Номер 683, страница 175 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

8.3. Основное свойство дроби. Глава 8. Дроби - номер 683, страница 175.

683 a) $\frac{2 \cdot 3^3 \cdot 11}{2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11^2}$;

б) $\frac{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7^4}{2^2 \cdot 3^3 \cdot 7^5}$.

а) Для упрощения данного выражения воспользуемся свойством степеней: при делении степеней с одинаковыми основаниями их показатели вычитаются, то есть $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $.
Исходное выражение: $$ \frac{2 \cdot 3^3 \cdot 11}{2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11^2} $$ Представим числа без явного показателя степени как числа в первой степени ($2=2^1$, $3=3^1$, $11=11^1$) и сгруппируем множители с одинаковыми основаниями: $$ \frac{2^1}{2^2} \cdot \frac{3^3}{3^1} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{11^1}{11^2} $$ Применим правило вычитания показателей, а также свойство $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $: $$ 2^{1-2} \cdot 3^{3-1} \cdot \frac{1}{5} \cdot 11^{1-2} = 2^{-1} \cdot 3^2 \cdot \frac{1}{5} \cdot 11^{-1} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{11} $$ Теперь вычислим итоговое значение: $$ \frac{9}{2 \cdot 5 \cdot 11} = \frac{9}{110} $$ Ответ: $ \frac{9}{110} $

б) Аналогично решим второе выражение, используя те же свойства степеней.
Исходное выражение: $$ \frac{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7^4}{2^2 \cdot 3^3 \cdot 7^5} $$ Сгруппируем множители и применим правило деления степеней: $$ \frac{2^3}{2^2} \cdot \frac{3^2}{3^3} \cdot 5 \cdot \frac{7^4}{7^5} = 2^{3-2} \cdot 3^{2-3} \cdot 5^1 \cdot 7^{4-5} $$ Упростим выражение, вычислив показатели степеней и используя свойство $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $: $$ 2^1 \cdot 3^{-1} \cdot 5^1 \cdot 7^{-1} = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot 5 \cdot \frac{1}{7} $$ Перемножим полученные числа: $$ \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \frac{10}{21} $$ Ответ: $ \frac{10}{21} $