность в скобках: $113 - 108 = 5$.

2. Возводим результат в третью степень: $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.

Таким образом, $(113 - 108)^3 = 5^3 = 125$.

Ответ: 125

в) $79 + 11^2$

Согласно порядку действий, сначала выполняется возведение в степень, а после этого — сложение.

1. Возводим число 11 во вторую степень (в квадрат): $11^2 = 11 \cdot 11 = 121$.

2. Выполняем сложение: $79 + 121 = 200$.

Таким образом, $79 + 11^2 = 79 + 121 = 200$.

Ответ: 200

г) $(3 \cdot 8^2) : 4^2$

Порядок действий в данном выражении следующий: сначала вычисляем значение в скобках (внутри них сначала возведение в степень, потом умножение), затем возводим в степень делитель, и в конце выполняем деление.

1. Вычисляем значение выражения в скобках. Сначала возводим 8 в квадрат: $8^2 = 64$. Затем умножаем: $3 \cdot 64 = 192$.

2. Возводим в степень делитель: $4^2 = 16$.

3. Выполняем деление: $192 : 16 = 12$.

Таким образом, $(3 \cdot 8^2) : 4^2 = (3 \cdot 64) : 16 = 192 : 16 = 12$.

Ответ: 12

652 Наташа и её подруга должны запечатать 360 конвертов с приглашениями на юбилей школы. Наташа запечатывает 40 конвертов в час, а её подруга – 50 конвертов. За какое время они выполнят всю работу, если будут работать вместе?

Для решения этой задачи необходимо сначала найти общую производительность работы Наташи и её подруги, то есть количество конвертов, которое они запечатывают вместе за один час.

1. Производительность Наташи составляет 40 конвертов в час.

2. Производительность её подруги – 50 конвертов в час.

Чтобы найти их совместную производительность, сложим их скорости работы:

$40 \text{ конвертов/час} + 50 \text{ конвертов/час} = 90 \text{ конвертов/час}$

Теперь мы знаем, что работая вместе, они запечатывают 90 конвертов в час. Общее количество конвертов, которое им нужно запечатать, составляет 360.

Чтобы найти время, необходимое для выполнения всей работы, нужно общее количество конвертов разделить на совместную производительность:

$\text{Время} = \frac{\text{Общий объем работы}}{\text{Совместная производительность}}$

$360 \text{ конвертов} \div 90 \text{ конвертов/час} = 4 \text{ часа}$

Таким образом, работая вместе, Наташа и её подруга выполнят всю работу за 4 часа.

Ответ: 4 часа.

653 Два мастера работают на фабрике ёлочных украшений. Один из них расписывает 20 ёлочных шаров в час, а другой – 25. Первый работал 5 дней по 8 ч в день, а второй – 4 дня по 6 ч в день. Сколько ёлочных шаров расписали они вместе?

Для того чтобы найти общее количество ёлочных шаров, расписанных двумя мастерами, необходимо сначала вычислить, сколько шаров изготовил каждый мастер в отдельности, а затем сложить эти два значения.

1. Вычислим количество шаров, расписанных первым мастером.
Сначала найдем общее количество часов, которое он проработал. Он работал 5 дней по 8 часов в день:$5 \cdot 8 = 40$ часов.
Далее, умножим общее время работы на его производительность (20 шаров в час):$40 \cdot 20 = 800$ ёлочных шаров.

2. Вычислим количество шаров, расписанных вторым мастером.
Найдем общее количество часов, которое проработал второй мастер. Он работал 4 дня по 6 часов в день:$4 \cdot 6 = 24$ часа.
Теперь умножим его время работы на производительность (25 шаров в час):$24 \cdot 25 = 600$ ёлочных шаров.

3. Найдем, сколько всего ёлочных шаров расписали мастера вместе.
Сложим количество шаров, расписанных первым и вторым мастерами:$800 + 600 = 1400$ ёлочных шаров.
Ответ: 1400 ёлочных шаров.

654 1) Назовите равные стороны и равные углы пяти-угольника, изображённого на рисунке 8.23. Про-верьте свои утверждения с помощью измерения.

2) Скопируйте пятиугольник в тетрадь. Выполните необходимые измерения и найдите его периметр.

Рис. 8.23

1) Чтобы найти равные стороны и углы пятиугольника, воспользуемся его симметрией. Пятиугольник KMNPT симметричен относительно вертикальной оси, проходящей через вершину M и середину стороны TP. Это означает, что левая и правая части фигуры являются зеркальными отражениями друг друга.

Исходя из симметрии:

Равные стороны: Сторона MK симметрична стороне MN, а сторона KT симметрична стороне NP. Следовательно, их длины попарно равны: $MK = MN$ и $KT = NP$.

Равные углы: Угол при вершине K (∠TKM) симметричен углу при вершине N (∠PNM). Угол при вершине T (∠KTP) симметричен углу при вершине P (∠NPT). Следовательно, эти углы попарно равны: $∠K = ∠N$ и $∠T = ∠P$.

Проверить эти утверждения можно с помощью измерений, скопировав фигуру в тетрадь. Линейкой можно измерить длины сторон, а транспортиром — величины углов.

Ответ: Равные стороны: $MK = MN$ и $KT = NP$. Равные углы: $∠K = ∠N$ и $∠T = ∠P$.

2) Периметр пятиугольника — это сумма длин всех его сторон. Для нахождения длин сторон воспользуемся клетчатой сеткой, приняв длину стороны одной клетки за единицу измерения.

Длина стороны TP: Сторона лежит на горизонтальной линии сетки и занимает 2 клетки, поэтому её длина $TP = 2$.

Длина стороны KT: Рассмотрим эту сторону как гипотенузу прямоугольного треугольника, катеты которого проходят по линиям сетки и равны 1 и 2 клеткам. По теореме Пифагора, $KT = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.

Длина стороны NP: Из симметрии известно, что $NP = KT = \sqrt{5}$.

Длина стороны MK: Рассмотрим эту сторону как гипотенузу прямоугольного треугольника, катеты которого равны 2 и 2 клеткам. По теореме Пифагора, $MK = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Длина стороны MN: Из симметрии известно, что $MN = MK = 2\sqrt{2}$.

Теперь найдём периметр $P$ как сумму длин всех сторон:
$P = TP + KT + NP + MK + MN$
$P = 2 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}$
$P = 2 + 2\sqrt{5} + 4\sqrt{2}$

Это точное значение периметра, выраженное в единицах длины стороны клетки. Если измерять в сантиметрах, результат будет зависеть от размера клетки в тетради.

Ответ: Периметр пятиугольника равен $2 + 2\sqrt{5} + 4\sqrt{2}$ единиц.