Страница 173 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

656 МОДЕЛИРУЕМ Начертите прямоугольник со сторонами 2 см и 6 см.

Разделите его на три равные части.

а) На сколько равных частей надо разделить каждую третью часть, чтобы получить девятые доли? Сделайте это. Сколько девятых долей в $\frac{1}{3}$?

б) На сколько равных частей надо разделить каждую девятую часть, чтобы получить восемнадцатые доли? Сколько восемнадцатых долей в $\frac{1}{9}$?

В $\frac{1}{3}$?

Сначала начертим прямоугольник со сторонами 2 см и 6 см. Чтобы разделить его на три равные части, разделим сторону длиной 6 см на три равных отрезка по 2 см каждый. Проведем линии, соединяющие противоположные стороны. В результате мы получим три квадрата размером 2 см на 2 см, каждый из которых является одной третьей частью ($\frac{1}{3}$) исходного прямоугольника.

а) Чтобы узнать, на сколько равных частей надо разделить каждую третью часть для получения девятых долей, нужно найти, во сколько раз 9 больше 3. Для этого выполним деление: $9 \div 3 = 3$. Значит, каждую третью часть необходимо разделить на 3 равные части.
Теперь определим, сколько девятых долей ($\frac{1}{9}$) содержится в одной третьей доле ($\frac{1}{3}$). Для этого нужно разделить $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{9}$:
$\frac{1}{3} \div \frac{1}{9} = \frac{1}{3} \times \frac{9}{1} = \frac{9}{3} = 3$.
Таким образом, в одной третьей доле содержится 3 девятых доли.
Ответ: каждую третью часть надо разделить на 3 равные части, чтобы получить девятые доли; в $\frac{1}{3}$ содержится 3 девятых доли.

б) Чтобы узнать, на сколько равных частей надо разделить каждую девятую часть для получения восемнадцатых долей, нужно найти, во сколько раз 18 больше 9. Выполним деление: $18 \div 9 = 2$. Значит, каждую девятую часть необходимо разделить на 2 равные части.
Теперь определим, сколько восемнадцатых долей ($\frac{1}{18}$) содержится в одной девятой доле ($\frac{1}{9}$). Для этого разделим $\frac{1}{9}$ на $\frac{1}{18}$:
$\frac{1}{9} \div \frac{1}{18} = \frac{1}{9} \times \frac{18}{1} = \frac{18}{9} = 2$.
В одной девятой доле содержится 2 восемнадцатых доли.
Чтобы найти, сколько восемнадцатых долей в $\frac{1}{3}$, мы можем использовать результат из пункта а). Мы знаем, что в $\frac{1}{3}$ содержится 3 девятых доли, а в каждой девятой доле, как мы только что выяснили, содержится 2 восемнадцатых доли. Следовательно, количество восемнадцатых долей в $\frac{1}{3}$ равно: $3 \times 2 = 6$.
Проверим делением: $\frac{1}{3} \div \frac{1}{18} = \frac{1}{3} \times \frac{18}{1} = \frac{18}{3} = 6$.
Ответ: каждую девятую часть надо разделить на 2 равные части; в $\frac{1}{9}$ содержится 2 восемнадцатых доли; в $\frac{1}{3}$ содержится 6 восемнадцатых долей.

657 Закончите запись:

а) $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = ...$

В) $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 10}{4 \cdot 10} = ...$

Д) $\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 7}{6 \cdot 7} = ...$

Б) $\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 2}{7 \cdot 2} = ...$

Г) $\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 8}{5 \cdot 8} = ...$

е) $\frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 100}{2 \cdot 100} = ...$

а) Умножаем числитель и знаменатель дроби на 4:
$ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12} $
Ответ: $ \frac{8}{12} $

б) Умножаем числитель и знаменатель дроби на 2:
$ \frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{10}{14} $
Ответ: $ \frac{10}{14} $

в) Умножаем числитель и знаменатель дроби на 10:
$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 10}{4 \cdot 10} = \frac{30}{40} $
Ответ: $ \frac{30}{40} $

г) Умножаем числитель и знаменатель дроби на 8:
$ \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{16}{40} $
Ответ: $ \frac{16}{40} $

д) Умножаем числитель и знаменатель дроби на 7:
$ \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 7}{6 \cdot 7} = \frac{7}{42} $
Ответ: $ \frac{7}{42} $

е) Умножаем числитель и знаменатель дроби на 100:
$ \frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 100}{2 \cdot 100} = \frac{300}{200} $
Ответ: $ \frac{300}{200} $

658 Восстановите запись:

а) $\frac{2}{3} = \frac{}{6} = \frac{}{18} = \frac{}{36};$

б) $\frac{7}{4} = \frac{}{16} = \frac{}{48} = \frac{}{96}.$

а) Чтобы восстановить запись, необходимо найти пропущенные числители так, чтобы все дроби были равны. Это означает, что нам нужно привести дробь $\frac{2}{3}$ к знаменателям 6, 18 и 36. Для этого воспользуемся основным свойством дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

1. Найдем числитель для дроби со знаменателем 6. Для этого определим, на какое число умножили знаменатель 3, чтобы получить 6: $6 \div 3 = 2$. Теперь умножим числитель 2 на это же число: $2 \cdot 2 = 4$. Получаем дробь $\frac{4}{6}$.

2. Найдем числитель для дроби со знаменателем 18. Определим множитель для знаменателя: $18 \div 3 = 6$. Умножим числитель 2 на 6: $2 \cdot 6 = 12$. Получаем дробь $\frac{12}{18}$.

3. Найдем числитель для дроби со знаменателем 36. Определим множитель для знаменателя: $36 \div 3 = 12$. Умножим числитель 2 на 12: $2 \cdot 12 = 24$. Получаем дробь $\frac{24}{36}$.

Таким образом, полная запись выглядит так: $\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{12}{18} = \frac{24}{36}$.

Ответ: $\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{12}{18} = \frac{24}{36}$.

б) Выполним аналогичные действия для дроби $\frac{7}{4}$, чтобы привести ее к знаменателям 16, 48 и 96.

1. Найдем числитель для дроби со знаменателем 16. Определим множитель для знаменателя: $16 \div 4 = 4$. Умножим числитель 7 на это же число: $7 \cdot 4 = 28$. Получаем дробь $\frac{28}{16}$.

2. Найдем числитель для дроби со знаменателем 48. Определим множитель для знаменателя: $48 \div 4 = 12$. Умножим числитель 7 на 12: $7 \cdot 12 = 84$. Получаем дробь $\frac{84}{48}$.

3. Найдем числитель для дроби со знаменателем 96. Определим множитель для знаменателя: $96 \div 4 = 24$. Умножим числитель 7 на 24: $7 \cdot 24 = 168$. Получаем дробь $\frac{168}{96}$.

Таким образом, полная запись выглядит так: $\frac{7}{4} = \frac{28}{16} = \frac{84}{48} = \frac{168}{96}$.

Ответ: $\frac{7}{4} = \frac{28}{16} = \frac{84}{48} = \frac{168}{96}$.

659 Восстановите запись:

а) $\frac{1}{3} = \frac{}{} = \frac{2}{} = \frac{3}{} = \frac{4}{} = \frac{5}{} = \frac{6}{}$;

б) $\frac{1}{4} = \frac{}{12} = \frac{4}{} = \frac{}{20} = \frac{}{} = \frac{7}{} = \frac{}{60}$;

В) $\frac{4}{5} = \frac{}{10} = \frac{}{15} = \frac{}{25} = \frac{}{75} = \frac{}{100}$;

Г) $\frac{5}{6} = \frac{}{12} = \frac{25}{} = \frac{}{36} = \frac{50}{} = \frac{}{66}$.

Чтобы восстановить записи, необходимо использовать основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь. Для каждого случая мы будем находить этот множитель, сравнивая одну из частей (числитель или знаменатель) новой дроби с исходной, а затем применять его к другой части.

Исходная дробь $ \frac{1}{3} $. Последовательно находим недостающие знаменатели.

• Для дроби с числителем 2: числитель $1$ умножили на $2$. Значит, знаменатель $3$ также умножаем на $2$: $3 \cdot 2 = 6$. Получаем $ \frac{2}{6} $.

• Для дроби с числителем 3: числитель $1$ умножили на $3$. Знаменатель: $3 \cdot 3 = 9$. Получаем $ \frac{3}{9} $.

• Для дроби с числителем 4: числитель $1$ умножили на $4$. Знаменатель: $3 \cdot 4 = 12$. Получаем $ \frac{4}{12} $.

• Для дроби с числителем 5: числитель $1$ умножили на $5$. Знаменатель: $3 \cdot 5 = 15$. Получаем $ \frac{5}{15} $.

• Для дроби с числителем 6: числитель $1$ умножили на $6$. Знаменатель: $3 \cdot 6 = 18$. Получаем $ \frac{6}{18} $.

Восстановленная запись: $ \frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{3}{9} = \frac{4}{12} = \frac{5}{15} = \frac{6}{18} $.

Ответ: $ \frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{3}{9} = \frac{4}{12} = \frac{5}{15} = \frac{6}{18} $.

Исходная дробь $ \frac{1}{4} $. Находим недостающие числители и знаменатели.

• $ \frac{1}{4} = \frac{?}{12} $. Знаменатель $4$ умножили на $3$ ($12 \div 4 = 3$). Числитель: $1 \cdot 3 = 3$. Получаем $ \frac{3}{12} $.

• $ \frac{1}{4} = \frac{4}{?} $. Числитель $1$ умножили на $4$. Знаменатель: $4 \cdot 4 = 16$. Получаем $ \frac{4}{16} $.

• $ \frac{1}{4} = \frac{?}{20} $. Знаменатель $4$ умножили на $5$ ($20 \div 4 = 5$). Числитель: $1 \cdot 5 = 5$. Получаем $ \frac{5}{20} $.

• $ \frac{1}{4} = \frac{7}{?} $. Числитель $1$ умножили на $7$. Знаменатель: $4 \cdot 7 = 28$. Получаем $ \frac{7}{28} $.

• $ \frac{1}{4} = \frac{?}{60} $. Знаменатель $4$ умножили на $15$ ($60 \div 4 = 15$). Числитель: $1 \cdot 15 = 15$. Получаем $ \frac{15}{60} $.

Восстановленная запись: $ \frac{1}{4} = \frac{3}{12} = \frac{4}{16} = \frac{5}{20} = \frac{7}{28} = \frac{15}{60} $.

Ответ: $ \frac{1}{4} = \frac{3}{12} = \frac{4}{16} = \frac{5}{20} = \frac{7}{28} = \frac{15}{60} $.

Исходная дробь $ \frac{4}{5} $. Находим недостающие числители.

• $ \frac{4}{5} = \frac{?}{10} $. Множитель: $10 \div 5 = 2$. Числитель: $4 \cdot 2 = 8$. Получаем $ \frac{8}{10} $.

• $ \frac{4}{5} = \frac{?}{15} $. Множитель: $15 \div 5 = 3$. Числитель: $4 \cdot 3 = 12$. Получаем $ \frac{12}{15} $.

• $ \frac{4}{5} = \frac{?}{25} $. Множитель: $25 \div 5 = 5$. Числитель: $4 \cdot 5 = 20$. Получаем $ \frac{20}{25} $.

• $ \frac{4}{5} = \frac{?}{75} $. Множитель: $75 \div 5 = 15$. Числитель: $4 \cdot 15 = 60$. Получаем $ \frac{60}{75} $.

• $ \frac{4}{5} = \frac{?}{100} $. Множитель: $100 \div 5 = 20$. Числитель: $4 \cdot 20 = 80$. Получаем $ \frac{80}{100} $.

Восстановленная запись: $ \frac{4}{5} = \frac{8}{10} = \frac{12}{15} = \frac{20}{25} = \frac{60}{75} = \frac{80}{100} $.

Ответ: $ \frac{4}{5} = \frac{8}{10} = \frac{12}{15} = \frac{20}{25} = \frac{60}{75} = \frac{80}{100} $.

Исходная дробь $ \frac{5}{6} $. Находим недостающие числители и знаменатели.

• $ \frac{5}{6} = \frac{?}{12} $. Множитель для знаменателя: $12 \div 6 = 2$. Числитель: $5 \cdot 2 = 10$. Получаем $ \frac{10}{12} $.

• $ \frac{5}{6} = \frac{25}{?} $. Множитель для числителя: $25 \div 5 = 5$. Знаменатель: $6 \cdot 5 = 30$. Получаем $ \frac{25}{30} $.

• $ \frac{5}{6} = \frac{?}{36} $. Множитель для знаменателя: $36 \div 6 = 6$. Числитель: $5 \cdot 6 = 30$. Получаем $ \frac{30}{36} $.

• $ \frac{5}{6} = \frac{50}{?} $. Множитель для числителя: $50 \div 5 = 10$. Знаменатель: $6 \cdot 10 = 60$. Получаем $ \frac{50}{60} $.

• $ \frac{5}{6} = \frac{?}{66} $. Множитель для знаменателя: $66 \div 6 = 11$. Числитель: $5 \cdot 11 = 55$. Получаем $ \frac{55}{66} $.

Восстановленная запись: $ \frac{5}{6} = \frac{10}{12} = \frac{25}{30} = \frac{30}{36} = \frac{50}{60} = \frac{55}{66} $.

Ответ: $ \frac{5}{6} = \frac{10}{12} = \frac{25}{30} = \frac{30}{36} = \frac{50}{60} = \frac{55}{66} $.

660 РАССУЖДАЕМ Определите координату точки А (рис. 8.27).

а) $A\left(\frac{3}{4}\right)$

б) $A\left(\frac{2}{5}\right)$

Рис. 8.27

а)

На данном рисунке единичный отрезок, то есть отрезок от 0 до 1, разделен на 4 равных части. Это означает, что каждая часть (деление) равна $\frac{1}{4}$ единичного отрезка. Точка А находится на второй отметке от начала координат (точки 0). Чтобы определить ее координату, нужно цену деления умножить на количество делений от начала отсчета.

Координата точки A = $2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{4}$.

Дробь $\frac{2}{4}$ можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{2}{4} = \frac{2 \div 2}{4 \div 2} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, координата точки А равна $\frac{1}{2}$.

Ответ: $A(\frac{1}{2})$.

б)

На этом рисунке единичный отрезок от 0 до 1 разделен на 5 равных частей. Таким образом, цена одного деления составляет $\frac{1}{5}$ единичного отрезка. Точка А расположена на четвертой отметке от начала координат. Найдем ее координату, умножив цену деления на количество таких делений.

Координата точки A = $4 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.

Дробь $\frac{4}{5}$ является несократимой. Значит, координата точки А равна $\frac{4}{5}$.

Ответ: $A(\frac{4}{5})$.

ДЕЙСТВУЕМ ПО АЛГОРИТМУ (661–662)

661 Прочитайте пример 1 в тексте учебника и перечислите шаги, которые надо сделать для приведения дроби к новому знаменателю. Приведите дробь:

а) $ \frac{3}{4} $ к знаменателю 8, 20, 100, 1000;

б) $ \frac{2}{7} $ к знаменателю 14, 21, 35, 140;

в) $ \frac{5}{8} $ к знаменателю 16, 32, 56, 1000.

Чтобы привести дробь к новому знаменателю, необходимо выполнить следующие шаги (алгоритм):

1. Найти дополнительный множитель. Для этого новый знаменатель делят на исходный (старый) знаменатель.
2. Умножить числитель и знаменатель исходной дроби на этот дополнительный множитель. Это делается на основе основного свойства дроби, согласно которому значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же натуральное число.

а) Приведем дробь $\frac{3}{4}$ к знаменателям 8, 20, 100, 1000.

• К знаменателю 8:
  Находим дополнительный множитель: $8 \div 4 = 2$.
  Умножаем числитель и знаменатель на 2: $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8}$.
• К знаменателю 20:
  Находим дополнительный множитель: $20 \div 4 = 5$.
  Умножаем числитель и знаменатель на 5: $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20}$.
• К знаменателю 100:
  Находим дополнительный множитель: $100 \div 4 = 25$.
  Умножаем числитель и знаменатель на 25: $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100}$.
• К знаменателю 1000:
  Находим дополнительный множитель: $1000 \div 4 = 250$.
  Умножаем числитель и знаменатель на 250: $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 250}{4 \cdot 250} = \frac{750}{1000}$.

Ответ: $\frac{6}{8}; \frac{15}{20}; \frac{75}{100}; \frac{750}{1000}$.

б) Приведем дробь $\frac{2}{7}$ к знаменателям 14, 21, 35, 140.

• К знаменателю 14:
  Дополнительный множитель: $14 \div 7 = 2$.
  $\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{4}{14}$.
• К знаменателю 21:
  Дополнительный множитель: $21 \div 7 = 3$.
  $\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{6}{21}$.
• К знаменателю 35:
  Дополнительный множитель: $35 \div 7 = 5$.
  $\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{10}{35}$.
• К знаменателю 140:
  Дополнительный множитель: $140 \div 7 = 20$.
  $\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 20}{7 \cdot 20} = \frac{40}{140}$.

Ответ: $\frac{4}{14}; \frac{6}{21}; \frac{10}{35}; \frac{40}{140}$.

в) Приведем дробь $\frac{5}{8}$ к знаменателям 16, 32, 56, 1000.

• К знаменателю 16:
  Дополнительный множитель: $16 \div 8 = 2$.
  $\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 2}{8 \cdot 2} = \frac{10}{16}$.
• К знаменателю 32:
  Дополнительный множитель: $32 \div 8 = 4$.
  $\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 4}{8 \cdot 4} = \frac{20}{32}$.
• К знаменателю 56:
  Дополнительный множитель: $56 \div 8 = 7$.
  $\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 7}{8 \cdot 7} = \frac{35}{56}$.
• К знаменателю 1000:
  Дополнительный множитель: $1000 \div 8 = 125$.
  $\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{625}{1000}$.

Ответ: $\frac{10}{16}; \frac{20}{32}; \frac{35}{56}; \frac{625}{1000}$.