Страница 171 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Разделите его на четыре равные части и закрасьте $ \frac{3}{4} $ прямоугольника. С помощью этого рисунка покажите, что $ \frac{3}{4} = \frac{9}{12} = \frac{18}{24} $.

Объясните, почему верно равенство: а) $ \frac{1}{5} = \frac{14}{70} $; б) $ \frac{3}{4} = \frac{15}{20} $; в) $ \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $; г) $ \frac{24}{33} = \frac{8}{11} $.

Начертите прямоугольник со сторонами, равными 4 клеткам и 6 клеткам. Разделите его на четыре равные части и закрасьте 3/4 прямоугольника. С помощью этого рисунка покажите, что $\frac{3}{4} = \frac{9}{12} = \frac{18}{24}$.

1. Начертим прямоугольник размером 4 на 6 клеток. Общее количество клеток в нем: $4 \times 6 = 24$.

2. Разделим прямоугольник на 4 равные части. Каждая часть будет содержать $24 \div 4 = 6$ клеток. Закрасим 3 из этих 4 частей. Таким образом, мы закрасим $3 \times 6 = 18$ клеток.

Ниже представлен рисунок. Прямоугольник разделен жирными линиями на 4 равные части (каждая 3x2 клетки). Три из них закрашены.

3. Покажем равенства с помощью рисунка:

• Равенство $\frac{3}{4}$: Мы разделили весь прямоугольник на 4 равные части и закрасили 3 из них. Это по определению составляет $\frac{3}{4}$ от всего прямоугольника.
• Равенство $\frac{18}{24}$: Весь прямоугольник состоит из 24 маленьких клеток. Мы закрасили 18 из них. Значит, закрашенная часть составляет $\frac{18}{24}$ от всего прямоугольника.
• Равенство $\frac{9}{12}$: Мы можем мысленно разделить весь прямоугольник на 12 равных частей. Каждая такая часть будет состоять из $24 \div 12 = 2$ клеток. В закрашенной области (18 клеток) поместится $18 \div 2 = 9$ таких частей. Таким образом, закрашенная область составляет $\frac{9}{12}$ от всего прямоугольника.

Так как закрашенная область одна и та же, все три дроби равны между собой.

Ответ: На рисунке показано, что закрашенная часть составляет $\frac{3}{4}$, $\frac{9}{12}$ и $\frac{18}{24}$ прямоугольника, следовательно, $\frac{3}{4} = \frac{9}{12} = \frac{18}{24}$.

Сформулируйте основное свойство дроби. Объясните, почему верно равенство: а) $\frac{1}{5} = \frac{14}{70}$; б) $\frac{3}{4} = \frac{15}{20}$; в) $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$; г) $\frac{24}{33} = \frac{8}{11}$.

Основное свойство дроби: Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Математически это можно записать так: $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n}$ и $\frac{a}{b} = \frac{a \div n}{b \div n}$ (где $a, b, n$ — натуральные числа, и $n$ является общим делителем для $a$ и $b$ во втором случае).

Объясним верность равенств, используя это свойство:

а) $\frac{1}{5} = \frac{14}{70}$
Чтобы из знаменателя 5 получить 70, нужно 5 умножить на 14 ($70 \div 5 = 14$). Согласно основному свойству дроби, мы должны умножить и числитель на то же число: $1 \times 14 = 14$.
Получаем: $\frac{1}{5} = \frac{1 \times 14}{5 \times 14} = \frac{14}{70}$. Равенство верно.

б) $\frac{3}{4} = \frac{15}{20}$
Чтобы из знаменателя 4 получить 20, нужно 4 умножить на 5 ($20 \div 4 = 5$). Умножаем числитель на то же число: $3 \times 5 = 15$.
Получаем: $\frac{3}{4} = \frac{3 \times 5}{4 \times 5} = \frac{15}{20}$. Равенство верно.

в) $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Чтобы из знаменателя 6 получить 3, нужно 6 разделить на 2 ($6 \div 3 = 2$). Согласно основному свойству дроби, мы должны разделить и числитель на то же число: $4 \div 2 = 2$.
Получаем: $\frac{4}{6} = \frac{4 \div 2}{6 \div 2} = \frac{2}{3}$. Равенство верно.

г) $\frac{24}{33} = \frac{8}{11}$
Чтобы из знаменателя 33 получить 11, нужно 33 разделить на 3 ($33 \div 11 = 3$). Делим числитель на то же число: $24 \div 3 = 8$.
Получаем: $\frac{24}{33} = \frac{24 \div 3}{33 \div 3} = \frac{8}{11}$. Равенство верно.

Ответ: Равенства верны, так как они получены путем умножения или деления числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число, что соответствует основному свойству дроби.

Приведите дробь $\frac{3}{5}$ к знаменателю 60, прокомментируйте свои действия.

Чтобы привести дробь $\frac{3}{5}$ к знаменателю 60, нужно выполнить следующие действия:

1. Найти дополнительный множитель. Для этого новый знаменатель (60) делим на старый знаменатель (5):
$60 \div 5 = 12$.
Дополнительный множитель равен 12.

2. Умножить числитель и знаменатель исходной дроби на дополнительный множитель. Согласно основному свойству дроби, это даст нам равную дробь с новым знаменателем.
Умножаем числитель: $3 \times 12 = 36$.
Умножаем знаменатель: $5 \times 12 = 60$.

В результате получаем новую дробь: $\frac{36}{60}$.

Ответ: $\frac{3}{5} = \frac{3 \times 12}{5 \times 12} = \frac{36}{60}$.

Покажите на своём примере, как привести дробь к новому знаменателю.

Приведем дробь $\frac{2}{7}$ к знаменателю 35.

1. Сначала найдем дополнительный множитель. Для этого разделим новый знаменатель (35) на исходный (7):
$35 \div 7 = 5$.
Дополнительный множитель равен 5.

2. Теперь, используя основное свойство дроби, умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{2}{7}$ на этот множитель:
$\frac{2 \times 5}{7 \times 5} = \frac{10}{35}$.

Таким образом, мы привели дробь $\frac{2}{7}$ к знаменателю 35, и получили равную ей дробь $\frac{10}{35}$.

Ответ: Пример: $\frac{2}{7} = \frac{2 \times 5}{7 \times 5} = \frac{10}{35}$.

Покажите на примере дроби $\frac{12}{16}$, как сокращают дроби.

Сокращение дроби — это деление ее числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от 1. Чтобы сократить дробь $\frac{12}{16}$, нужно найти общий делитель для чисел 12 и 16.

Способ 1: Поэтапное сокращение
Мы видим, что и 12, и 16 — четные числа, значит, они делятся на 2. $\frac{12}{16} = \frac{12 \div 2}{16 \div 2} = \frac{6}{8}$.
Полученная дробь $\frac{6}{8}$ также состоит из четных чисел, поэтому ее можно сократить еще раз на 2. $\frac{6}{8} = \frac{6 \div 2}{8 \div 2} = \frac{3}{4}$.
Числа 3 и 4 не имеют общих делителей, кроме 1, поэтому дробь $\frac{3}{4}$ является несократимой.

Способ 2: Сокращение на наибольший общий делитель (НОД)
Найдем наибольший общий делитель для 12 и 16. Делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Делители 16: 1, 2, 4, 8, 16. Общие делители: 1, 2, 4. Наибольший из них — 4. Значит, НОД(12, 16) = 4. Разделим числитель и знаменатель на НОД: $\frac{12}{16} = \frac{12 \div 4}{16 \div 4} = \frac{3}{4}$.
Мы сразу получили несократимую дробь.

Ответ: $\frac{12}{16} = \frac{12 \div 4}{16 \div 4} = \frac{3}{4}$.

Придумайте свой пример сокращения дроби.

Возьмем дробь $\frac{20}{45}$.

Чтобы сократить эту дробь, нужно найти общий делитель для числителя 20 и знаменателя 45.

Найдем их наибольший общий делитель (НОД). Число 20 делится на: 1, 2, 4, 5, 10, 20. Число 45 делится на: 1, 3, 5, 9, 15, 45. Наибольший общий делитель для 20 и 45 — это 5.

Теперь разделим числитель и знаменатель на 5: $\frac{20 \div 5}{45 \div 5} = \frac{4}{9}$.

Дробь $\frac{4}{9}$ несократимая, так как у чисел 4 и 9 нет общих делителей, кроме 1.

Ответ: Пример сокращения: $\frac{20}{45} = \frac{20 \div 5}{45 \div 5} = \frac{4}{9}$.

Запишите три какие-нибудь дроби, равные дроби $\frac{8}{16}$.

Сначала упростим (сократим) исходную дробь $\frac{8}{16}$. Наибольший общий делитель для 8 и 16 — это 8. $\frac{8}{16} = \frac{8 \div 8}{16 \div 8} = \frac{1}{2}$.

Теперь, чтобы найти дроби, равные $\frac{1}{2}$ (а значит, и $\frac{8}{16}$), мы можем умножить числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{2}$ на любое натуральное число.

1. Умножим на 3: $\frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6}$.

2. Умножим на 5: $\frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10}$.

3. Умножим на 10: $\frac{1 \times 10}{2 \times 10} = \frac{10}{20}$.

Ответ: Три дроби, равные $\frac{8}{16}$: $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{6}$, $\frac{5}{10}$.