Страница 175 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

673 a) Выпишите все правильные дроби со знаменателем 12. Сократите те из них, которые можно сократить.

б) Выпишите все правильные дроби со знаменателем 15. Сократите те из них, которые можно сократить.

а)

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Сначала выпишем все правильные дроби со знаменателем 12. Числителями будут все натуральные числа от 1 до 11.

Список правильных дробей: $\frac{1}{12}, \frac{2}{12}, \frac{3}{12}, \frac{4}{12}, \frac{5}{12}, \frac{6}{12}, \frac{7}{12}, \frac{8}{12}, \frac{9}{12}, \frac{10}{12}, \frac{11}{12}$.

Теперь сократим те из них, которые можно сократить. Дробь можно сократить, если ее числитель и знаменатель имеют общий делитель, больший 1.

$\frac{2}{12} = \frac{2 \div 2}{12 \div 2} = \frac{1}{6}$

$\frac{3}{12} = \frac{3 \div 3}{12 \div 3} = \frac{1}{4}$

$\frac{4}{12} = \frac{4 \div 4}{12 \div 4} = \frac{1}{3}$

$\frac{6}{12} = \frac{6 \div 6}{12 \div 6} = \frac{1}{2}$

$\frac{8}{12} = \frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3}$

$\frac{9}{12} = \frac{9 \div 3}{12 \div 3} = \frac{3}{4}$

$\frac{10}{12} = \frac{10 \div 2}{12 \div 2} = \frac{5}{6}$

Дроби $\frac{1}{12}, \frac{5}{12}, \frac{7}{12}, \frac{11}{12}$ являются несократимыми.

Ответ: Сократимые дроби и результат их сокращения: $\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$; $\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$; $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$; $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$; $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$; $\frac{9}{12} = \frac{3}{4}$; $\frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.

б)

Выпишем все правильные дроби со знаменателем 15. Числителями будут все натуральные числа от 1 до 14.

Список правильных дробей: $\frac{1}{15}, \frac{2}{15}, \frac{3}{15}, \frac{4}{15}, \frac{5}{15}, \frac{6}{15}, \frac{7}{15}, \frac{8}{15}, \frac{9}{15}, \frac{10}{15}, \frac{11}{15}, \frac{12}{15}, \frac{13}{15}, \frac{14}{15}$.

Теперь сократим те из них, которые можно сократить.

$\frac{3}{15} = \frac{3 \div 3}{15 \div 3} = \frac{1}{5}$

$\frac{5}{15} = \frac{5 \div 5}{15 \div 5} = \frac{1}{3}$

$\frac{6}{15} = \frac{6 \div 3}{15 \div 3} = \frac{2}{5}$

$\frac{9}{15} = \frac{9 \div 3}{15 \div 3} = \frac{3}{5}$

$\frac{10}{15} = \frac{10 \div 5}{15 \div 5} = \frac{2}{3}$

$\frac{12}{15} = \frac{12 \div 3}{15 \div 3} = \frac{4}{5}$

Дроби $\frac{1}{15}, \frac{2}{15}, \frac{4}{15}, \frac{7}{15}, \frac{8}{15}, \frac{11}{15}, \frac{13}{15}, \frac{14}{15}$ являются несократимыми.

Ответ: Сократимые дроби и результат их сокращения: $\frac{3}{15} = \frac{1}{5}$; $\frac{5}{15} = \frac{1}{3}$; $\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$; $\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$; $\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$; $\frac{12}{15} = \frac{4}{5}$.

674 а) Какую часть метра составляет 1 см, 5 см, 20 см, 50 см, 75 см?

б) Какую часть килограмма составляет 1 г, 200 г, 350 г, 600 г, 850 г?

в) Какую часть часа составляет 1 мин, 3 мин, 10 мин, 20 мин?

г) Какую часть минуты составляет 1 с, 2 с, 15 с, 25 с, 42 с?

а)

Чтобы определить, какую часть метра составляют сантиметры, необходимо знать, что 1 метр равен 100 сантиметрам. Для нахождения части нужно искомое количество сантиметров разделить на 100.

• 1 см: $1 \text{ см} = \frac{1}{100} \text{ м}$

• 5 см: $5 \text{ см} = \frac{5}{100} \text{ м}$. Сокращаем дробь на 5, получаем $\frac{1}{20} \text{ м}$.

• 20 см: $20 \text{ см} = \frac{20}{100} \text{ м}$. Сокращаем дробь на 20, получаем $\frac{1}{5} \text{ м}$.

• 50 см: $50 \text{ см} = \frac{50}{100} \text{ м}$. Сокращаем дробь на 50, получаем $\frac{1}{2} \text{ м}$.

• 75 см: $75 \text{ см} = \frac{75}{100} \text{ м}$. Сокращаем дробь на 25, получаем $\frac{3}{4} \text{ м}$.

Ответ: $1$ см составляет $\frac{1}{100}$ метра, $5$ см — $\frac{1}{20}$ метра, $20$ см — $\frac{1}{5}$ метра, $50$ см — $\frac{1}{2}$ метра, $75$ см — $\frac{3}{4}$ метра.

б)

Чтобы определить, какую часть килограмма составляют граммы, необходимо знать, что 1 килограмм равен 1000 граммам. Для нахождения части нужно искомое количество граммов разделить на 1000.

• 1 г: $1 \text{ г} = \frac{1}{1000} \text{ кг}$

• 200 г: $200 \text{ г} = \frac{200}{1000} \text{ кг}$. Сокращаем дробь на 200, получаем $\frac{1}{5} \text{ кг}$.

• 350 г: $350 \text{ г} = \frac{350}{1000} \text{ кг}$. Сокращаем на 10, получаем $\frac{35}{100}$. Затем сокращаем на 5, получаем $\frac{7}{20} \text{ кг}$.

• 600 г: $600 \text{ г} = \frac{600}{1000} \text{ кг}$. Сокращаем на 200, получаем $\frac{3}{5} \text{ кг}$.

• 850 г: $850 \text{ г} = \frac{850}{1000} \text{ кг}$. Сокращаем на 10, получаем $\frac{85}{100}$. Затем сокращаем на 5, получаем $\frac{17}{20} \text{ кг}$.

Ответ: $1$ г составляет $\frac{1}{1000}$ килограмма, $200$ г — $\frac{1}{5}$ килограмма, $350$ г — $\frac{7}{20}$ килограмма, $600$ г — $\frac{3}{5}$ килограмма, $850$ г — $\frac{17}{20}$ килограмма.

в)

Чтобы определить, какую часть часа составляют минуты, необходимо знать, что 1 час равен 60 минутам. Для нахождения части нужно искомое количество минут разделить на 60.

• 1 мин: $1 \text{ мин} = \frac{1}{60} \text{ ч}$

• 3 мин: $3 \text{ мин} = \frac{3}{60} \text{ ч}$. Сокращаем дробь на 3, получаем $\frac{1}{20} \text{ ч}$.

• 10 мин: $10 \text{ мин} = \frac{10}{60} \text{ ч}$. Сокращаем дробь на 10, получаем $\frac{1}{6} \text{ ч}$.

• 20 мин: $20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч}$. Сокращаем дробь на 20, получаем $\frac{1}{3} \text{ ч}$.

Ответ: $1$ мин составляет $\frac{1}{60}$ часа, $3$ мин — $\frac{1}{20}$ часа, $10$ мин — $\frac{1}{6}$ часа, $20$ мин — $\frac{1}{3}$ часа.

г)

Чтобы определить, какую часть минуты составляют секунды, необходимо знать, что 1 минута равна 60 секундам. Для нахождения части нужно искомое количество секунд разделить на 60.

• 1 с: $1 \text{ с} = \frac{1}{60} \text{ мин}$

• 2 с: $2 \text{ с} = \frac{2}{60} \text{ мин}$. Сокращаем дробь на 2, получаем $\frac{1}{30} \text{ мин}$.

• 15 с: $15 \text{ с} = \frac{15}{60} \text{ мин}$. Сокращаем дробь на 15, получаем $\frac{1}{4} \text{ мин}$.

• 25 с: $25 \text{ с} = \frac{25}{60} \text{ мин}$. Сокращаем дробь на 5, получаем $\frac{5}{12} \text{ мин}$.

• 42 с: $42 \text{ с} = \frac{42}{60} \text{ мин}$. Сокращаем дробь на 6, получаем $\frac{7}{10} \text{ мин}$.

Ответ: $1$ с составляет $\frac{1}{60}$ минуты, $2$ с — $\frac{1}{30}$ минуты, $15$ с — $\frac{1}{4}$ минуты, $25$ с — $\frac{5}{12}$ минуты, $42$ с — $\frac{7}{10}$ минуты.

675 Выразите в метрах: 25 см, 30 см, 60 см, 85 см.

Образец. 20 см = $ \frac{20}{100} $ м = $ \frac{1}{5} $ м.

Для того чтобы выразить сантиметры в метрах, нужно знать соотношение между этими единицами измерения. В одном метре содержится 100 сантиметров:

$1 \text{ м} = 100 \text{ см}$

Следовательно, чтобы перевести сантиметры в метры, необходимо данное число сантиметров разделить на 100. Результат будет представлять собой долю метра. Следуя образцу, мы представим эту долю в виде обыкновенной дроби и сократим её, если это возможно.

25 см
Чтобы перевести 25 см в метры, разделим 25 на 100:
$25 \text{ см} = \frac{25}{100} \text{ м}$
Теперь сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для чисел 25 и 100 — это 25. Разделим и числитель, и знаменатель на 25:
$\frac{25 \div 25}{100 \div 25} = \frac{1}{4}$
Следовательно, $25 \text{ см} = \frac{1}{4} \text{ м}$.
Ответ: $\frac{1}{4} \text{ м}$

30 см
Переводим 30 см в метры, разделив 30 на 100:
$30 \text{ см} = \frac{30}{100} \text{ м}$
Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 30 и 100 — это 10:
$\frac{30 \div 10}{100 \div 10} = \frac{3}{10}$
Следовательно, $30 \text{ см} = \frac{3}{10} \text{ м}$.
Ответ: $\frac{3}{10} \text{ м}$

60 см
Переводим 60 см в метры, разделив 60 на 100:
$60 \text{ см} = \frac{60}{100} \text{ м}$
Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 60 и 100 — это 20:
$\frac{60 \div 20}{100 \div 20} = \frac{3}{5}$
Следовательно, $60 \text{ см} = \frac{3}{5} \text{ м}$.
Ответ: $\frac{3}{5} \text{ м}$

85 см
Переводим 85 см в метры, разделив 85 на 100:
$85 \text{ см} = \frac{85}{100} \text{ м}$
Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 85 и 100 — это 5:
$\frac{85 \div 5}{100 \div 5} = \frac{17}{20}$
Следовательно, $85 \text{ см} = \frac{17}{20} \text{ м}$.
Ответ: $\frac{17}{20} \text{ м}$

676 а) Выразите в часах: 12 мин, 15 мин, 20 мин, 24 мин, 30 мин.

б) Выразите в минутах: 4 с, 10 с, 20 с, 40 с, 45 с.

Для того чтобы выразить минуты в часах, нужно помнить, что в одном часе 60 минут. Следовательно, чтобы перевести минуты в часы, необходимо количество минут разделить на 60. Результат будет представлять собой часть часа в виде дроби.

12 мин:
Чтобы перевести 12 минут в часы, делим 12 на 60. Получаем дробь $\frac{12}{60}$. Сокращаем эту дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 12:
$12 \text{ мин} = \frac{12}{60} \text{ ч} = \frac{12 \div 12}{60 \div 12} \text{ ч} = \frac{1}{5} \text{ ч}$.
Эту дробь также можно представить в виде десятичной: $\frac{1}{5} = 0,2$ ч.

15 мин:
Делим 15 на 60. Получаем дробь $\frac{15}{60}$. Сокращаем на 15:
$15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{15 \div 15}{60 \div 15} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч}$.
В виде десятичной дроби: $\frac{1}{4} = 0,25$ ч.

20 мин:
Делим 20 на 60. Получаем дробь $\frac{20}{60}$. Сокращаем на 20:
$20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{20 \div 20}{60 \div 20} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$.

24 мин:
Делим 24 на 60. Получаем дробь $\frac{24}{60}$. Сокращаем на 12:
$24 \text{ мин} = \frac{24}{60} \text{ ч} = \frac{24 \div 12}{60 \div 12} \text{ ч} = \frac{2}{5} \text{ ч}$.
В виде десятичной дроби: $\frac{2}{5} = 0,4$ ч.

30 мин:
Делим 30 на 60. Получаем дробь $\frac{30}{60}$. Сокращаем на 30:
$30 \text{ мин} = \frac{30}{60} \text{ ч} = \frac{30 \div 30}{60 \div 30} \text{ ч} = \frac{1}{2} \text{ ч}$.
В виде десятичной дроби: $\frac{1}{2} = 0,5$ ч.

Ответ: 12 мин = $\frac{1}{5}$ ч (или 0,2 ч); 15 мин = $\frac{1}{4}$ ч (или 0,25 ч); 20 мин = $\frac{1}{3}$ ч; 24 мин = $\frac{2}{5}$ ч (или 0,4 ч); 30 мин = $\frac{1}{2}$ ч (или 0,5 ч).

Для того чтобы выразить секунды в минутах, нужно помнить, что в одной минуте 60 секунд. Следовательно, чтобы перевести секунды в минуты, необходимо количество секунд разделить на 60. Результат будет представлять собой часть минуты в виде дроби.

4 с:
Делим 4 на 60. Получаем дробь $\frac{4}{60}$. Сокращаем эту дробь на 4:
$4 \text{ с} = \frac{4}{60} \text{ мин} = \frac{4 \div 4}{60 \div 4} \text{ мин} = \frac{1}{15} \text{ мин}$.

10 с:
Делим 10 на 60. Получаем дробь $\frac{10}{60}$. Сокращаем на 10:
$10 \text{ с} = \frac{10}{60} \text{ мин} = \frac{10 \div 10}{60 \div 10} \text{ мин} = \frac{1}{6} \text{ мин}$.

20 с:
Делим 20 на 60. Получаем дробь $\frac{20}{60}$. Сокращаем на 20:
$20 \text{ с} = \frac{20}{60} \text{ мин} = \frac{20 \div 20}{60 \div 20} \text{ мин} = \frac{1}{3} \text{ мин}$.

40 с:
Делим 40 на 60. Получаем дробь $\frac{40}{60}$. Сокращаем на 20:
$40 \text{ с} = \frac{40}{60} \text{ мин} = \frac{40 \div 20}{60 \div 20} \text{ мин} = \frac{2}{3} \text{ мин}$.

45 с:
Делим 45 на 60. Получаем дробь $\frac{45}{60}$. Сокращаем на 15:
$45 \text{ с} = \frac{45}{60} \text{ мин} = \frac{45 \div 15}{60 \div 15} \text{ мин} = \frac{3}{4} \text{ мин}$.

Ответ: 4 с = $\frac{1}{15}$ мин; 10 с = $\frac{1}{6}$ мин; 20 с = $\frac{1}{3}$ мин; 40 с = $\frac{2}{3}$ мин; 45 с = $\frac{3}{4}$ мин.

677 a) В классе 30 учеников, 12 из них — девочки. Какую часть всех учащихся составляют девочки? Какую часть всех учащихся составляют мальчики?

б) В школьном саду растёт 20 яблонь и 12 слив. Какую часть всех деревьев составляют яблони? Какую часть всех деревьев составляют сливы?

а)

1. Чтобы определить, какую часть от общего числа учащихся составляют девочки, необходимо разделить количество девочек на общее количество учеников в классе.
Всего учеников: 30.
Количество девочек: 12.
Часть, которую составляют девочки: $ \frac{12}{30} $.
Для упрощения дроби найдём наибольший общий делитель (НОД) для чисел 12 и 30. НОД(12, 30) = 6. Разделим числитель и знаменатель на 6:
$ \frac{12 : 6}{30 : 6} = \frac{2}{5} $.
Таким образом, девочки составляют $ \frac{2}{5} $ от всех учащихся.

2. Чтобы определить, какую часть от общего числа учащихся составляют мальчики, сначала найдём их количество:
$ 30 - 12 = 18 $ (мальчиков).
Теперь разделим количество мальчиков на общее число учеников:
$ \frac{18}{30} $.
Сократим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на 6:
$ \frac{18 : 6}{30 : 6} = \frac{3}{5} $.
Таким образом, мальчики составляют $ \frac{3}{5} $ от всех учащихся.

Ответ: девочки составляют $ \frac{2}{5} $ всех учащихся, а мальчики — $ \frac{3}{5} $.

б)

1. Сначала найдём общее количество деревьев в саду. Для этого сложим количество яблонь и слив:
$ 20 + 12 = 32 $ (дерева).

2. Чтобы определить, какую часть всех деревьев составляют яблони, разделим количество яблонь на общее количество деревьев:
$ \frac{20}{32} $.
Сократим дробь. НОД(20, 32) = 4. Разделим числитель и знаменатель на 4:
$ \frac{20 : 4}{32 : 4} = \frac{5}{8} $.
Таким образом, яблони составляют $ \frac{5}{8} $ от всех деревьев.

3. Чтобы определить, какую часть всех деревьев составляют сливы, разделим количество слив на общее количество деревьев:
$ \frac{12}{32} $.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:
$ \frac{12 : 4}{32 : 4} = \frac{3}{8} $.
Таким образом, сливы составляют $ \frac{3}{8} $ от всех деревьев.

Ответ: яблони составляют $ \frac{5}{8} $ всех деревьев, а сливы — $ \frac{3}{8} $.

678 а) Толя идёт от дома до школы 18 мин. Какую часть пути проходит Толя за 6 мин? за 9 мин? за 12 мин? за 15 мин?

б) Серёжа за выполнение некоторой работы должен был получить 90 р. Какую часть работы выполнил Серёжа, если он получил 30 р.? 45 р.? 60 р.?

а)

Весь путь от дома до школы Толя проходит за 18 минут. Это время принимается за целую единицу (1). Чтобы найти, какую часть пути он прошел за определенное время, нужно это время разделить на общее время пути. Полученная дробь и будет искомой частью.

За 6 мин: Часть пути будет равна отношению 6 минут к 18 минутам. Сократим полученную дробь: $ \frac{6}{18} = \frac{6 \div 6}{18 \div 6} = \frac{1}{3} $
Ответ: $ \frac{1}{3} $ часть пути.

За 9 мин: Часть пути будет равна отношению 9 минут к 18 минутам: $ \frac{9}{18} = \frac{9 \div 9}{18 \div 9} = \frac{1}{2} $
Ответ: $ \frac{1}{2} $ часть пути.

За 12 мин: Часть пути будет равна отношению 12 минут к 18 минутам: $ \frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3} $
Ответ: $ \frac{2}{3} $ часть пути.

За 15 мин: Часть пути будет равна отношению 15 минут к 18 минутам: $ \frac{15}{18} = \frac{15 \div 3}{18 \div 3} = \frac{5}{6} $
Ответ: $ \frac{5}{6} $ часть пути.

б)

За выполнение всей работы Серёжа должен был получить 90 рублей. Вся работа принимается за целую единицу (1). Чтобы определить, какая часть работы была выполнена, нужно разделить полученную сумму на полную сумму вознаграждения.

Если он получил 30 р.: Часть выполненной работы равна отношению полученной суммы (30 р.) к полной сумме (90 р.): $ \frac{30}{90} = \frac{30 \div 30}{90 \div 30} = \frac{1}{3} $
Ответ: $ \frac{1}{3} $ часть работы.

Если он получил 45 р.: Часть выполненной работы равна отношению 45 р. к 90 р.: $ \frac{45}{90} = \frac{45 \div 45}{90 \div 45} = \frac{1}{2} $
Ответ: $ \frac{1}{2} $ часть работы.

Если он получил 60 р.: Часть выполненной работы равна отношению 60 р. к 90 р.: $ \frac{60}{90} = \frac{60 \div 30}{90 \div 30} = \frac{2}{3} $
Ответ: $ \frac{2}{3} $ часть работы.

679 Сократите дроби:

а) $\frac{20}{118}$, $\frac{236}{444}$, $\frac{66}{102}$, $\frac{128}{28}$

б) $\frac{108}{72}$, $\frac{36}{243}$, $\frac{120}{168}$, $\frac{720}{640}$.

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{20}{118}$, найдем наибольший общий делитель (НОД) для числителя 20 и знаменателя 118. Оба числа чётные, поэтому они делятся на 2.
$20 = 2 \cdot 10$
$118 = 2 \cdot 59$
НОД(20, 118) = 2. Разделим числитель и знаменатель на 2:
$\frac{20 \div 2}{118 \div 2} = \frac{10}{59}$
Ответ: $\frac{10}{59}$

Чтобы сократить дробь $\frac{236}{444}$, найдем НОД для 236 и 444. Оба числа делятся на 4.
$236 = 4 \cdot 59$
$444 = 4 \cdot 111$
НОД(236, 444) = 4. Разделим числитель и знаменатель на 4:
$\frac{236 \div 4}{444 \div 4} = \frac{59}{111}$
Ответ: $\frac{59}{111}$

Чтобы сократить дробь $\frac{66}{102}$, найдем НОД для 66 и 102. Оба числа чётные, а также сумма их цифр делится на 3, значит они делятся на $2 \cdot 3 = 6$.
$66 = 6 \cdot 11$
$102 = 6 \cdot 17$
НОД(66, 102) = 6. Разделим числитель и знаменатель на 6:
$\frac{66 \div 6}{102 \div 6} = \frac{11}{17}$
Ответ: $\frac{11}{17}$

Чтобы сократить дробь $\frac{128}{28}$, найдем НОД для 128 и 28. Оба числа делятся на 4.
$128 = 4 \cdot 32$
$28 = 4 \cdot 7$
НОД(128, 28) = 4. Разделим числитель и знаменатель на 4:
$\frac{128 \div 4}{28 \div 4} = \frac{32}{7}$
Ответ: $\frac{32}{7}$

б)

Чтобы сократить дробь $\frac{108}{72}$, найдем НОД для 108 и 72. Можно заметить, что оба числа делятся на 36.
$108 = 36 \cdot 3$
$72 = 36 \cdot 2$
НОД(108, 72) = 36. Разделим числитель и знаменатель на 36:
$\frac{108 \div 36}{72 \div 36} = \frac{3}{2}$
Ответ: $\frac{3}{2}$

Чтобы сократить дробь $\frac{36}{243}$, найдем НОД для 36 и 243. Сумма цифр каждого числа делится на 9, значит, оба числа делятся на 9.
$36 = 9 \cdot 4$
$243 = 9 \cdot 27$
НОД(36, 243) = 9. Разделим числитель и знаменатель на 9:
$\frac{36 \div 9}{243 \div 9} = \frac{4}{27}$
Ответ: $\frac{4}{27}$

Чтобы сократить дробь $\frac{120}{168}$, найдем НОД для 120 и 168. Разложим числа на простые множители:
$120 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$
$168 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 2^3 \cdot 3 \cdot 7$
НОД(120, 168) = $2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$. Разделим числитель и знаменатель на 24:
$\frac{120 \div 24}{168 \div 24} = \frac{5}{7}$
Ответ: $\frac{5}{7}$

Чтобы сократить дробь $\frac{720}{640}$, сначала можем убрать нули в конце, что равносильно делению на 10. Получим дробь $\frac{72}{64}$.
Теперь найдем НОД для 72 и 64. Оба числа делятся на 8.
$72 = 8 \cdot 9$
$64 = 8 \cdot 8$
НОД(72, 64) = 8. Разделим числитель и знаменатель на 8:
$\frac{72 \div 8}{64 \div 8} = \frac{9}{8}$
Ответ: $\frac{9}{8}$

680 АНАЛИЗИРУЕМ И ДОКАЗЫВАЕМ Используя признаки делимости, докажите, что дробь можно сократить, и сократите её:

а) $ \frac{312}{384} $;

б) $ \frac{333}{1386} $;

в) $ \frac{4550}{750} $;

г) $ \frac{315}{84} $.

а) $ \frac{312}{384} $

Докажем, что дробь можно сократить, используя признаки делимости. Числитель 312 и знаменатель 384 являются чётными числами, так как их последние цифры (2 и 4) — чётные. Согласно признаку делимости на 2, оба числа делятся на 2. Следовательно, у них есть общий делитель, и дробь можно сократить. Также проверим делимость на 3. Сумма цифр числителя: $3+1+2=6$. Сумма цифр знаменателя: $3+8+4=15$. Так как 6 и 15 делятся на 3, то и числа 312 и 384 делятся на 3.

Выполним сокращение дроби. Будем последовательно делить на общие делители.

Делим на 2: $ \frac{312}{384} = \frac{156}{192} $

Ещё раз делим на 2: $ \frac{156}{192} = \frac{78}{96} $

И ещё раз делим на 2: $ \frac{78}{96} = \frac{39}{48} $

Теперь числитель 39 и знаменатель 48 делятся на 3.

Делим на 3: $ \frac{39}{48} = \frac{13}{16} $. Числа 13 и 16 взаимно простые.

Ответ: $ \frac{13}{16} $

б) $ \frac{333}{1386} $

Докажем, что дробь можно сократить. Применим признак делимости на 9. Сумма цифр числителя: $3+3+3=9$. 9 делится на 9, значит, 333 делится на 9. Сумма цифр знаменателя: $1+3+8+6=18$. 18 делится на 9, значит, 1386 делится на 9. Поскольку числитель и знаменатель имеют общий делитель 9, дробь является сократимой.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 9.

$ \frac{333}{1386} = \frac{333 \div 9}{1386 \div 9} = \frac{37}{154} $

Число 37 — простое, а 154 на 37 не делится.

Ответ: $ \frac{37}{154} $

в) $ \frac{4550}{750} $

Докажем, что дробь можно сократить. Числитель 4550 и знаменатель 750 оканчиваются на 0. По признаку делимости на 10, оба числа делятся на 10. Следовательно, дробь можно сократить.

Выполним сокращение. Сначала разделим числитель и знаменатель на 10.

$ \frac{4550}{750} = \frac{455}{75} $

Теперь числитель 455 и знаменатель 75 оканчиваются на 5. По признаку делимости на 5, оба числа делятся на 5. Сократим дробь на 5.

$ \frac{455}{75} = \frac{455 \div 5}{75 \div 5} = \frac{91}{15} $

Числа 91 и 15 являются взаимно простыми.

Ответ: $ \frac{91}{15} $

г) $ \frac{315}{84} $

Докажем, что дробь можно сократить. Проверим делимость на 3. Сумма цифр числителя: $3+1+5=9$. 9 делится на 3, значит, 315 делится на 3. Сумма цифр знаменателя: $8+4=12$. 12 делится на 3, значит, 84 делится на 3. Так как числитель и знаменатель имеют общий делитель 3, дробь является сократимой.

Выполним сокращение. Сначала разделим числитель и знаменатель на 3.

$ \frac{315}{84} = \frac{315 \div 3}{84 \div 3} = \frac{105}{28} $

Теперь проверим числа 105 и 28 на другие общие делители. Например, на 7. $105 = 7 \times 15$ и $28 = 7 \times 4$. Оба числа делятся на 7. Сократим дробь на 7.

$ \frac{105}{28} = \frac{105 \div 7}{28 \div 7} = \frac{15}{4} $

Числа 15 и 4 являются взаимно простыми.

Ответ: $ \frac{15}{4} $

Сократите дробь (681–683).

681 a) $ \frac{7 \cdot 3}{3 \cdot 14} $

б) $ \frac{10 \cdot 9}{30 \cdot 9} $

в) $ \frac{4 \cdot 12}{5 \cdot 9} $

г) $ \frac{14 \cdot 15}{21 \cdot 20} $

а) Дана дробь $ \frac{7 \cdot 3}{3 \cdot 14} $. Для её сокращения найдем общие множители в числителе и знаменателе.

Заметим, что в числителе и знаменателе есть общий множитель $ 3 $. Также число $ 14 $ в знаменателе можно представить как произведение $ 2 \cdot 7 $.

$ \frac{7 \cdot 3}{3 \cdot 14} = \frac{7 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 7} $

Теперь сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (это $ 3 $ и $ 7 $):

$ \frac{\cancel{7} \cdot \cancel{3}}{\cancel{3} \cdot 2 \cdot \cancel{7}} = \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $

б) Дана дробь $ \frac{10 \cdot 9}{30 \cdot 9} $.

В числителе и знаменателе есть общий множитель $ 9 $, который можно сократить:

$ \frac{10 \cdot \cancel{9}}{30 \cdot \cancel{9}} = \frac{10}{30} $

Полученную дробь $ \frac{10}{30} $ можно сократить на $ 10 $:

$ \frac{10 \div 10}{30 \div 10} = \frac{1}{3} $

Ответ: $ \frac{1}{3} $

в) Дана дробь $ \frac{4 \cdot 12}{5 \cdot 9} $.

Разложим числа $ 12 $ и $ 9 $ на множители, чтобы найти общие множители для сокращения:

$ 12 = 3 \cdot 4 $

$ 9 = 3 \cdot 3 $

Подставим эти значения в дробь:

$ \frac{4 \cdot (3 \cdot 4)}{5 \cdot (3 \cdot 3)} $

Сократим общий множитель $ 3 $:

$ \frac{4 \cdot \cancel{3} \cdot 4}{5 \cdot \cancel{3} \cdot 3} = \frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 3} = \frac{16}{15} $

Дробь $ \frac{16}{15} $ является несократимой, так как у числителя $ 16 $ и знаменателя $ 15 $ нет общих делителей кроме $ 1 $.

Ответ: $ \frac{16}{15} $

г) Дана дробь $ \frac{14 \cdot 15}{21 \cdot 20} $.

Для сокращения разложим каждое число в числителе и знаменателе на простые множители:

$ 14 = 2 \cdot 7 $

$ 15 = 3 \cdot 5 $

$ 21 = 3 \cdot 7 $

$ 20 = 2 \cdot 2 \cdot 5 $

Подставим разложения в дробь:

$ \frac{(2 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 5)}{(3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 5)} $

Сократим все общие множители ($ 2, 3, 5, 7 $):

$ \frac{\cancel{2} \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{5}}{\cancel{3} \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{2} \cdot 2 \cdot \cancel{5}} = \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $

682 а) $ \frac{10 \cdot 11 \cdot 9}{12 \cdot 10 \cdot 11} $;

б) $ \frac{12 \cdot 14 \cdot 16}{14 \cdot 16 \cdot 18} $;

в) $ \frac{5 \cdot 9}{6 \cdot 7 \cdot 30} $;

г) $ \frac{3 \cdot 4 \cdot 25}{24 \cdot 15} $.

а) Чтобы решить данный пример, необходимо сократить дробь. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. В данном случае это числа 10 и 11.

$\frac{10 \cdot 11 \cdot 9}{12 \cdot 10 \cdot 11} = \frac{\cancel{10} \cdot \cancel{11} \cdot 9}{12 \cdot \cancel{10} \cdot \cancel{11}} = \frac{9}{12}$

Теперь сократим полученную дробь $\frac{9}{12}$. Наибольший общий делитель для чисел 9 и 12 равен 3. Разделим числитель и знаменатель на 3.

$\frac{9}{12} = \frac{9 \div 3}{12 \div 3} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

б) В этом примере мы также можем сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Это числа 14 и 16.

$\frac{12 \cdot 14 \cdot 16}{14 \cdot 16 \cdot 18} = \frac{12 \cdot \cancel{14} \cdot \cancel{16}}{\cancel{14} \cdot \cancel{16} \cdot 18} = \frac{12}{18}$

Далее сократим дробь $\frac{12}{18}$. Наибольший общий делитель для 12 и 18 равен 6.

$\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

в) В данном выражении нет одинаковых множителей, но мы можем упростить его, разложив числа на множители и сократив их.

$\frac{5 \cdot 9}{6 \cdot 7 \cdot 30}$

Представим число 30 в знаменателе как произведение $5 \cdot 6$.

$\frac{5 \cdot 9}{6 \cdot 7 \cdot (5 \cdot 6)} = \frac{\cancel{5} \cdot 9}{6 \cdot 7 \cdot \cancel{5} \cdot 6} = \frac{9}{6 \cdot 7 \cdot 6}$

Теперь сократим 9 в числителе и один из множителей 6 в знаменателе на 3. ($9=3 \cdot 3$, $6=2 \cdot 3$).

$\frac{3 \cdot \cancel{3}}{(2 \cdot \cancel{3}) \cdot 7 \cdot 6} = \frac{3}{2 \cdot 7 \cdot 6}$

Сократим оставшиеся 3 в числителе и 6 в знаменателе на 3. ($6=2 \cdot 3$).

$\frac{\cancel{3}}{2 \cdot 7 \cdot (2 \cdot \cancel{3})} = \frac{1}{2 \cdot 7 \cdot 2} = \frac{1}{28}$

Ответ: $\frac{1}{28}$

г) Для упрощения этого выражения будем последовательно сокращать множители в числителе и знаменателе.

$\frac{3 \cdot 4 \cdot 25}{24 \cdot 15}$

Заметим, что в числителе $3 \cdot 4 = 12$, а в знаменателе $24 = 2 \cdot 12$. Сократим на 12.

$\frac{(3 \cdot 4) \cdot 25}{24 \cdot 15} = \frac{12 \cdot 25}{24 \cdot 15} = \frac{\cancel{12} \cdot 25}{(2 \cdot \cancel{12}) \cdot 15} = \frac{25}{2 \cdot 15}$

Теперь сократим 25 и 15. Их наибольший общий делитель равен 5 ($25 = 5 \cdot 5$, $15 = 3 \cdot 5$).

$\frac{5 \cdot 5}{2 \cdot (3 \cdot 5)} = \frac{5 \cdot \cancel{5}}{2 \cdot 3 \cdot \cancel{5}} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$

683 a) $\frac{2 \cdot 3^3 \cdot 11}{2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11^2}$;

б) $\frac{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7^4}{2^2 \cdot 3^3 \cdot 7^5}$.

а) Для упрощения данного выражения воспользуемся свойством степеней: при делении степеней с одинаковыми основаниями их показатели вычитаются, то есть $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $.
Исходное выражение: $$ \frac{2 \cdot 3^3 \cdot 11}{2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11^2} $$ Представим числа без явного показателя степени как числа в первой степени ($2=2^1$, $3=3^1$, $11=11^1$) и сгруппируем множители с одинаковыми основаниями: $$ \frac{2^1}{2^2} \cdot \frac{3^3}{3^1} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{11^1}{11^2} $$ Применим правило вычитания показателей, а также свойство $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $: $$ 2^{1-2} \cdot 3^{3-1} \cdot \frac{1}{5} \cdot 11^{1-2} = 2^{-1} \cdot 3^2 \cdot \frac{1}{5} \cdot 11^{-1} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{11} $$ Теперь вычислим итоговое значение: $$ \frac{9}{2 \cdot 5 \cdot 11} = \frac{9}{110} $$ Ответ: $ \frac{9}{110} $

б) Аналогично решим второе выражение, используя те же свойства степеней.
Исходное выражение: $$ \frac{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7^4}{2^2 \cdot 3^3 \cdot 7^5} $$ Сгруппируем множители и применим правило деления степеней: $$ \frac{2^3}{2^2} \cdot \frac{3^2}{3^3} \cdot 5 \cdot \frac{7^4}{7^5} = 2^{3-2} \cdot 3^{2-3} \cdot 5^1 \cdot 7^{4-5} $$ Упростим выражение, вычислив показатели степеней и используя свойство $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $: $$ 2^1 \cdot 3^{-1} \cdot 5^1 \cdot 7^{-1} = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot 5 \cdot \frac{1}{7} $$ Перемножим полученные числа: $$ \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \frac{10}{21} $$ Ответ: $ \frac{10}{21} $

684 a) На прямоугольном участке земли со сторонами 50 м и 30 м хотят разместить прямоугольный бассейн, имеющий длину 20 м и ширину 7 м. Какую часть площади всего участка займёт бассейн?

б) На прямоугольном участке земли со сторонами 20 м и 30 м заложили фундамент для дома. Размеры фундамента 12 м и 10 м. Какую часть площади всего участка займёт дом?

а) Для того чтобы определить, какую часть площади всего участка займет бассейн, необходимо найти отношение площади бассейна к площади всего участка.
1. Вычислим площадь прямоугольного участка земли. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \times b$, где $a$ и $b$ – его стороны.
$S_{участка} = 50 \text{ м} \times 30 \text{ м} = 1500 \text{ м}^2$.
2. Вычислим площадь прямоугольного бассейна.
$S_{бассейна} = 20 \text{ м} \times 7 \text{ м} = 140 \text{ м}^2$.
3. Найдем отношение площади бассейна к площади участка и сократим полученную дробь.
$\frac{S_{бассейна}}{S_{участка}} = \frac{140}{1500} = \frac{14}{150} = \frac{7}{75}$.
Ответ: $\frac{7}{75}$

б) Аналогично пункту а), найдем отношение площади фундамента дома к площади всего участка.
1. Вычислим площадь прямоугольного участка земли.
$S_{участка} = 20 \text{ м} \times 30 \text{ м} = 600 \text{ м}^2$.
2. Вычислим площадь фундамента дома.
$S_{дома} = 12 \text{ м} \times 10 \text{ м} = 120 \text{ м}^2$.
3. Найдем отношение площади дома к площади участка и сократим полученную дробь.
$\frac{S_{дома}}{S_{участка}} = \frac{120}{600} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$