Вопросы, страница 178 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

8.4. Приведение дробей к общему знаменателю. Глава 8. Дроби - страница 178.

Объясните, что значит привести дроби к общему знаменателю. На примере дробей $ \frac{3}{8} $ и $ \frac{2}{5} $ покажите, как привести дроби к общему знаменателю.

Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:

a) $ \frac{7}{16} $ и $ \frac{3}{4} $;

б) $ \frac{5}{12} $ и $ \frac{4}{9} $.

В каждом случае расскажите, как найти наименьший общий знаменатель дробей.

Привести дроби к общему знаменателю — это значит преобразовать данные дроби, умножив их числители и знаменатели на такие числа (дополнительные множители), чтобы в результате получились равные им дроби, но с одинаковыми знаменателями. Этот общий знаменатель является общим кратным для знаменателей исходных дробей.

Рассмотрим на примере дробей $\frac{3}{8}$ и $\frac{2}{5}$.

1. Находим общий знаменатель. Знаменатели 8 и 5 являются взаимно простыми числами (у них нет общих делителей, кроме 1), поэтому их наименьшее общее кратное равно их произведению: $8 \times 5 = 40$. Это и будет нашим общим знаменателем.

2. Находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого делим общий знаменатель на знаменатель каждой из дробей.

Дополнительный множитель для дроби $\frac{3}{8}$ равен $40 : 8 = 5$.

Дополнительный множитель для дроби $\frac{2}{5}$ равен $40 : 5 = 8$.

3. Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

$\frac{3}{8} = \frac{3 \times 5}{8 \times 5} = \frac{15}{40}$

$\frac{2}{5} = \frac{2 \times 8}{5 \times 8} = \frac{16}{40}$

Таким образом, мы привели дроби к общему знаменателю 40, получив новые дроби $\frac{15}{40}$ и $\frac{16}{40}$, которые равны исходным.

Ответ: $\frac{15}{40}$ и $\frac{16}{40}$.

а) $\frac{7}{16}$ и $\frac{3}{4}$

Чтобы найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) дробей, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей, то есть чисел 16 и 4.

В данном случае, чтобы найти НОК, достаточно проверить, делится ли больший знаменатель (16) на меньший (4). Так как 16 делится на 4 без остатка ($16 : 4 = 4$), то 16 и является наименьшим общим кратным этих чисел. Следовательно, НОЗ = 16.

Дробь $\frac{7}{16}$ уже имеет знаменатель 16, поэтому ее оставляем без изменений (или умножаем на дополнительный множитель 1).

Для дроби $\frac{3}{4}$ находим дополнительный множитель: $16 : 4 = 4$.

Умножаем числитель и знаменатель этой дроби на 4:

$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 4}{4 \times 4} = \frac{12}{16}$

Ответ: $\frac{7}{16}$ и $\frac{12}{16}$.

б) $\frac{5}{12}$ и $\frac{4}{9}$

Чтобы найти наименьший общий знаменатель, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 12 и 9.

Для нахождения НОК разложим числа 12 и 9 на простые множители:

$12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3$

$9 = 3 \times 3 = 3^2$

Теперь составим произведение из всех простых множителей, входящих в разложения, взяв каждый из них с наибольшим показателем степени: $НОК(12, 9) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$.

Значит, наименьший общий знаменатель равен 36.

Находим дополнительные множители для каждой дроби:

Для дроби $\frac{5}{12}$ дополнительный множитель равен $36 : 12 = 3$.

Для дроби $\frac{4}{9}$ дополнительный множитель равен $36 : 9 = 4$.

Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{5}{12} = \frac{5 \times 3}{12 \times 3} = \frac{15}{36}$

$\frac{4}{9} = \frac{4 \times 4}{9 \times 4} = \frac{16}{36}$

Ответ: $\frac{15}{36}$ и $\frac{16}{36}$.