Страница 178 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Объясните, что значит привести дроби к общему знаменателю. На примере дробей $ \frac{3}{8} $ и $ \frac{2}{5} $ покажите, как привести дроби к общему знаменателю.

Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:

a) $ \frac{7}{16} $ и $ \frac{3}{4} $;

б) $ \frac{5}{12} $ и $ \frac{4}{9} $.

В каждом случае расскажите, как найти наименьший общий знаменатель дробей.

Привести дроби к общему знаменателю — это значит преобразовать данные дроби, умножив их числители и знаменатели на такие числа (дополнительные множители), чтобы в результате получились равные им дроби, но с одинаковыми знаменателями. Этот общий знаменатель является общим кратным для знаменателей исходных дробей.

Рассмотрим на примере дробей $\frac{3}{8}$ и $\frac{2}{5}$.

1. Находим общий знаменатель. Знаменатели 8 и 5 являются взаимно простыми числами (у них нет общих делителей, кроме 1), поэтому их наименьшее общее кратное равно их произведению: $8 \times 5 = 40$. Это и будет нашим общим знаменателем.

2. Находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого делим общий знаменатель на знаменатель каждой из дробей.

Дополнительный множитель для дроби $\frac{3}{8}$ равен $40 : 8 = 5$.

Дополнительный множитель для дроби $\frac{2}{5}$ равен $40 : 5 = 8$.

3. Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

$\frac{3}{8} = \frac{3 \times 5}{8 \times 5} = \frac{15}{40}$

$\frac{2}{5} = \frac{2 \times 8}{5 \times 8} = \frac{16}{40}$

Таким образом, мы привели дроби к общему знаменателю 40, получив новые дроби $\frac{15}{40}$ и $\frac{16}{40}$, которые равны исходным.

Ответ: $\frac{15}{40}$ и $\frac{16}{40}$.

а) $\frac{7}{16}$ и $\frac{3}{4}$

Чтобы найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) дробей, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей, то есть чисел 16 и 4.

В данном случае, чтобы найти НОК, достаточно проверить, делится ли больший знаменатель (16) на меньший (4). Так как 16 делится на 4 без остатка ($16 : 4 = 4$), то 16 и является наименьшим общим кратным этих чисел. Следовательно, НОЗ = 16.

Дробь $\frac{7}{16}$ уже имеет знаменатель 16, поэтому ее оставляем без изменений (или умножаем на дополнительный множитель 1).

Для дроби $\frac{3}{4}$ находим дополнительный множитель: $16 : 4 = 4$.

Умножаем числитель и знаменатель этой дроби на 4:

$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 4}{4 \times 4} = \frac{12}{16}$

Ответ: $\frac{7}{16}$ и $\frac{12}{16}$.

б) $\frac{5}{12}$ и $\frac{4}{9}$

Чтобы найти наименьший общий знаменатель, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 12 и 9.

Для нахождения НОК разложим числа 12 и 9 на простые множители:

$12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3$

$9 = 3 \times 3 = 3^2$

Теперь составим произведение из всех простых множителей, входящих в разложения, взяв каждый из них с наибольшим показателем степени: $НОК(12, 9) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$.

Значит, наименьший общий знаменатель равен 36.

Находим дополнительные множители для каждой дроби:

Для дроби $\frac{5}{12}$ дополнительный множитель равен $36 : 12 = 3$.

Для дроби $\frac{4}{9}$ дополнительный множитель равен $36 : 9 = 4$.

Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{5}{12} = \frac{5 \times 3}{12 \times 3} = \frac{15}{36}$

$\frac{4}{9} = \frac{4 \times 4}{9 \times 4} = \frac{16}{36}$

Ответ: $\frac{15}{36}$ и $\frac{16}{36}$.

690 Найдите несколько чисел, кратных двум данным числам. Укажите наименьшее общее кратное этих чисел:

а) 3 и 7;

б) 4 и 5;

в) 6 и 12;

г) 4 и 6.

а) 3 и 7;

Общее кратное двух чисел — это число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка. Чтобы найти общие кратные для 3 и 7, сначала найдем их наименьшее общее кратное (НОК). Числа 3 и 7 являются взаимно простыми (не имеют общих делителей, кроме 1), поэтому их НОК равен их произведению: $НОК(3, 7) = 3 \cdot 7 = 21$. Все остальные общие кратные будут кратны 21. В качестве примера нескольких общих кратных можно взять числа 21, 42 ($21 \cdot 2$) и 63 ($21 \cdot 3$).

Ответ: Несколько общих кратных: 21, 42, 63; наименьшее общее кратное: 21.

б) 4 и 5;

Числа 4 и 5 являются взаимно простыми, так как у них нет общих делителей, кроме 1. Их наименьшее общее кратное (НОК) равно их произведению: $НОК(4, 5) = 4 \cdot 5 = 20$. Другие общие кратные можно найти, умножая НОК на натуральные числа. Например: 20, 40 ($20 \cdot 2$) и 60 ($20 \cdot 3$).

Ответ: Несколько общих кратных: 20, 40, 60; наименьшее общее кратное: 20.

в) 6 и 12;

В данном случае число 12 делится на 6 без остатка ($12 : 6 = 2$). Если одно число кратно другому, то их наименьшее общее кратное (НОК) равно большему из этих чисел. Таким образом, $НОК(6, 12) = 12$. Все остальные общие кратные являются кратными 12. Например: 12, 24 ($12 \cdot 2$) и 36 ($12 \cdot 3$).

Ответ: Несколько общих кратных: 12, 24, 36; наименьшее общее кратное: 12.

г) 4 и 6.

Числа 4 и 6 не являются взаимно простыми (их общий делитель — 2). Для нахождения их наименьшего общего кратного (НОК) разложим их на простые множители: $4 = 2^2$ и $6 = 2 \cdot 3$. НОК находится путем перемножения всех простых множителей в наибольшей степени, в которой они встречаются в разложениях: $НОК(4, 6) = 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$. Общие кратные для 4 и 6 — это числа, кратные 12. Например: 12, 24 ($12 \cdot 2$) и 36 ($12 \cdot 3$).

Ответ: Несколько общих кратных: 12, 24, 36; наименьшее общее кратное: 12.

691 Найдите несколько общих знаменателей дробей, назовите их наименьший общий знаменатель:

а) $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{2}{3} $;

б) $ \frac{3}{5} $ и $ \frac{1}{2} $;

в) $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{1}{3} $;

г) $ \frac{7}{6} $ и $ \frac{5}{3} $;

д) $ \frac{4}{7} $ и $ \frac{9}{14} $;

е) $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{5}{9} $;

ж) $ \frac{1}{6} $ и $ \frac{1}{8} $;

з) $ \frac{5}{6} $ и $ \frac{5}{9} $.

Чтобы найти общие знаменатели для двух дробей, нужно найти общие кратные их знаменателей. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей данных дробей.

а) Для дробей $\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{3}$ знаменателями являются числа 2 и 3.
Общие знаменатели — это общие кратные чисел 2 и 3. Например, произведение $2 \cdot 3 = 6$, а также числа, кратные 6, то есть 12, 18, 24 и так далее.
Наименьшее общее кратное для 2 и 3 — это 6. Следовательно, наименьший общий знаменатель равен 6.
Ответ: Несколько общих знаменателей: 6, 12, 18. Наименьший общий знаменатель: 6.

б) Для дробей $\frac{3}{5}$ и $\frac{1}{2}$ знаменателями являются числа 5 и 2.
Общие знаменатели — это общие кратные чисел 5 и 2. Например, $5 \cdot 2 = 10$, а также числа, кратные 10: 20, 30, 40 и так далее.
Наименьшее общее кратное для 5 и 2 — это 10. Следовательно, наименьший общий знаменатель равен 10.
Ответ: Несколько общих знаменателей: 10, 20, 30. Наименьший общий знаменатель: 10.

в) Для дробей $\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{3}$ знаменателями являются числа 4 и 3.
Общие знаменатели — это общие кратные чисел 4 и 3. Например, $4 \cdot 3 = 12$, а также числа, кратные 12: 24, 36, 48 и так далее.
Наименьшее общее кратное для 4 и 3 — это 12. Следовательно, наименьший общий знаменатель равен 12.
Ответ: Несколько общих знаменателей: 12, 24, 36. Наименьший общий знаменатель: 12.

г) Для дробей $\frac{7}{6}$ и $\frac{5}{3}$ знаменателями являются числа 6 и 3.
Поскольку 6 делится на 3 без остатка ($6 : 3 = 2$), общими кратными этих чисел будут числа, кратные большему из них, то есть 6. Это 6, 12, 18, 24 и так далее.
Наименьшее общее кратное для 6 и 3 — это 6. Следовательно, наименьший общий знаменатель равен 6.
Ответ: Несколько общих знаменателей: 6, 12, 18. Наименьший общий знаменатель: 6.

д) Для дробей $\frac{4}{7}$ и $\frac{9}{14}$ знаменателями являются числа 7 и 14.
Поскольку 14 делится на 7 без остатка ($14 : 7 = 2$), общими кратными этих чисел будут числа, кратные 14. Это 14, 28, 42, 56 и так далее.
Наименьшее общее кратное для 7 и 14 — это 14. Следовательно, наименьший общий знаменатель равен 14.
Ответ: Несколько общих знаменателей: 14, 28, 42. Наименьший общий знаменатель: 14.

е) Для дробей $\frac{2}{3}$ и $\frac{5}{9}$ знаменателями являются числа 3 и 9.
Поскольку 9 делится на 3 без остатка ($9 : 3 = 3$), общими кратными этих чисел будут числа, кратные 9. Это 9, 18, 27, 36 и так далее.
Наименьшее общее кратное для 3 и 9 — это 9. Следовательно, наименьший общий знаменатель равен 9.
Ответ: Несколько общих знаменателей: 9, 18, 27. Наименьший общий знаменатель: 9.

ж) Для дробей $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{8}$ знаменателями являются числа 6 и 8.
Общие знаменатели — это общие кратные чисел 6 и 8. Чтобы найти НОК, разложим числа на простые множители:
$6 = 2 \cdot 3$
$8 = 2^3$
НОК(6, 8) = $2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.
Общими знаменателями будут числа, кратные 24: 24, 48, 72 и так далее. Наименьший общий знаменатель равен 24.
Ответ: Несколько общих знаменателей: 24, 48, 72. Наименьший общий знаменатель: 24.

з) Для дробей $\frac{5}{6}$ и $\frac{5}{9}$ знаменателями являются числа 6 и 9.
Общие знаменатели — это общие кратные чисел 6 и 9. Чтобы найти НОК, разложим числа на простые множители:
$6 = 2 \cdot 3$
$9 = 3^2$
НОК(6, 9) = $2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$.
Общими знаменателями будут числа, кратные 18: 18, 36, 54 и так далее. Наименьший общий знаменатель равен 18.
Ответ: Несколько общих знаменателей: 18, 36, 54. Наименьший общий знаменатель: 18.

ДЕЙСТВУЕМ ПО АЛГОРИТМУ (692–695)

692 Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:

а) $ \frac{1}{8} $ и $ \frac{3}{4} $;

б) $ \frac{7}{9} $ и $ \frac{4}{3} $;

в) $ \frac{5}{16} $ и $ \frac{5}{4} $;

г) $ \frac{9}{10} $ и $ \frac{1}{20} $;

д) $ \frac{7}{15} $ и $ \frac{3}{5} $;

е) $ \frac{5}{6} $ и $ \frac{2}{3} $;

ж) $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{7}{12} $;

з) $ \frac{23}{100} $ и $ \frac{8}{25} $.

а)

Даны дроби $\frac{1}{8}$ и $\frac{3}{4}$.
Знаменатели дробей — 8 и 4. Наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 8 и 4 равно 8, так как 8 делится на 4 без остатка ($8 = 4 \cdot 2$).
Следовательно, наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен 8.
Первая дробь $\frac{1}{8}$ уже имеет знаменатель 8, поэтому мы ее не изменяем.
Для второй дроби $\frac{3}{4}$ найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на старый: $8 \div 4 = 2$.
Умножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель 2:
$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8}$.
Таким образом, мы привели дроби к наименьшему общему знаменателю: $\frac{1}{8}$ и $\frac{6}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$ и $\frac{6}{8}$.

б)

Даны дроби $\frac{7}{9}$ и $\frac{4}{3}$.
Знаменатели дробей — 9 и 3. НОК(9, 3) = 9, так как 9 делится на 3 ($9 = 3 \cdot 3$).
НОЗ равен 9.
Дробь $\frac{7}{9}$ уже имеет нужный знаменатель.
Для дроби $\frac{4}{3}$ дополнительный множитель равен $9 \div 3 = 3$.
$\frac{4}{3} = \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{12}{9}$.
Полученные дроби: $\frac{7}{9}$ и $\frac{12}{9}$.

Ответ: $\frac{7}{9}$ и $\frac{12}{9}$.

в)

Даны дроби $\frac{5}{16}$ и $\frac{5}{4}$.
Знаменатели дробей — 16 и 4. НОК(16, 4) = 16, так как 16 делится на 4 ($16 = 4 \cdot 4$).
НОЗ равен 16.
Дробь $\frac{5}{16}$ уже имеет нужный знаменатель.
Для дроби $\frac{5}{4}$ дополнительный множитель равен $16 \div 4 = 4$.
$\frac{5}{4} = \frac{5 \cdot 4}{4 \cdot 4} = \frac{20}{16}$.
Полученные дроби: $\frac{5}{16}$ и $\frac{20}{16}$.

Ответ: $\frac{5}{16}$ и $\frac{20}{16}$.

г)

Даны дроби $\frac{9}{10}$ и $\frac{1}{20}$.
Знаменатели дробей — 10 и 20. НОК(10, 20) = 20, так как 20 делится на 10 ($20 = 10 \cdot 2$).
НОЗ равен 20.
Для дроби $\frac{9}{10}$ дополнительный множитель равен $20 \div 10 = 2$.
$\frac{9}{10} = \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} = \frac{18}{20}$.
Дробь $\frac{1}{20}$ уже имеет нужный знаменатель.
Полученные дроби: $\frac{18}{20}$ и $\frac{1}{20}$.

Ответ: $\frac{18}{20}$ и $\frac{1}{20}$.

д)

Даны дроби $\frac{7}{15}$ и $\frac{3}{5}$.
Знаменатели дробей — 15 и 5. НОК(15, 5) = 15, так как 15 делится на 5 ($15 = 5 \cdot 3$).
НОЗ равен 15.
Дробь $\frac{7}{15}$ уже имеет нужный знаменатель.
Для дроби $\frac{3}{5}$ дополнительный множитель равен $15 \div 5 = 3$.
$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}$.
Полученные дроби: $\frac{7}{15}$ и $\frac{9}{15}$.

Ответ: $\frac{7}{15}$ и $\frac{9}{15}$.

е)

Даны дроби $\frac{5}{6}$ и $\frac{2}{3}$.
Знаменатели дробей — 6 и 3. НОК(6, 3) = 6, так как 6 делится на 3 ($6 = 3 \cdot 2$).
НОЗ равен 6.
Дробь $\frac{5}{6}$ уже имеет нужный знаменатель.
Для дроби $\frac{2}{3}$ дополнительный множитель равен $6 \div 3 = 2$.
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}$.
Полученные дроби: $\frac{5}{6}$ и $\frac{4}{6}$.

Ответ: $\frac{5}{6}$ и $\frac{4}{6}$.

ж)

Даны дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{7}{12}$.
Знаменатели дробей — 3 и 12. НОК(3, 12) = 12, так как 12 делится на 3 ($12 = 3 \cdot 4$).
НОЗ равен 12.
Для дроби $\frac{2}{3}$ дополнительный множитель равен $12 \div 3 = 4$.
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$.
Дробь $\frac{7}{12}$ уже имеет нужный знаменатель.
Полученные дроби: $\frac{8}{12}$ и $\frac{7}{12}$.

Ответ: $\frac{8}{12}$ и $\frac{7}{12}$.

з)

Даны дроби $\frac{23}{100}$ и $\frac{8}{25}$.
Знаменатели дробей — 100 и 25. НОК(100, 25) = 100, так как 100 делится на 25 ($100 = 25 \cdot 4$).
НОЗ равен 100.
Дробь $\frac{23}{100}$ уже имеет нужный знаменатель.
Для дроби $\frac{8}{25}$ дополнительный множитель равен $100 \div 25 = 4$.
$\frac{8}{25} = \frac{8 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{32}{100}$.
Полученные дроби: $\frac{23}{100}$ и $\frac{32}{100}$.

Ответ: $\frac{23}{100}$ и $\frac{32}{100}$.

693 Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:

а) $ \frac{2}{5} $ и $ \frac{3}{4} $;

б) $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{3}{7} $;

в) $ \frac{5}{4} $ и $ \frac{4}{3} $;

г) $ \frac{3}{10} $ и $ \frac{1}{3} $.

а) Чтобы привести дроби $\frac{2}{5}$ и $\frac{3}{4}$ к наименьшему общему знаменателю, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей, то есть чисел 5 и 4. Так как 5 и 4 являются взаимно простыми числами (не имеют общих делителей, кроме 1), их НОК равно их произведению.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) = $НОК(5, 4) = 5 \cdot 4 = 20$.
Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби и приведем их к знаменателю 20.
Для дроби $\frac{2}{5}$ дополнительный множитель равен $20 \div 5 = 4$. Умножим числитель и знаменатель на 4:
$\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{8}{20}$.
Для дроби $\frac{3}{4}$ дополнительный множитель равен $20 \div 4 = 5$. Умножим числитель и знаменатель на 5:
$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20}$.
Ответ: $\frac{8}{20}$ и $\frac{15}{20}$.

б) Чтобы привести дроби $\frac{1}{2}$ и $\frac{3}{7}$ к наименьшему общему знаменателю, найдем НОК их знаменателей: 2 и 7. Числа 2 и 7 — простые, следовательно, они взаимно простые. Их НОК равно их произведению.
НОЗ = $НОК(2, 7) = 2 \cdot 7 = 14$.
Приведем дроби к знаменателю 14.
Для дроби $\frac{1}{2}$ дополнительный множитель: $14 \div 2 = 7$.
$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 7} = \frac{7}{14}$.
Для дроби $\frac{3}{7}$ дополнительный множитель: $14 \div 7 = 2$.
$\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{6}{14}$.
Ответ: $\frac{7}{14}$ и $\frac{6}{14}$.

в) Чтобы привести дроби $\frac{5}{4}$ и $\frac{4}{3}$ к наименьшему общему знаменателю, найдем НОК их знаменателей: 4 и 3. Эти числа взаимно простые.
НОЗ = $НОК(4, 3) = 4 \cdot 3 = 12$.
Приведем дроби к знаменателю 12.
Для дроби $\frac{5}{4}$ дополнительный множитель: $12 \div 4 = 3$.
$\frac{5}{4} = \frac{5 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{15}{12}$.
Для дроби $\frac{4}{3}$ дополнительный множитель: $12 \div 3 = 4$.
$\frac{4}{3} = \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{16}{12}$.
Ответ: $\frac{15}{12}$ и $\frac{16}{12}$.

г) Чтобы привести дроби $\frac{3}{10}$ и $\frac{1}{3}$ к наименьшему общему знаменателю, найдем НОК их знаменателей: 10 и 3. Числа 10 и 3 взаимно простые.
НОЗ = $НОК(10, 3) = 10 \cdot 3 = 30$.
Приведем дроби к знаменателю 30.
Для дроби $\frac{3}{10}$ дополнительный множитель: $30 \div 10 = 3$.
$\frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{9}{30}$.
Для дроби $\frac{1}{3}$ дополнительный множитель: $30 \div 3 = 10$.
$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 10}{3 \cdot 10} = \frac{10}{30}$.
Ответ: $\frac{9}{30}$ и $\frac{10}{30}$.

694 Приведите дроби к общему знаменателю, равному произведению их знаменателей; приведите эти же дроби к наименьшему общему знаменателю:

а) $ \frac{1}{4} $ и $ \frac{1}{6} $;

б) $ \frac{1}{10} $ и $ \frac{1}{4} $;

в) $ \frac{5}{6} $ и $ \frac{5}{8} $;

г) $ \frac{2}{15} $ и $ \frac{3}{10} $.

а) Для дробей $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{6}$.
1. Приведение к общему знаменателю, равному произведению их знаменателей:
Общий знаменатель равен произведению знаменателей: $4 \times 6 = 24$.
Найдем дополнительные множители: для дроби $\frac{1}{4}$ это $24 \div 4 = 6$, для дроби $\frac{1}{6}$ это $24 \div 6 = 4$.
$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 6}{4 \times 6} = \frac{6}{24}$
$\frac{1}{6} = \frac{1 \times 4}{6 \times 4} = \frac{4}{24}$
2. Приведение к наименьшему общему знаменателю (НОЗ):
Найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 4 и 6. НОК(4, 6) = 12. Это и будет наименьший общий знаменатель.
Найдем дополнительные множители: для дроби $\frac{1}{4}$ это $12 \div 4 = 3$, для дроби $\frac{1}{6}$ это $12 \div 6 = 2$.
$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$
$\frac{1}{6} = \frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{2}{12}$
Ответ: приведение к произведению знаменателей: $\frac{6}{24}$ и $\frac{4}{24}$; приведение к наименьшему общему знаменателю: $\frac{3}{12}$ и $\frac{2}{12}$.

б) Для дробей $\frac{1}{10}$ и $\frac{1}{4}$.
1. Приведение к общему знаменателю, равному произведению их знаменателей:
Общий знаменатель: $10 \times 4 = 40$.
Дополнительные множители: $40 \div 10 = 4$ для первой дроби и $40 \div 4 = 10$ для второй.
$\frac{1}{10} = \frac{1 \times 4}{10 \times 4} = \frac{4}{40}$
$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 10}{4 \times 10} = \frac{10}{40}$
2. Приведение к наименьшему общему знаменателю (НОЗ):
НОК(10, 4) = 20. НОЗ = 20.
Дополнительные множители: $20 \div 10 = 2$ для первой дроби и $20 \div 4 = 5$ для второй.
$\frac{1}{10} = \frac{1 \times 2}{10 \times 2} = \frac{2}{20}$
$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 5}{4 \times 5} = \frac{5}{20}$
Ответ: приведение к произведению знаменателей: $\frac{4}{40}$ и $\frac{10}{40}$; приведение к наименьшему общему знаменателю: $\frac{2}{20}$ и $\frac{5}{20}$.

в) Для дробей $\frac{5}{6}$ и $\frac{5}{8}$.
1. Приведение к общему знаменателю, равному произведению их знаменателей:
Общий знаменатель: $6 \times 8 = 48$.
Дополнительные множители: $48 \div 6 = 8$ для первой дроби и $48 \div 8 = 6$ для второй.
$\frac{5}{6} = \frac{5 \times 8}{6 \times 8} = \frac{40}{48}$
$\frac{5}{8} = \frac{5 \times 6}{8 \times 6} = \frac{30}{48}$
2. Приведение к наименьшему общему знаменателю (НОЗ):
НОК(6, 8) = 24. НОЗ = 24.
Дополнительные множители: $24 \div 6 = 4$ для первой дроби и $24 \div 8 = 3$ для второй.
$\frac{5}{6} = \frac{5 \times 4}{6 \times 4} = \frac{20}{24}$
$\frac{5}{8} = \frac{5 \times 3}{8 \times 3} = \frac{15}{24}$
Ответ: приведение к произведению знаменателей: $\frac{40}{48}$ и $\frac{30}{48}$; приведение к наименьшему общему знаменателю: $\frac{20}{24}$ и $\frac{15}{24}$.

г) Для дробей $\frac{2}{15}$ и $\frac{3}{10}$.
1. Приведение к общему знаменателю, равному произведению их знаменателей:
Общий знаменатель: $15 \times 10 = 150$.
Дополнительные множители: $150 \div 15 = 10$ для первой дроби и $150 \div 10 = 15$ для второй.
$\frac{2}{15} = \frac{2 \times 10}{15 \times 10} = \frac{20}{150}$
$\frac{3}{10} = \frac{3 \times 15}{10 \times 15} = \frac{45}{150}$
2. Приведение к наименьшему общему знаменателю (НОЗ):
НОК(15, 10) = 30. НОЗ = 30.
Дополнительные множители: $30 \div 15 = 2$ для первой дроби и $30 \div 10 = 3$ для второй.
$\frac{2}{15} = \frac{2 \times 2}{15 \times 2} = \frac{4}{30}$
$\frac{3}{10} = \frac{3 \times 3}{10 \times 3} = \frac{9}{30}$
Ответ: приведение к произведению знаменателей: $\frac{20}{150}$ и $\frac{45}{150}$; приведение к наименьшему общему знаменателю: $\frac{4}{30}$ и $\frac{9}{30}$.