Номер 691, страница 178 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

8.4. Приведение дробей к общему знаменателю. Глава 8. Дроби - номер 691, страница 178.

691 Найдите несколько общих знаменателей дробей, назовите их наименьший общий знаменатель:

а) $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{2}{3} $;

б) $ \frac{3}{5} $ и $ \frac{1}{2} $;

в) $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{1}{3} $;

г) $ \frac{7}{6} $ и $ \frac{5}{3} $;

д) $ \frac{4}{7} $ и $ \frac{9}{14} $;

е) $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{5}{9} $;

ж) $ \frac{1}{6} $ и $ \frac{1}{8} $;

з) $ \frac{5}{6} $ и $ \frac{5}{9} $.

Чтобы найти общие знаменатели для двух дробей, нужно найти общие кратные их знаменателей. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей данных дробей.

а) Для дробей $\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{3}$ знаменателями являются числа 2 и 3.
Общие знаменатели — это общие кратные чисел 2 и 3. Например, произведение $2 \cdot 3 = 6$, а также числа, кратные 6, то есть 12, 18, 24 и так далее.
Наименьшее общее кратное для 2 и 3 — это 6. Следовательно, наименьший общий знаменатель равен 6.
Ответ: Несколько общих знаменателей: 6, 12, 18. Наименьший общий знаменатель: 6.

б) Для дробей $\frac{3}{5}$ и $\frac{1}{2}$ знаменателями являются числа 5 и 2.
Общие знаменатели — это общие кратные чисел 5 и 2. Например, $5 \cdot 2 = 10$, а также числа, кратные 10: 20, 30, 40 и так далее.
Наименьшее общее кратное для 5 и 2 — это 10. Следовательно, наименьший общий знаменатель равен 10.
Ответ: Несколько общих знаменателей: 10, 20, 30. Наименьший общий знаменатель: 10.

в) Для дробей $\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{3}$ знаменателями являются числа 4 и 3.
Общие знаменатели — это общие кратные чисел 4 и 3. Например, $4 \cdot 3 = 12$, а также числа, кратные 12: 24, 36, 48 и так далее.
Наименьшее общее кратное для 4 и 3 — это 12. Следовательно, наименьший общий знаменатель равен 12.
Ответ: Несколько общих знаменателей: 12, 24, 36. Наименьший общий знаменатель: 12.

г) Для дробей $\frac{7}{6}$ и $\frac{5}{3}$ знаменателями являются числа 6 и 3.
Поскольку 6 делится на 3 без остатка ($6 : 3 = 2$), общими кратными этих чисел будут числа, кратные большему из них, то есть 6. Это 6, 12, 18, 24 и так далее.
Наименьшее общее кратное для 6 и 3 — это 6. Следовательно, наименьший общий знаменатель равен 6.
Ответ: Несколько общих знаменателей: 6, 12, 18. Наименьший общий знаменатель: 6.

д) Для дробей $\frac{4}{7}$ и $\frac{9}{14}$ знаменателями являются числа 7 и 14.
Поскольку 14 делится на 7 без остатка ($14 : 7 = 2$), общими кратными этих чисел будут числа, кратные 14. Это 14, 28, 42, 56 и так далее.
Наименьшее общее кратное для 7 и 14 — это 14. Следовательно, наименьший общий знаменатель равен 14.
Ответ: Несколько общих знаменателей: 14, 28, 42. Наименьший общий знаменатель: 14.

е) Для дробей $\frac{2}{3}$ и $\frac{5}{9}$ знаменателями являются числа 3 и 9.
Поскольку 9 делится на 3 без остатка ($9 : 3 = 3$), общими кратными этих чисел будут числа, кратные 9. Это 9, 18, 27, 36 и так далее.
Наименьшее общее кратное для 3 и 9 — это 9. Следовательно, наименьший общий знаменатель равен 9.
Ответ: Несколько общих знаменателей: 9, 18, 27. Наименьший общий знаменатель: 9.

ж) Для дробей $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{8}$ знаменателями являются числа 6 и 8.
Общие знаменатели — это общие кратные чисел 6 и 8. Чтобы найти НОК, разложим числа на простые множители:
$6 = 2 \cdot 3$
$8 = 2^3$
НОК(6, 8) = $2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.
Общими знаменателями будут числа, кратные 24: 24, 48, 72 и так далее. Наименьший общий знаменатель равен 24.
Ответ: Несколько общих знаменателей: 24, 48, 72. Наименьший общий знаменатель: 24.

з) Для дробей $\frac{5}{6}$ и $\frac{5}{9}$ знаменателями являются числа 6 и 9.
Общие знаменатели — это общие кратные чисел 6 и 9. Чтобы найти НОК, разложим числа на простые множители:
$6 = 2 \cdot 3$
$9 = 3^2$
НОК(6, 9) = $2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$.
Общими знаменателями будут числа, кратные 18: 18, 36, 54 и так далее. Наименьший общий знаменатель равен 18.
Ответ: Несколько общих знаменателей: 18, 36, 54. Наименьший общий знаменатель: 18.