Страница 166 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

629 Начертите отрезок длиной 6 клеток. Начертите отрезки, равные $\frac{7}{6}$, $\frac{8}{6}$, $\frac{3}{2}$, $\frac{5}{3}$ этого отрезка.

По условию задачи, длина исходного отрезка составляет 6 клеток. Чтобы начертить новые отрезки, необходимо найти их длину в клетках. Для этого нужно длину исходного отрезка (6 клеток) умножить на соответствующую дробь.

$\frac{7}{6}$

Найдем длину отрезка, равного $\frac{7}{6}$ от 6 клеток.

$6 \cdot \frac{7}{6} = \frac{6 \cdot 7}{6} = 7$ (клеток).

Следовательно, нужно начертить отрезок длиной 7 клеток.

Ответ: 7 клеток.

$\frac{8}{6}$

Найдем длину отрезка, равного $\frac{8}{6}$ от 6 клеток.

$6 \cdot \frac{8}{6} = \frac{6 \cdot 8}{6} = 8$ (клеток).

Следовательно, нужно начертить отрезок длиной 8 клеток.

Ответ: 8 клеток.

$\frac{3}{2}$

Найдем длину отрезка, равного $\frac{3}{2}$ от 6 клеток.

$6 \cdot \frac{3}{2} = \frac{18}{2} = 9$ (клеток).

Следовательно, нужно начертить отрезок длиной 9 клеток.

Ответ: 9 клеток.

$\frac{5}{3}$

Найдем длину отрезка, равного $\frac{5}{3}$ от 6 клеток.

$6 \cdot \frac{5}{3} = \frac{30}{3} = 10$ (клеток).

Следовательно, нужно начертить отрезок длиной 10 клеток.

Ответ: 10 клеток.

630 Отрезок на рисунке 8.15 изображает 1 км. Начертите отрезки, соответствующие $\frac{2}{5}$ км, $\frac{7}{5}$ км, $\frac{2}{3}$ км, $\frac{5}{3}$ км.

Рис. 8.15

Из условия задачи и рисунка 8.15 мы видим, что отрезок, изображающий 1 км, имеет длину 10 клеток. Это наш масштаб. Чтобы начертить отрезки, соответствующие заданным долям километра, мы будем умножать длину отрезка в 1 км (10 клеток) на указанную дробь.

$\frac{2}{5}$ км

Чтобы найти длину отрезка, соответствующего $\frac{2}{5}$ км, нужно длину отрезка в 1 км (10 клеток) умножить на $\frac{2}{5}$.

$10 \cdot \frac{2}{5} = \frac{10 \cdot 2}{5} = \frac{20}{5} = 4$ (клетки).

Таким образом, нужно начертить отрезок длиной 4 клетки.

Ответ: отрезок длиной 4 клетки.

$\frac{7}{5}$ км

Чтобы найти длину отрезка, соответствующего $\frac{7}{5}$ км, нужно длину отрезка в 1 км (10 клеток) умножить на $\frac{7}{5}$.

$10 \cdot \frac{7}{5} = \frac{10 \cdot 7}{5} = \frac{70}{5} = 14$ (клеток).

Таким образом, нужно начертить отрезок длиной 14 клеток.

Ответ: отрезок длиной 14 клеток.

$\frac{2}{3}$ км

Чтобы найти длину отрезка, соответствующего $\frac{2}{3}$ км, нужно длину отрезка в 1 км (10 клеток) умножить на $\frac{2}{3}$.

$10 \cdot \frac{2}{3} = \frac{10 \cdot 2}{3} = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}$ (клетки).

Таким образом, нужно начертить отрезок длиной 6 полных клеток и еще две трети следующей клетки.

Ответ: отрезок длиной $6\frac{2}{3}$ клетки.

$\frac{5}{3}$ км

Чтобы найти длину отрезка, соответствующего $\frac{5}{3}$ км, нужно длину отрезка в 1 км (10 клеток) умножить на $\frac{5}{3}$.

$10 \cdot \frac{5}{3} = \frac{10 \cdot 5}{3} = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3}$ (клетки).

Таким образом, нужно начертить отрезок длиной 16 полных клеток и еще две трети следующей клетки.

Ответ: отрезок длиной $16\frac{2}{3}$ клетки.

631 а) На рисунке 8.16 показан отрезок, соответствующий $ \frac{1}{5} $ м. Постройте отрезки, соответствующие $ \frac{2}{5} $ м, $ \frac{3}{5} $ м, 1 м, $ \frac{7}{5} $ м.

б) На рисунке 8.17 показан отрезок, соответствующий $ \frac{2}{3} $ ч. Постройте отрезки, соответствующие $ \frac{1}{3} $ ч, 1 ч, $ \frac{4}{3} $ ч, $ \frac{8}{3} $ ч.

в) На рисунке 8.18 показан отрезок, соответствующий $ \frac{3}{4} $ км. Постройте отрезок, соответствующий $ \frac{1}{4} $ км, 1 км, $ \frac{5}{4} $ км, $ \frac{6}{4} $ км.

Рис. 8.15

Рис. 8.16

Рис. 8.17

а)

На рисунке 8.16 показан отрезок, соответствующий $ \frac{1}{5} $ м. Длина этого отрезка составляет 2 клетки. Примем эту длину за единичную часть.
Чтобы построить отрезок, соответствующий $ \frac{2}{5} $ м, нужно взять две такие единичные части, то есть его длина будет $ 2 \times 2 = 4 $ клетки.
Отрезок, соответствующий $ \frac{3}{5} $ м, будет состоять из трех единичных частей, и его длина будет $ 3 \times 2 = 6 $ клеток.
Отрезок, соответствующий 1 м, равен $ \frac{5}{5} $ м, поэтому он будет состоять из пяти единичных частей, и его длина будет $ 5 \times 2 = 10 $ клеток.
Отрезок, соответствующий $ \frac{7}{5} $ м, будет состоять из семи единичных частей, и его длина будет $ 7 \times 2 = 14 $ клеток.
Ответ: отрезки должны иметь длину 4, 6, 10 и 14 клеток соответственно.

б)

На рисунке 8.17 показан отрезок, соответствующий $ \frac{2}{3} $ ч. Длина этого отрезка составляет 4 клетки. Это означает, что две части из трех (две трети) часа представлены 4 клетками.
Сначала найдем длину отрезка, соответствующего одной части, то есть $ \frac{1}{3} $ ч. Для этого разделим данную длину на 2: $ 4 \div 2 = 2 $ клетки. Это будет наша единичная часть.
Отрезок, соответствующий $ \frac{1}{3} $ ч, имеет длину 2 клетки.
Отрезок, соответствующий 1 ч ($ \frac{3}{3} $ ч), будет состоять из трех единичных частей, и его длина будет $ 3 \times 2 = 6 $ клеток.
Отрезок, соответствующий $ \frac{4}{3} $ ч, будет состоять из четырех единичных частей, и его длина будет $ 4 \times 2 = 8 $ клеток.
Отрезок, соответствующий $ \frac{8}{3} $ ч, будет состоять из восьми единичных частей, и его длина будет $ 8 \times 2 = 16 $ клеток.
Ответ: отрезки, соответствующие $ \frac{1}{3} $ ч, 1 ч, $ \frac{4}{3} $ ч и $ \frac{8}{3} $ ч, должны иметь длину 2, 6, 8 и 16 клеток соответственно.

в)

В условии сказано, что на рисунке 8.18 показан отрезок, соответствующий $ \frac{3}{4} $ км. Хотя рисунок 8.18 отсутствует, мы можем использовать рисунок 8.15, где отрезок, соответствующий 1 км, занимает 8 клеток.
Поскольку 1 км ($ \frac{4}{4} $ км) — это 8 клеток, мы можем найти длину отрезка для одной части, то есть для $ \frac{1}{4} $ км, разделив общую длину на 4: $ 8 \div 4 = 2 $ клетки. Это будет наша единичная часть.
Отрезок, соответствующий $ \frac{1}{4} $ км, должен иметь длину 2 клетки.
Отрезок, соответствующий 1 км ($ \frac{4}{4} $ км), должен состоять из четырех единичных частей и иметь длину $ 4 \times 2 = 8 $ клеток, что соответствует рисунку 8.15.
Отрезок, соответствующий $ \frac{5}{4} $ км, должен состоять из пяти единичных частей и иметь длину $ 5 \times 2 = 10 $ клеток.
Отрезок, соответствующий $ \frac{6}{4} $ км, должен состоять из шести единичных частей и иметь длину $ 6 \times 2 = 12 $ клеток.
Ответ: отрезки, соответствующие $ \frac{1}{4} $ км, 1 км, $ \frac{5}{4} $ км и $ \frac{6}{4} $ км, должны иметь длину 2, 8, 10 и 12 клеток соответственно.

632 Назовите координаты точек, отмеченных на координатной прямой (рис. 8.19).

A

$A$

B

$B$

C

$C$

D

$D$

$0$

$1$

Рис. 8.19

Для того чтобы определить координаты точек, сначала необходимо найти цену одного деления на координатной прямой. Мы видим, что единичный отрезок (отрезок от 0 до 1) разделен на 5 равных частей. Следовательно, цена одного деления равна $\frac{1}{5}$.

Теперь мы можем найти координату каждой точки, посчитав, на каком расстоянии в делениях она находится от начала отсчета (точки 0).

A

Точка A отстоит от начала отсчета на 2 деления. Ее координата равна произведению количества делений на цену одного деления:

$2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$

Ответ: $A(\frac{2}{5})$

B

Точка B отстоит от начала отсчета на 4 деления. Ее координата равна:

$4 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

Ответ: $B(\frac{4}{5})$

C

Точка C отстоит от начала отсчета на 7 делений (5 делений до точки 1 и еще 2 деления после). Ее координата равна:

$7 \cdot \frac{1}{5} = \frac{7}{5}$

Можно также представить эту неправильную дробь в виде смешанного числа: $\frac{7}{5} = 1\frac{2}{5}$.

Ответ: $C(\frac{7}{5})$

D

Точка D отстоит от начала отсчета на 9 делений (5 делений до точки 1 и еще 4 деления после). Ее координата равна:

$9 \cdot \frac{1}{5} = \frac{9}{5}$

Можно также представить эту неправильную дробь в виде смешанного числа: $\frac{9}{5} = 1\frac{4}{5}$.

Ответ: $D(\frac{9}{5})$

633 а) Начертите координатную прямую с единичным отрезком, равным 9 см. Отметьте точки с координатами:

$\frac{1}{9}$, $\frac{2}{9}$, $\frac{5}{9}$, $\frac{7}{9}$, $\frac{9}{9}$, $\frac{11}{9}$, $\frac{13}{9}$.

Какая из этих точек расположена дальше других от нуля, а какая — ближе всех к нулю? Какие точки расположены левее 1, а какие — правее 1?

б) Начертите координатную прямую с единичным отрезком, равным 12 клеткам, и отметьте дроби:

$\frac{1}{6}$, $\frac{2}{6}$, $\frac{3}{6}$, $\frac{4}{6}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{6}{6}$, $\frac{7}{6}$, $\frac{8}{6}$.

Ответьте на те же вопросы, что и в задании «а».

Начертим координатную прямую. По условию, единичный отрезок равен 9 см. Это значит, что расстояние от точки 0 до точки 1 составляет 9 см. Нам нужно отметить точки с координатами $\frac{1}{9}, \frac{2}{9}, \frac{5}{9}, \frac{7}{9}, \frac{9}{9}, \frac{11}{9}, \frac{13}{9}$.

Знаменатель каждой дроби равен 9. Это означает, что единичный отрезок разделен на 9 равных частей, и каждая такая часть равна $9 \text{ см} \div 9 = 1 \text{ см}$. Чтобы отметить точку с координатой $\frac{n}{9}$, нужно отложить от начала координат (точки 0) $n$ таких частей, то есть $n$ сантиметров.
Например, точка с координатой $\frac{1}{9}$ будет находиться на расстоянии 1 см от 0, точка с координатой $\frac{2}{9}$ — на расстоянии 2 см от 0, и так далее.
Точка с координатой $\frac{9}{9}$ соответствует точке 1 и находится на расстоянии 9 см от 0.
Точка с координатой $\frac{13}{9}$ находится на расстоянии 13 см от 0.

Какая из этих точек расположена дальше других от нуля, а какая — ближе всех к нулю?
Расстояние от точки до нуля на координатной прямой равно ее координате (поскольку все координаты положительны). Чтобы найти самую дальнюю точку, нужно выбрать дробь с наибольшим значением. Так как знаменатели у всех дробей одинаковы, большей будет та дробь, у которой больше числитель. Самый большой числитель — 13. Следовательно, точка с координатой $\frac{13}{9}$ расположена дальше всех от нуля.
Чтобы найти самую близкую точку, нужно выбрать дробь с наименьшим значением. Самый маленький числитель — 1. Следовательно, точка с координатой $\frac{1}{9}$ расположена ближе всех к нулю.
Ответ: дальше всех от нуля расположена точка с координатой $\frac{13}{9}$, а ближе всех — точка с координатой $\frac{1}{9}$.

Какие точки расположены левее 1, а какие — правее 1?
Число 1 можно представить в виде дроби $\frac{9}{9}$. Точки, расположенные левее 1, имеют координаты, которые меньше 1. Это дроби, у которых числитель меньше знаменателя 9. Точки, расположенные правее 1, имеют координаты больше 1. Это дроби, у которых числитель больше знаменателя 9.
Точки левее 1: $\frac{1}{9}, \frac{2}{9}, \frac{5}{9}, \frac{7}{9}$.
Точки правее 1: $\frac{11}{9}, \frac{13}{9}$.
Точка с координатой $\frac{9}{9}$ совпадает с точкой 1.
Ответ: левее 1 расположены точки с координатами $\frac{1}{9}, \frac{2}{9}, \frac{5}{9}, \frac{7}{9}$; правее 1 — точки с координатами $\frac{11}{9}, \frac{13}{9}$.

Начертим координатную прямую, на которой единичный отрезок равен 12 клеткам. Это значит, что расстояние от 0 до 1 равно 12 клеткам. Нам нужно отметить дроби: $\frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}, \frac{4}{6}, \frac{5}{6}, \frac{6}{6}, \frac{7}{6}, \frac{8}{6}$.

Знаменатель каждой дроби равен 6. Это означает, что единичный отрезок (12 клеток) нужно разделить на 6 равных частей. Каждая такая часть будет равна $12 \div 6 = 2$ клетки. Чтобы отметить точку с координатой $\frac{n}{6}$, нужно отложить от начала координат $n$ таких частей, то есть $n \times 2$ клеток.
Например, точка с координатой $\frac{1}{6}$ будет находиться на расстоянии $1 \times 2 = 2$ клетки от 0, точка с координатой $\frac{2}{6}$ — на расстоянии $2 \times 2 = 4$ клетки от 0, и так далее.
Точка с координатой $\frac{6}{6}$ соответствует точке 1 и находится на расстоянии $6 \times 2 = 12$ клеток от 0.
Точка с координатой $\frac{8}{6}$ находится на расстоянии $8 \times 2 = 16$ клеток от 0.

Какая из этих точек расположена дальше других от нуля, а какая — ближе всех к нулю?
Сравниваем дроби. Так как знаменатели одинаковы, большей будет дробь с большим числителем, а меньшей — с меньшим. Самый большой числитель — 8, самый маленький — 1. Значит, самая дальняя точка от нуля имеет координату $\frac{8}{6}$, а самая ближняя — $\frac{1}{6}$.
Ответ: дальше всех от нуля расположена точка с координатой $\frac{8}{6}$, а ближе всех — точка с координатой $\frac{1}{6}$.

Какие точки расположены левее 1, а какие — правее 1?
Число 1 равно дроби $\frac{6}{6}$. Точки левее 1 имеют координаты меньше 1 (числитель меньше знаменателя 6). Точки правее 1 имеют координаты больше 1 (числитель больше знаменателя 6).
Точки левее 1: $\frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}, \frac{4}{6}, \frac{5}{6}$.
Точки правее 1: $\frac{7}{6}, \frac{8}{6}$.
Точка с координатой $\frac{6}{6}$ совпадает с точкой 1.
Ответ: левее 1 расположены точки с координатами $\frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}, \frac{4}{6}, \frac{5}{6}$; правее 1 — точки с координатами $\frac{7}{6}, \frac{8}{6}$.

634 На координатной прямой отметьте дроби: $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{4}{3}$, $\frac{2}{5}$, $\frac{3}{5}$, $\frac{4}{5}$, $\frac{5}{5}$, $\frac{7}{5}$, $\frac{8}{5}$.

Подсказка. Возьмите единичный отрезок, равный 15 клеткам.

$\frac{3}{4}$ км

Рис. 8.18

Рис. 8.19

Для того чтобы отметить данные дроби на координатной прямой, воспользуемся подсказкой и примем за единичный отрезок (расстояние от 0 до 1) 15 клеток. Этот масштаб удобен, так как 15 является наименьшим общим кратным знаменателей дробей (3 и 5). Это позволит нам отметить все дроби на целых клетках.

Сначала вычислим, на какой клетке от начала координат (точки 0) будет находиться каждая дробь. Для этого умножим значение дроби на длину единичного отрезка в клетках (15).

Для дробей со знаменателем 3:

Одна треть единичного отрезка будет соответствовать $15 \div 3 = 5$ клеткам.

• Дробь $\frac{1}{3}$: соответствует $ \frac{1}{3} \times 15 = 5 $ клеткам от 0.
• Дробь $\frac{2}{3}$: соответствует $ \frac{2}{3} \times 15 = 10 $ клеткам от 0.
• Дробь $\frac{4}{3}$: соответствует $ \frac{4}{3} \times 15 = 20 $ клеткам от 0.

Для дробей со знаменателем 5:

Одна пятая единичного отрезка будет соответствовать $15 \div 5 = 3$ клеткам.

• Дробь $\frac{2}{5}$: соответствует $ \frac{2}{5} \times 15 = 6 $ клеткам от 0.
• Дробь $\frac{3}{5}$: соответствует $ \frac{3}{5} \times 15 = 9 $ клеткам от 0.
• Дробь $\frac{4}{5}$: соответствует $ \frac{4}{5} \times 15 = 12 $ клеткам от 0.
• Дробь $\frac{5}{5}$: соответствует $ \frac{5}{5} \times 15 = 15 $ клеткам от 0. Эта точка совпадает с числом 1.
• Дробь $\frac{7}{5}$: соответствует $ \frac{7}{5} \times 15 = 21 $ клетке от 0.
• Дробь $\frac{8}{5}$: соответствует $ \frac{8}{5} \times 15 = 24 $ клеткам от 0.

Теперь начертим координатную прямую, где единичный отрезок равен 15 делениям (клеткам), и отметим на ней вычисленные точки.

Ответ: