Страница 174 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

662 Приведите дроби:

a) $ \frac{3}{2} $, $ \frac{5}{4} $, $ \frac{6}{5} $, $ \frac{31}{25} $ к знаменателю 100;

б) $ \frac{2}{5} $, $ \frac{5}{12} $, $ \frac{7}{15} $, $ \frac{13}{30} $ к знаменателю 60;

в) $ \frac{1}{4} $, $ \frac{7}{6} $, $ \frac{3}{8} $, $ \frac{17}{12} $ к знаменателю 24;

г) $ \frac{2}{3} $, $ \frac{7}{5} $, $ \frac{4}{9} $, $ \frac{16}{15} $ к знаменателю 45.

а) Приведем дроби $\frac{3}{2}$, $\frac{5}{4}$, $\frac{6}{5}$, $\frac{31}{25}$ к знаменателю 100.

Чтобы привести дробь к новому знаменателю, необходимо найти дополнительный множитель. Для этого новый знаменатель делят на исходный. Затем числитель и знаменатель исходной дроби умножают на полученный дополнительный множитель.

• Для дроби $\frac{3}{2}$: дополнительный множитель $100 \div 2 = 50$.
  $\frac{3}{2} = \frac{3 \times 50}{2 \times 50} = \frac{150}{100}$.

• Для дроби $\frac{5}{4}$: дополнительный множитель $100 \div 4 = 25$.
  $\frac{5}{4} = \frac{5 \times 25}{4 \times 25} = \frac{125}{100}$.

• Для дроби $\frac{6}{5}$: дополнительный множитель $100 \div 5 = 20$.
  $\frac{6}{5} = \frac{6 \times 20}{5 \times 20} = \frac{120}{100}$.

• Для дроби $\frac{31}{25}$: дополнительный множитель $100 \div 25 = 4$.
  $\frac{31}{25} = \frac{31 \times 4}{25 \times 4} = \frac{124}{100}$.

Ответ: $\frac{150}{100}$, $\frac{125}{100}$, $\frac{120}{100}$, $\frac{124}{100}$.

б) Приведем дроби $\frac{2}{5}$, $\frac{5}{12}$, $\frac{7}{15}$, $\frac{13}{30}$ к знаменателю 60.

• Для дроби $\frac{2}{5}$: дополнительный множитель $60 \div 5 = 12$.
  $\frac{2}{5} = \frac{2 \times 12}{5 \times 12} = \frac{24}{60}$.

• Для дроби $\frac{5}{12}$: дополнительный множитель $60 \div 12 = 5$.
  $\frac{5}{12} = \frac{5 \times 5}{12 \times 5} = \frac{25}{60}$.

• Для дроби $\frac{7}{15}$: дополнительный множитель $60 \div 15 = 4$.
  $\frac{7}{15} = \frac{7 \times 4}{15 \times 4} = \frac{28}{60}$.

• Для дроби $\frac{13}{30}$: дополнительный множитель $60 \div 30 = 2$.
  $\frac{13}{30} = \frac{13 \times 2}{30 \times 2} = \frac{26}{60}$.

Ответ: $\frac{24}{60}$, $\frac{25}{60}$, $\frac{28}{60}$, $\frac{26}{60}$.

в) Приведем дроби $\frac{1}{4}$, $\frac{7}{6}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{17}{12}$ к знаменателю 24.

• Для дроби $\frac{1}{4}$: дополнительный множитель $24 \div 4 = 6$.
  $\frac{1}{4} = \frac{1 \times 6}{4 \times 6} = \frac{6}{24}$.

• Для дроби $\frac{7}{6}$: дополнительный множитель $24 \div 6 = 4$.
  $\frac{7}{6} = \frac{7 \times 4}{6 \times 4} = \frac{28}{24}$.

• Для дроби $\frac{3}{8}$: дополнительный множитель $24 \div 8 = 3$.
  $\frac{3}{8} = \frac{3 \times 3}{8 \times 3} = \frac{9}{24}$.

• Для дроби $\frac{17}{12}$: дополнительный множитель $24 \div 12 = 2$.
  $\frac{17}{12} = \frac{17 \times 2}{12 \times 2} = \frac{34}{24}$.

Ответ: $\frac{6}{24}$, $\frac{28}{24}$, $\frac{9}{24}$, $\frac{34}{24}$.

г) Приведем дроби $\frac{2}{3}$, $\frac{7}{5}$, $\frac{4}{9}$, $\frac{16}{15}$ к знаменателю 45.

• Для дроби $\frac{2}{3}$: дополнительный множитель $45 \div 3 = 15$.
  $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 15}{3 \times 15} = \frac{30}{45}$.

• Для дроби $\frac{7}{5}$: дополнительный множитель $45 \div 5 = 9$.
  $\frac{7}{5} = \frac{7 \times 9}{5 \times 9} = \frac{63}{45}$.

• Для дроби $\frac{4}{9}$: дополнительный множитель $45 \div 9 = 5$.
  $\frac{4}{9} = \frac{4 \times 5}{9 \times 5} = \frac{20}{45}$.

• Для дроби $\frac{16}{15}$: дополнительный множитель $45 \div 15 = 3$.
  $\frac{16}{15} = \frac{16 \times 3}{15 \times 3} = \frac{48}{45}$.

Ответ: $\frac{30}{45}$, $\frac{63}{45}$, $\frac{20}{45}$, $\frac{48}{45}$.

663 Приведите к знаменателю 36 те из данных дробей, которые возможно:

$ \frac{7}{12}, \frac{7}{11}, \frac{7}{10}, \frac{7}{9}, \frac{7}{8}, \frac{7}{7}, \frac{7}{6}, \frac{7}{5}, \frac{7}{4}, \frac{7}{3}, \frac{7}{2}. $

Чтобы привести дробь к знаменателю 36, необходимо, чтобы число 36 делилось нацело на знаменатель исходной дроби. Если 36 делится на знаменатель, то мы находим дополнительный множитель, разделив 36 на этот знаменатель. Затем умножаем и числитель, и знаменатель исходной дроби на этот дополнительный множитель.

Проверим каждую дробь:

$\frac{7}{12}$
Число 36 делится на 12. Дополнительный множитель: $36 \div 12 = 3$.
$\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{21}{36}$.
Ответ: $\frac{21}{36}$.

$\frac{7}{11}$
Число 36 не делится на 11 нацело ($36 \div 11 \approx 3,27$).
Ответ: Привести к знаменателю 36 невозможно.

$\frac{7}{10}$
Число 36 не делится на 10 нацело ($36 \div 10 = 3,6$).
Ответ: Привести к знаменателю 36 невозможно.

$\frac{7}{9}$
Число 36 делится на 9. Дополнительный множитель: $36 \div 9 = 4$.
$\frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{28}{36}$.
Ответ: $\frac{28}{36}$.

$\frac{7}{8}$
Число 36 не делится на 8 нацело ($36 \div 8 = 4,5$).
Ответ: Привести к знаменателю 36 невозможно.

$\frac{7}{7}$
Число 36 не делится на 7 нацело ($36 \div 7 \approx 5,14$).
Ответ: Привести к знаменателю 36 невозможно.

$\frac{7}{6}$
Число 36 делится на 6. Дополнительный множитель: $36 \div 6 = 6$.
$\frac{7}{6} = \frac{7 \cdot 6}{6 \cdot 6} = \frac{42}{36}$.
Ответ: $\frac{42}{36}$.

$\frac{7}{5}$
Число 36 не делится на 5 нацело ($36 \div 5 = 7,2$).
Ответ: Привести к знаменателю 36 невозможно.

$\frac{7}{4}$
Число 36 делится на 4. Дополнительный множитель: $36 \div 4 = 9$.
$\frac{7}{4} = \frac{7 \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{63}{36}$.
Ответ: $\frac{63}{36}$.

$\frac{7}{3}$
Число 36 делится на 3. Дополнительный множитель: $36 \div 3 = 12$.
$\frac{7}{3} = \frac{7 \cdot 12}{3 \cdot 12} = \frac{84}{36}$.
Ответ: $\frac{84}{36}$.

$\frac{7}{2}$
Число 36 делится на 2. Дополнительный множитель: $36 \div 2 = 18$.
$\frac{7}{2} = \frac{7 \cdot 18}{2 \cdot 18} = \frac{126}{36}$.
Ответ: $\frac{126}{36}$.

664 МОДЕЛИРУЕМ С ПОМОЩЬЮ РИСУНКА

Начертите в тетради прямоугольник со сторонами 2 см и 6 см, разделите его на 12 равных частей. Покажите с помощью рисунка, что верно равенство:

а) $\frac{6}{12} = \frac{3}{6}$;

б) $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$;

в) $\frac{6}{12} = \frac{2}{4}$.

Для решения задачи сначала начертим прямоугольник со сторонами 2 см и 6 см. Разделим его на 12 равных частей, получив сетку из 12 квадратов размером 1х1 см. Во всех случаях будем закрашивать левую половину прямоугольника, которая состоит из 6 таких квадратов. Эта закрашенная область составляет $\frac{6}{12}$ от всей площади прямоугольника. Далее, с помощью дополнительных делений на рисунке, мы покажем справедливость каждого равенства.

а) Чтобы доказать равенство $\frac{6}{12} = \frac{3}{6}$, разделим прямоугольник на 6 равных вертикальных столбцов, каждый из которых состоит из 2 квадратов. На рисунке ниже эти столбцы разделены жирными линиями. Закрашенная область (6 квадратов) занимает ровно 3 из 6 таких столбцов.

Таким образом, рисунок наглядно показывает, что закрашенная площадь, равная $\frac{6}{12}$ от всей фигуры, также равна $\frac{3}{6}$ от нее.

Ответ: Рисунок показывает, что $\frac{6}{12}$ площади прямоугольника соответствует $\frac{3}{6}$ его площади при делении на 6 равных частей, что доказывает верность равенства.

б) Чтобы доказать равенство $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$, разделим весь прямоугольник на 2 равные части жирной вертикальной линией посередине. Закрашенная область (6 квадратов) полностью совпадает с одной из этих двух частей — левой половиной.

Следовательно, закрашенная площадь составляет $\frac{1}{2}$ от всей фигуры.

Ответ: Рисунок показывает, что закрашенная левая половина прямоугольника составляет как $\frac{6}{12}$ от всех маленьких квадратов, так и $\frac{1}{2}$ от всей фигуры. Равенство верно.

в) Чтобы доказать равенство $\frac{6}{12} = \frac{2}{4}$, разделим прямоугольник на 4 равные части, проведя жирные вертикальную и горизонтальную линии через его центр. В результате получатся 4 одинаковых прямоугольника. Закрашенная область (6 квадратов) занимает ровно 2 из этих 4 частей.

Следовательно, закрашенная площадь равна $\frac{2}{4}$ от всей фигуры. Обратите внимание, что дробь $\frac{2}{4}$ можно сократить до $\frac{1}{2}$, что соответствует предыдущему пункту.

Ответ: Рисунок показывает, что закрашенная область, равная $\frac{6}{12}$ от целого, занимает 2 из 4 равных частей, то есть $\frac{2}{4}$ от целого. Равенство верно.

665 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Определите, верно или неверно равенство.

Объясните, как вы рассуждали.

a) $ \frac{80}{90} = \frac{8}{9} $;

б) $ \frac{30}{55} = \frac{6}{5} $;

в) $ \frac{4}{24} = \frac{1}{2} $;

г) $ \frac{75}{100} = \frac{3}{4} $.

Для определения верности равенства необходимо проверить, можно ли получить одну дробь из другой путем сокращения или расширения. Сокращение дроби — это деление ее числителя и знаменателя на их общий делитель.

Рассмотрим равенство $\frac{80}{90} = \frac{8}{9}$.
Чтобы проверить это равенство, мы можем сократить дробь в левой части. Числитель 80 и знаменатель 90 имеют общий делитель 10. Разделим и числитель, и знаменатель на 10:
$\frac{80 \div 10}{90 \div 10} = \frac{8}{9}$.
Поскольку после сокращения дроби $\frac{80}{90}$ мы получили дробь $\frac{8}{9}$, данное равенство верно.

Ответ: верно.

Рассмотрим равенство $\frac{30}{55} = \frac{6}{5}$.
Сократим дробь $\frac{30}{55}$. Наибольший общий делитель для числителя 30 и знаменателя 55 — это число 5. Разделим их на 5:
$\frac{30 \div 5}{55 \div 5} = \frac{6}{11}$.
Результат сокращения, $\frac{6}{11}$, не равен дроби $\frac{6}{5}$. Следовательно, равенство неверно.
Также можно использовать правило пропорции ("перекрестное умножение"): если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то $a \times d = b \times c$.
Проверим: $30 \times 5 = 150$, а $55 \times 6 = 330$. Поскольку $150 \neq 330$, равенство неверно.

Ответ: неверно.

Рассмотрим равенство $\frac{4}{24} = \frac{1}{2}$.
Сократим дробь $\frac{4}{24}$. Наибольший общий делитель для 4 и 24 — это 4. Разделим числитель и знаменатель на 4:
$\frac{4 \div 4}{24 \div 4} = \frac{1}{6}$.
Полученная дробь $\frac{1}{6}$ не равна дроби $\frac{1}{2}$. Следовательно, равенство неверно.

Ответ: неверно.

Рассмотрим равенство $\frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.
Сократим дробь $\frac{75}{100}$. Наибольший общий делитель для 75 и 100 — это 25. Разделим числитель и знаменатель на 25:
$\frac{75 \div 25}{100 \div 25} = \frac{3}{4}$.
Результат сокращения совпадает с дробью в правой части равенства, значит, равенство верно.

Ответ: верно.

666 Пятиклассники выполняли на доске задание на сокращение дробей и потом часть записей стёрли. Восстановите запись:

а) $ \frac{60}{100} = \frac{}{10} = \frac{}{5}; $

б) $ \frac{25}{100} = \frac{5}{} = \frac{1}{}; $

в) $ \frac{24}{120} = \frac{4}{} = \frac{}{5}. $

а)

В выражении $ \frac{60}{100} = \frac{?}{10} = \frac{?}{5} $ необходимо восстановить пропущенные числители.

1. Рассмотрим первую часть равенства: $ \frac{60}{100} = \frac{?}{10} $. Знаменатель 100 был сокращен до 10. Чтобы найти, на какое число сократили дробь, разделим 100 на 10: $ 100 \div 10 = 10 $. Значит, и числитель нужно разделить на 10. $ 60 \div 10 = 6 $. Таким образом, первая пропущенная цифра – 6.

Получаем: $ \frac{60}{100} = \frac{6}{10} $.

2. Теперь рассмотрим вторую часть равенства: $ \frac{6}{10} = \frac{?}{5} $. Знаменатель 10 был сокращен до 5. Найдем, на какое число сократили дробь: $ 10 \div 5 = 2 $. Разделим числитель на это же число: $ 6 \div 2 = 3 $. Вторая пропущенная цифра – 3.

Получаем: $ \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $.

Полностью восстановленная запись выглядит так: $ \frac{60}{100} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $.

Ответ: $ \frac{60}{100} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $.

б)

В выражении $ \frac{25}{100} = \frac{5}{?} = \frac{1}{?} $ необходимо восстановить пропущенные знаменатели.

1. Рассмотрим первую часть равенства: $ \frac{25}{100} = \frac{5}{?} $. Числитель 25 был сокращен до 5. Найдем, на какое число сократили дробь: $ 25 \div 5 = 5 $. Значит, и знаменатель нужно разделить на 5. $ 100 \div 5 = 20 $. Первый пропущенный знаменатель – 20.

Получаем: $ \frac{25}{100} = \frac{5}{20} $.

2. Теперь рассмотрим вторую часть равенства: $ \frac{5}{20} = \frac{1}{?} $. Числитель 5 был сокращен до 1. Найдем, на какое число сократили дробь: $ 5 \div 1 = 5 $. Разделим знаменатель на это же число: $ 20 \div 5 = 4 $. Второй пропущенный знаменатель – 4.

Получаем: $ \frac{5}{20} = \frac{1}{4} $.

Полностью восстановленная запись: $ \frac{25}{100} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} $.

Ответ: $ \frac{25}{100} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} $.

в)

В выражении $ \frac{24}{120} = \frac{4}{?} = \frac{?}{5} $ необходимо восстановить пропущенный знаменатель и числитель.

1. Рассмотрим первую часть равенства: $ \frac{24}{120} = \frac{4}{?} $. Числитель 24 был сокращен до 4. Найдем, на какое число сократили дробь: $ 24 \div 4 = 6 $. Значит, и знаменатель нужно разделить на 6. $ 120 \div 6 = 20 $. Пропущенный знаменатель – 20.

Получаем: $ \frac{24}{120} = \frac{4}{20} $.

2. Теперь рассмотрим вторую часть равенства: $ \frac{4}{20} = \frac{?}{5} $. Знаменатель 20 был сокращен до 5. Найдем, на какое число сократили дробь: $ 20 \div 5 = 4 $. Разделим числитель на это же число: $ 4 \div 4 = 1 $. Пропущенный числитель – 1.

Получаем: $ \frac{4}{20} = \frac{1}{5} $.

Полностью восстановленная запись: $ \frac{24}{120} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} $.

Ответ: $ \frac{24}{120} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} $.

667 Начертите координатную прямую с единичным отрезком, равным 10 клеткам, и отметьте на ней точки с координатами $\frac{1}{10}$, $\frac{2}{10}$, $\frac{5}{10}$, $\frac{7}{10}$, $\frac{9}{10}$, $\frac{12}{10}$, $\frac{15}{10}$.

Отметьте на этой координатной прямой точки с координатами $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{3}{2}$, $\frac{6}{5}$.

Для выполнения задания необходимо сначала подготовить координатную прямую согласно условию.

1. Начертим горизонтальную прямую и выберем на ней точку отсчета — 0.

2. Отметим единичный отрезок. По условию, он равен 10 клеткам. Это значит, что число 1 будет находиться на расстоянии 10 клеток вправо от 0, число 2 — на расстоянии 20 клеток от 0, и так далее.

3. Из этого следует, что цена одного деления (одной клетки) на нашей координатной прямой составляет $\frac{1}{10}$ единичного отрезка.

Начертите координатную прямую с единичным отрезком, равным 10 клеткам, и отметьте на ней точки с координатами $\frac{1}{10}, \frac{2}{10}, \frac{5}{10}, \frac{7}{10}, \frac{9}{10}, \frac{12}{10}, \frac{15}{10}$

Чтобы отметить эти точки, нужно отсчитать от начала координат (точки 0) количество клеток, равное числителю каждой дроби, так как знаменатель у всех дробей равен 10 (что соответствует 10 клеткам в единичном отрезке).

• Точка с координатой $\frac{1}{10}$ располагается на расстоянии 1 клетки вправо от 0.
• Точка с координатой $\frac{2}{10}$ располагается на расстоянии 2 клеток вправо от 0.
• Точка с координатой $\frac{5}{10}$ располагается на расстоянии 5 клеток вправо от 0.
• Точка с координатой $\frac{7}{10}$ располагается на расстоянии 7 клеток вправо от 0.
• Точка с координатой $\frac{9}{10}$ располагается на расстоянии 9 клеток вправо от 0.
• Точка с координатой $\frac{12}{10}$ располагается на расстоянии 12 клеток вправо от 0. Эту дробь можно записать как $1\frac{2}{10}$, то есть точка находится на 2 клетки правее отметки 1.
• Точка с координатой $\frac{15}{10}$ располагается на расстоянии 15 клеток вправо от 0. Эту дробь можно записать как $1\frac{5}{10}$, то есть точка находится на 5 клеток правее отметки 1.

Ответ: Точки с координатами $\frac{1}{10}, \frac{2}{10}, \frac{5}{10}, \frac{7}{10}, \frac{9}{10}, \frac{12}{10}, \frac{15}{10}$ находятся на расстоянии 1, 2, 5, 7, 9, 12 и 15 клеток вправо от точки 0 соответственно.

Отметьте на этой координатной прямой точки с координатами $\frac{1}{2}, \frac{1}{5}, \frac{3}{2}, \frac{6}{5}$

Чтобы отметить точки с данными координатами на нашей прямой, необходимо привести эти дроби к общему знаменателю 10.

• Для точки с координатой $\frac{1}{2}$:
  $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10}$.
  Эта точка располагается на расстоянии 5 клеток от 0. Следовательно, она совпадает с ранее отмеченной точкой $\frac{5}{10}$.
• Для точки с координатой $\frac{1}{5}$:
  $\frac{1}{5} = \frac{1 \times 2}{5 \times 2} = \frac{2}{10}$.
  Эта точка располагается на расстоянии 2 клеток от 0. Следовательно, она совпадает с ранее отмеченной точкой $\frac{2}{10}$.
• Для точки с координатой $\frac{3}{2}$:
  $\frac{3}{2} = \frac{3 \times 5}{2 \times 5} = \frac{15}{10}$.
  Эта точка располагается на расстоянии 15 клеток от 0. Следовательно, она совпадает с ранее отмеченной точкой $\frac{15}{10}$.
• Для точки с координатой $\frac{6}{5}$:
  $\frac{6}{5} = \frac{6 \times 2}{5 \times 2} = \frac{12}{10}$.
  Эта точка располагается на расстоянии 12 клеток от 0. Следовательно, она совпадает с ранее отмеченной точкой $\frac{12}{10}$.

Ответ: Точки с координатами $\frac{1}{2}, \frac{1}{5}, \frac{3}{2}, \frac{6}{5}$ совпадают с уже отмеченными на прямой точками $\frac{5}{10}, \frac{2}{10}, \frac{15}{10}$ и $\frac{12}{10}$ соответственно.

668 Запишите числитель и знаменатель дроби в виде произведений, содержащих одинаковые множители, и сократите дробь:

а) $\frac{4}{6}$;

б) $\frac{15}{20}$;

в) $\frac{8}{10}$;

г) $\frac{15}{10}$;

д) $\frac{20}{30}$.

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{4}{6}$, необходимо представить её числитель и знаменатель в виде произведений, которые содержат одинаковые (общие) множители.

Разложим числитель 4 и знаменатель 6 на множители: $4 = 2 \cdot 2$
$6 = 3 \cdot 2$

Общий множитель для числителя и знаменателя - это число 2. Теперь запишем дробь, используя разложение на множители, и сократим общий множитель:

$\frac{4}{6} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

б)

Чтобы сократить дробь $\frac{15}{20}$, представим её числитель и знаменатель в виде произведений с общим множителем.

Разложим числитель 15 и знаменатель 20 на множители: $15 = 3 \cdot 5$
$20 = 4 \cdot 5$

Общий множитель - это 5. Запишем дробь с разложенными на множители числителем и знаменателем и сократим её:

$\frac{15}{20} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

в)

Чтобы сократить дробь $\frac{8}{10}$, представим её числитель и знаменатель в виде произведений.

Разложим числитель 8 и знаменатель 10 на множители: $8 = 4 \cdot 2$
$10 = 5 \cdot 2$

Общий множитель - это 2. Запишем дробь с разложенными на множители числителем и знаменателем и сократим её:

$\frac{8}{10} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{4}{5}$

Ответ: $\frac{4}{5}$

г)

Чтобы сократить дробь $\frac{15}{10}$, представим её числитель и знаменатель в виде произведений.

Разложим числитель 15 и знаменатель 10 на множители: $15 = 3 \cdot 5$
$10 = 2 \cdot 5$

Общий множитель - это 5. Запишем дробь с разложенными на множители числителем и знаменателем и сократим её:

$\frac{15}{10} = \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$

д)

Чтобы сократить дробь $\frac{20}{30}$, представим её числитель и знаменатель в виде произведений.

Разложим числитель 20 и знаменатель 30 на множители: $20 = 2 \cdot 10$
$30 = 3 \cdot 10$

Общий множитель - это 10. Запишем дробь с разложенными на множители числителем и знаменателем и сократим её:

$\frac{20}{30} = \frac{2 \cdot 10}{3 \cdot 10} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

669 a) $ \frac{8}{10}, \frac{4}{6}, \frac{6}{9}, \frac{10}{25}, \frac{14}{49}, \frac{15}{20}, \frac{12}{15}, \frac{14}{18} $

б) $ \frac{8}{12}, \frac{12}{16}, \frac{12}{18}, \frac{24}{40}, \frac{18}{27}, \frac{20}{70}, \frac{8}{36}, \frac{30}{75}. $

а)

Чтобы сократить дробь, необходимо разделить ее числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД).

$ \frac{8}{10} $. НОД(8, 10) = 2. $ \frac{8 \div 2}{10 \div 2} = \frac{4}{5} $. Ответ: $ \frac{4}{5} $.

$ \frac{4}{6} $. НОД(4, 6) = 2. $ \frac{4 \div 2}{6 \div 2} = \frac{2}{3} $. Ответ: $ \frac{2}{3} $.

$ \frac{6}{9} $. НОД(6, 9) = 3. $ \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3} $. Ответ: $ \frac{2}{3} $.

$ \frac{10}{25} $. НОД(10, 25) = 5. $ \frac{10 \div 5}{25 \div 5} = \frac{2}{5} $. Ответ: $ \frac{2}{5} $.

$ \frac{14}{49} $. НОД(14, 49) = 7. $ \frac{14 \div 7}{49 \div 7} = \frac{2}{7} $. Ответ: $ \frac{2}{7} $.

$ \frac{15}{20} $. НОД(15, 20) = 5. $ \frac{15 \div 5}{20 \div 5} = \frac{3}{4} $. Ответ: $ \frac{3}{4} $.

$ \frac{12}{15} $. НОД(12, 15) = 3. $ \frac{12 \div 3}{15 \div 3} = \frac{4}{5} $. Ответ: $ \frac{4}{5} $.

$ \frac{14}{18} $. НОД(14, 18) = 2. $ \frac{14 \div 2}{18 \div 2} = \frac{7}{9} $. Ответ: $ \frac{7}{9} $.

б)

Сократим дроби, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД).

$ \frac{8}{12} $. НОД(8, 12) = 4. $ \frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3} $. Ответ: $ \frac{2}{3} $.

$ \frac{12}{16} $. НОД(12, 16) = 4. $ \frac{12 \div 4}{16 \div 4} = \frac{3}{4} $. Ответ: $ \frac{3}{4} $.

$ \frac{12}{18} $. НОД(12, 18) = 6. $ \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3} $. Ответ: $ \frac{2}{3} $.

$ \frac{24}{40} $. НОД(24, 40) = 8. $ \frac{24 \div 8}{40 \div 8} = \frac{3}{5} $. Ответ: $ \frac{3}{5} $.

$ \frac{18}{27} $. НОД(18, 27) = 9. $ \frac{18 \div 9}{27 \div 9} = \frac{2}{3} $. Ответ: $ \frac{2}{3} $.

$ \frac{20}{70} $. НОД(20, 70) = 10. $ \frac{20 \div 10}{70 \div 10} = \frac{2}{7} $. Ответ: $ \frac{2}{7} $.

$ \frac{8}{36} $. НОД(8, 36) = 4. $ \frac{8 \div 4}{36 \div 4} = \frac{2}{9} $. Ответ: $ \frac{2}{9} $.

$ \frac{30}{75} $. НОД(30, 75) = 15. $ \frac{30 \div 15}{75 \div 15} = \frac{2}{5} $. Ответ: $ \frac{2}{5} $.

670 a) $ \frac{4}{24}, \frac{5}{20}, \frac{4}{20}, \frac{8}{16}, \frac{10}{40}, \frac{5}{50}; $

б) $ \frac{2}{4}, \frac{3}{9}, \frac{4}{16}, \frac{9}{45}, \frac{11}{66}, \frac{5}{35}. $

а)

Для сокращения дроби необходимо разделить ее числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Сократим каждую из предложенных дробей:

Дробь $\frac{4}{24}$. Наибольший общий делитель для 4 и 24 равен 4. Разделим числитель и знаменатель на 4:
$\frac{4}{24} = \frac{4 \div 4}{24 \div 4} = \frac{1}{6}$

Дробь $\frac{5}{20}$. НОД(5, 20) = 5. Разделим числитель и знаменатель на 5:
$\frac{5}{20} = \frac{5 \div 5}{20 \div 5} = \frac{1}{4}$

Дробь $\frac{4}{20}$. НОД(4, 20) = 4. Разделим числитель и знаменатель на 4:
$\frac{4}{20} = \frac{4 \div 4}{20 \div 4} = \frac{1}{5}$

Дробь $\frac{8}{16}$. НОД(8, 16) = 8. Разделим числитель и знаменатель на 8:
$\frac{8}{16} = \frac{8 \div 8}{16 \div 8} = \frac{1}{2}$

Дробь $\frac{10}{40}$. НОД(10, 40) = 10. Разделим числитель и знаменатель на 10:
$\frac{10}{40} = \frac{10 \div 10}{40 \div 10} = \frac{1}{4}$

Дробь $\frac{5}{50}$. НОД(5, 50) = 5. Разделим числитель и знаменатель на 5:
$\frac{5}{50} = \frac{5 \div 5}{50 \div 5} = \frac{1}{10}$

Ответ: $\frac{1}{6}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{10}$.

б)

Аналогично сократим дроби из второго пункта, находя для каждой наибольший общий делитель числителя и знаменателя.

Дробь $\frac{2}{4}$. НОД(2, 4) = 2:
$\frac{2}{4} = \frac{2 \div 2}{4 \div 2} = \frac{1}{2}$

Дробь $\frac{3}{9}$. НОД(3, 9) = 3:
$\frac{3}{9} = \frac{3 \div 3}{9 \div 3} = \frac{1}{3}$

Дробь $\frac{4}{16}$. НОД(4, 16) = 4:
$\frac{4}{16} = \frac{4 \div 4}{16 \div 4} = \frac{1}{4}$

Дробь $\frac{9}{45}$. НОД(9, 45) = 9:
$\frac{9}{45} = \frac{9 \div 9}{45 \div 9} = \frac{1}{5}$

Дробь $\frac{11}{66}$. НОД(11, 66) = 11:
$\frac{11}{66} = \frac{11 \div 11}{66 \div 11} = \frac{1}{6}$

Дробь $\frac{5}{35}$. НОД(5, 35) = 5:
$\frac{5}{35} = \frac{5 \div 5}{35 \div 5} = \frac{1}{7}$

Ответ: $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}$.

671 a) $\frac{18}{20}$, $\frac{5}{10}$, $\frac{16}{12}$, $\frac{30}{20}$, $\frac{12}{9}$, $\frac{2}{6}$.

б) $\frac{55}{22}$, $\frac{17}{51}$, $\frac{12}{8}$, $\frac{24}{40}$, $\frac{15}{6}$, $\frac{10}{100}$.

а)

Для того чтобы сократить дробь, необходимо разделить ее числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД).

$ \frac{18}{20} = \frac{18 \div 2}{20 \div 2} = \frac{9}{10} $

$ \frac{5}{10} = \frac{5 \div 5}{10 \div 5} = \frac{1}{2} $

$ \frac{16}{12} = \frac{16 \div 4}{12 \div 4} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} $

$ \frac{30}{20} = \frac{30 \div 10}{20 \div 10} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} $

$ \frac{12}{9} = \frac{12 \div 3}{9 \div 3} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} $

$ \frac{2}{6} = \frac{2 \div 2}{6 \div 2} = \frac{1}{3} $

Ответ: $ \frac{9}{10} $; $ \frac{1}{2} $; $ \frac{4}{3} $ (или $1\frac{1}{3}$); $ \frac{3}{2} $ (или $1\frac{1}{2}$); $ \frac{4}{3} $ (или $1\frac{1}{3}$); $ \frac{1}{3} $.

б)

Сократим дроби из второго пункта аналогичным образом.

$ \frac{55}{22} = \frac{55 \div 11}{22 \div 11} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} $

$ \frac{17}{51} = \frac{17 \div 17}{51 \div 17} = \frac{1}{3} $

$ \frac{12}{8} = \frac{12 \div 4}{8 \div 4} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} $

$ \frac{24}{40} = \frac{24 \div 8}{40 \div 8} = \frac{3}{5} $

$ \frac{15}{6} = \frac{15 \div 3}{6 \div 3} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} $

$ \frac{10}{100} = \frac{10 \div 10}{100 \div 10} = \frac{1}{10} $

Ответ: $ \frac{5}{2} $ (или $2\frac{1}{2}$); $ \frac{1}{3} $; $ \frac{3}{2} $ (или $1\frac{1}{2}$); $ \frac{3}{5} $; $ \frac{5}{2} $ (или $2\frac{1}{2}$); $ \frac{1}{10} $.

672 Выпишите несократимые дроби: $\frac{3}{5}$, $\frac{6}{8}$, $\frac{15}{25}$, $\frac{13}{14}$, $\frac{6}{7}$, $\frac{24}{35}$, $\frac{81}{90}$, $\frac{16}{48}$.

Несократимая дробь — это такая дробь, числитель и знаменатель которой являются взаимно простыми числами. Это означает, что их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Чтобы найти несократимые дроби, нужно проверить каждую дробь из списка на возможность сокращения.

$\frac{3}{5}$
Числа 3 и 5 являются простыми числами. Их единственный общий делитель — это 1. НОД(3, 5) = 1. Следовательно, эта дробь несократимая.

$\frac{6}{8}$
Числитель 6 и знаменатель 8 — четные числа, значит, оба делятся на 2. НОД(6, 8) = 2. Дробь можно сократить: $\frac{6:2}{8:2} = \frac{3}{4}$. Это сократимая дробь.

$\frac{15}{25}$
Числитель 15 и знаменатель 25 оканчиваются на 5, значит, оба делятся на 5. НОД(15, 25) = 5. Дробь можно сократить: $\frac{15:5}{25:5} = \frac{3}{5}$. Это сократимая дробь.

$\frac{13}{14}$
Числитель 13 — простое число. Знаменатель 14 на 13 не делится. Простые множители числа 14 — это 2 и 7, которые не являются делителями 13. НОД(13, 14) = 1. Следовательно, эта дробь несократимая.

$\frac{6}{7}$
Знаменатель 7 — простое число. Числитель 6 на 7 не делится. НОД(6, 7) = 1. Следовательно, эта дробь несократимая.

$\frac{24}{35}$
Разложим числитель и знаменатель на простые множители:
$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$
$35 = 5 \cdot 7$
Общих простых множителей у чисел 24 и 35 нет. НОД(24, 35) = 1. Следовательно, эта дробь несократимая.

$\frac{81}{90}$
Сумма цифр числителя (8+1=9) и знаменателя (9+0=9) делится на 9. Значит, оба числа делятся на 9. НОД(81, 90) = 9. Дробь можно сократить: $\frac{81:9}{90:9} = \frac{9}{10}$. Это сократимая дробь.

$\frac{16}{48}$
Знаменатель 48 делится на числитель 16 ($48 = 16 \cdot 3$). НОД(16, 48) = 16. Дробь можно сократить: $\frac{16:16}{48:16} = \frac{1}{3}$. Это сократимая дробь.

Выписав все несократимые дроби, получаем:

Ответ: $\frac{3}{5}, \frac{13}{14}, \frac{6}{7}, \frac{24}{35}$.