Страница 165 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

622 Используя разные геометрические фигуры, изобразите дробь:

а) $ \frac{1}{2} $;

б) $ \frac{1}{3} $;

в) $ \frac{1}{4} $;

г) $ \frac{2}{3} $;

д) $ \frac{3}{5} $;

е) $ \frac{5}{6} $.

а) $\frac{1}{2}$

Чтобы изобразить дробь $\frac{1}{2}$, можно использовать круг. Круг представляет собой единое целое. Разделим его диаметром на две равные части, каждая из которых является половиной круга. Закрасив одну из этих частей, мы наглядно покажем долю, равную одной второй.

Ответ: Дробь $\frac{1}{2}$ изображена в виде круга, половина которого закрашена.

б) $\frac{1}{3}$

Для изображения дроби $\frac{1}{3}$ возьмём равносторонний треугольник. Соединив его геометрический центр с тремя вершинами, мы разделим его на три абсолютно одинаковых равнобедренных треугольника. Закрасим один из них. Таким образом, закрашенная область составит одну треть от площади всей фигуры.

Ответ: Дробь $\frac{1}{3}$ изображена в виде равностороннего треугольника, разделённого на три равные части, одна из которых закрашена.

в) $\frac{1}{4}$

Дробь $\frac{1}{4}$ удобно показать на примере квадрата. Разделим квадрат на четыре равные части, проведя две перпендикулярные линии через его центр. В результате получатся четыре меньших одинаковых квадрата. Закрасим один из них. Его площадь будет составлять одну четвёртую от площади большого квадрата.

Ответ: Дробь $\frac{1}{4}$ изображена в виде квадрата, разделённого на четыре равные части, одна из которых закрашена.

г) $\frac{2}{3}$

Для изображения дроби $\frac{2}{3}$ используем прямоугольник. Разделим его на три равные вертикальные полосы. Каждая полоса представляет собой $\frac{1}{3}$ от всего прямоугольника. Закрасив две из этих трёх полос, мы покажем долю, равную двум третям.

Ответ: Дробь $\frac{2}{3}$ изображена в виде прямоугольника, разделённого на три равные части, две из которых закрашены.

д) $\frac{3}{5}$

Дробь можно изобразить не только как часть одной фигуры, но и как часть группы объектов. Чтобы показать дробь $\frac{3}{5}$, нарисуем группу из пяти одинаковых фигур, например, кругов. Это общее количество (знаменатель). Затем закрасим три круга из этой группы. Это покажет нам требуемую часть (числитель).

Ответ: Дробь $\frac{3}{5}$ изображена в виде группы из пяти фигур, три из которых закрашены.

е) $\frac{5}{6}$

Для изображения дроби $\frac{5}{6}$ хорошо подходит правильный шестиугольник. Его можно легко разделить на шесть равных равносторонних треугольников, проведя линии от центра к каждой вершине. Закрасив пять из шести таких треугольников, мы наглядно представим дробь пять шестых.

Ответ: Дробь $\frac{5}{6}$ изображена в виде правильного шестиугольника, разделённого на шесть равных частей, пять из которых закрашены.

РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ (623–625)

623. Запишите ответ в виде дроби.

а) Конфеты разложили поровну в 8 коробок. Какую часть конфет положили в 1 коробку? в 3 коробки? в 7 коробок?

Ответ: $1/8$, $3/8$, $7/8$

б) Насос подаёт воду в бассейн с постоянной скоростью и наполняет его за 7 ч. Какая часть бассейна наполнится водой за 1 ч? за 2 ч? за 4 ч?

Ответ: $1/7$, $2/7$, $4/7$

в) Комбайнёр убрал поле за 12 дней. Ежедневно он выполнял одинаковый объём работы. Какая часть поля была убрана за 1 день? за 5 дней? за 7 дней?

Ответ: $1/12$, $5/12$, $7/12$

а) Поскольку все конфеты разложили поровну в 8 коробок, то общее количество конфет (которое мы принимаем за единицу) было разделено на 8 равных частей. Таким образом, каждая коробка содержит $ \frac{1}{8} $ часть всех конфет.

• В 1 коробку положили $ \frac{1}{8} $ часть конфет.

• В 3 коробки положили 3 такие части, то есть $ 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8} $ часть конфет.

• В 7 коробок положили 7 таких частей, то есть $ 7 \cdot \frac{1}{8} = \frac{7}{8} $ часть конфет.

Ответ: в 1 коробку положили $ \frac{1}{8} $ часть конфет, в 3 коробки — $ \frac{3}{8} $, в 7 коробок — $ \frac{7}{8} $.

б) Весь бассейн принимается за единицу (1). Насос наполняет его за 7 часов с постоянной скоростью. Это означает, что за 1 час он выполняет $ \frac{1}{7} $ всей работы по наполнению бассейна.

• За 1 час наполнится $ \frac{1}{7} $ часть бассейна.

• За 2 часа наполнится в два раза большая часть: $ 2 \cdot \frac{1}{7} = \frac{2}{7} $.

• За 4 часа наполнится в четыре раза большая часть: $ 4 \cdot \frac{1}{7} = \frac{4}{7} $.

Ответ: за 1 час наполнится $ \frac{1}{7} $ часть бассейна, за 2 часа — $ \frac{2}{7} $, за 4 часа — $ \frac{4}{7} $.

в) Всё поле принимается за единицу (1). Комбайнёр убрал его за 12 дней, работая с одинаковой производительностью. Это значит, что каждый день он убирал одну и ту же часть поля, а именно $ \frac{1}{12} $.

• За 1 день была убрана $ \frac{1}{12} $ часть поля.

• За 5 дней была убрана часть поля в 5 раз большая: $ 5 \cdot \frac{1}{12} = \frac{5}{12} $.

• За 7 дней была убрана часть поля в 7 раз большая: $ 7 \cdot \frac{1}{12} = \frac{7}{12} $.

Ответ: за 1 день была убрана $ \frac{1}{12} $ часть поля, за 5 дней — $ \frac{5}{12} $, за 7 дней — $ \frac{7}{12} $.

624 Запишите ответ в виде дроби.

a) Какую часть часа составляет 1 мин? 17 мин? 43 мин?

б) Какую часть километра составляет 1 м? 89 м? 207 м?

в) Какую часть центнера составляет 1 кг? 3 кг? 99 кг?

а) Какую часть часа составляет 1 мин? 17 мин? 43 мин?
В одном часе содержится 60 минут. Чтобы выразить минуты в частях часа, нужно количество минут разделить на 60.
1 минута составляет $ \frac{1}{60} $ часа.
17 минут составляют $ \frac{17}{60} $ часа.
43 минуты составляют $ \frac{43}{60} $ часа.
Ответ: $ \frac{1}{60} $, $ \frac{17}{60} $, $ \frac{43}{60} $.

б) Какую часть километра составляет 1 м? 89 м? 207 м?
В одном километре содержится 1000 метров. Чтобы выразить метры в частях километра, нужно количество метров разделить на 1000.
1 метр составляет $ \frac{1}{1000} $ километра.
89 метров составляют $ \frac{89}{1000} $ километра.
207 метров составляют $ \frac{207}{1000} $ километра.
Ответ: $ \frac{1}{1000} $, $ \frac{89}{1000} $, $ \frac{207}{1000} $.

в) Какую часть центнера составляет 1 кг? 3 кг? 99 кг?
В одном центнере содержится 100 килограммов. Чтобы выразить килограммы в частях центнера, нужно количество килограммов разделить на 100.
1 килограмм составляет $ \frac{1}{100} $ центнера.
3 килограмма составляют $ \frac{3}{100} $ центнера.
99 килограммов составляют $ \frac{99}{100} $ центнера.
Ответ: $ \frac{1}{100} $, $ \frac{3}{100} $, $ \frac{99}{100} $.

625 Запишите ответ в виде дроби.

а) На столе лежат 8 мячей; 3 из них синие, остальные красные. Какую часть всех мячей составляют синие мячи? красные мячи?

б) У светофора остановились 10 автомашин: 2 грузовые, 5 легковых, остальные автобусы. Какую часть всех автомашин составляют грузовые автомашины? легковые автомашины? автобусы?

а) Всего на столе 8 мячей. Это общее количество, которое является знаменателем дроби для наших расчетов.
Количество синих мячей — 3. Чтобы найти, какую часть от всех мячей составляют синие, нужно составить дробь, где в числителе будет количество синих мячей, а в знаменателе — общее количество мячей.
Часть синих мячей: $3/8$.
Остальные мячи — красные. Сначала найдем их количество, вычтя из общего числа мячей количество синих:
$8 - 3 = 5$ (красных мячей).
Теперь найдем, какую часть от всех мячей составляют красные мячи.
Часть красных мячей: $5/8$.
Ответ: синие мячи составляют $3/8$ всех мячей, а красные — $5/8$.

б) Всего у светофора остановилось 10 автомашин. Это общее количество, которое будет знаменателем дроби.
Грузовых автомашин — 2. Часть, которую они составляют от всех автомашин, равна:
$2/10$
Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 2:
$2/10 = 1/5$
Легковых автомашин — 5. Часть, которую они составляют, равна:
$5/10$
Эту дробь можно сократить на 5:
$5/10 = 1/2$
Остальные автомашины — автобусы. Найдем их количество, вычтя из общего числа автомашин количество грузовых и легковых:
$10 - 2 - 5 = 3$ (автобуса).
Часть, которую составляют автобусы от всех автомашин, равна:
$3/10$
Эта дробь является несократимой.
Ответ: грузовые автомашины составляют $1/5$ всех автомашин, легковые — $1/2$, а автобусы — $3/10$.

РАССУЖДАЕМ (626–627)

626 а) В магазин привезли 200 лампочек, 5 из них оказались неисправными. Какую часть всех лампочек составляют исправные?

б) В книжном шкафу 300 книг, 78 из них учебники, 22 – словари, остальные – художественная литература. Какую часть всех книг составляет художественная литература?

Образец. а) Число исправных лампочек равно $200 - 5 = 195$. Всего имеется 200 лампочек, значит, одна лампочка – это одна двухсотая часть всех лампочек, а 195 лампочек – это $\frac{195}{200}$ всех лампочек.

а)

1. Сначала определим количество исправных лампочек. Для этого из общего количества лампочек (200) вычтем количество неисправных (5):
$200 - 5 = 195$ (исправных лампочек).

2. Чтобы найти, какую часть от всех лампочек составляют исправные, составим дробь: в числителе укажем количество исправных лампочек, а в знаменателе — их общее количество.
$ \frac{195}{200} $

Данную дробь можно сократить на 5, получив $ \frac{39}{40} $.

Ответ: $ \frac{195}{200} $.

б)

1. Сначала найдем количество книг художественной литературы. Для этого из общего количества книг в шкафу (300) вычтем количество учебников (78) и словарей (22):
$300 - (78 + 22) = 300 - 100 = 200$ (книг художественной литературы).

2. Теперь определим, какую часть от всех книг составляет художественная литература. Составим дробь: в числителе укажем количество книг художественной литературы, а в знаменателе — общее количество книг.
$ \frac{200}{300} $

Данную дробь можно сократить на 100, получив $ \frac{2}{3} $.

Ответ: $ \frac{200}{300} $.

627 Маша заполнила 9 страниц тетради, и в ней осталось 11 чистых страниц. Какую часть всех страниц составляют заполненные страницы? Какую часть всех страниц составляют чистые страницы?

б) Будильник показывает 7 ч утра. Какая часть суток прошла? Какую часть суток составляет оставшееся до конца суток время?

Для решения первой части задачи сначала найдем общее количество страниц в тетради. Для этого сложим количество заполненных и чистых страниц.
$9 + 11 = 20$ (страниц) - всего в тетради.

Какую часть всех страниц составляют заполненные страницы?
Чтобы найти, какую часть от общего числа страниц составляют заполненные, нужно разделить количество заполненных страниц на общее количество страниц.
Заполненные страницы составляют $\frac{9}{20}$ всех страниц.
Ответ: $\frac{9}{20}$

Какую часть всех страниц составляют чистые страницы?
Аналогично, чтобы найти, какую часть составляют чистые страницы, нужно разделить их количество на общее количество страниц.
Чистые страницы составляют $\frac{11}{20}$ всех страниц.
Ответ: $\frac{11}{20}$

б)
В сутках 24 часа. Время 7 часов утра означает, что с начала суток прошло 7 часов.

Какая часть суток прошла?
Чтобы найти, какая часть суток прошла, нужно разделить количество прошедших часов на общее количество часов в сутках.
Прошла $\frac{7}{24}$ часть суток.
Ответ: $\frac{7}{24}$

Какую часть суток составляет оставшееся до конца суток время?
Сначала найдем, сколько часов осталось до конца суток. Для этого вычтем из общего количества часов в сутках (24) количество прошедших часов.
$24 - 7 = 17$ (часов) - осталось до конца суток.
Теперь найдем, какую часть суток составляет это оставшееся время. Для этого разделим количество оставшихся часов на общее количество часов в сутках.
Оставшееся время составляет $\frac{17}{24}$ часть суток.
Ответ: $\frac{17}{24}$

628 Перерисуйте таблицу в тетрадь и запишите каждую из дробей

$ \frac{1}{2} $, $ \frac{2}{7} $, $ \frac{7}{2} $, $ \frac{4}{8} $, $ \frac{4}{3} $, $ \frac{2}{3} $, $ \frac{8}{9} $, $ \frac{9}{9} $, $ \frac{9}{8} $, $ \frac{2}{5} $, $ \frac{5}{4} $, $ \frac{4}{5} $, $ \frac{4}{4} $, $ \frac{10}{9} $

в соответствующую строку таблицы.

Правильные дроби

Неправильные дроби

Для того чтобы распределить дроби по категориям, необходимо определить, какие из них являются правильными, а какие — неправильными.

Правильная дробь — это обыкновенная дробь, у которой числитель (число, стоящее над чертой) меньше знаменателя (числа, стоящего под чертой). Такая дробь всегда меньше 1.

Неправильная дробь — это обыкновенная дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Такая дробь всегда больше или равна 1.

Проанализируем каждую дробь из предложенного списка: $\frac{1}{2}, \frac{2}{7}, \frac{7}{2}, \frac{4}{8}, \frac{4}{3}, \frac{2}{3}, \frac{8}{9}, \frac{9}{9}, \frac{9}{8}, \frac{2}{5}, \frac{5}{4}, \frac{4}{5}, \frac{4}{4}, \frac{10}{9}$.

Правильные дроби

Выбираем дроби, у которых числитель меньше знаменателя:

• $\frac{1}{2}$ (потому что $1 < 2$)
• $\frac{2}{7}$ (потому что $2 < 7$)
• $\frac{4}{8}$ (потому что $4 < 8$)
• $\frac{2}{3}$ (потому что $2 < 3$)
• $\frac{8}{9}$ (потому что $8 < 9$)
• $\frac{2}{5}$ (потому что $2 < 5$)
• $\frac{4}{5}$ (потому что $4 < 5$)

Ответ: $\frac{1}{2}, \frac{2}{7}, \frac{4}{8}, \frac{2}{3}, \frac{8}{9}, \frac{2}{5}, \frac{4}{5}$.

Неправильные дроби

Выбираем дроби, у которых числитель больше или равен знаменателю:

• $\frac{7}{2}$ (потому что $7 > 2$)
• $\frac{4}{3}$ (потому что $4 > 3$)
• $\frac{9}{9}$ (потому что $9 = 9$)
• $\frac{9}{8}$ (потому что $9 > 8$)
• $\frac{5}{4}$ (потому что $5 > 4$)
• $\frac{4}{4}$ (потому что $4 = 4$)
• $\frac{10}{9}$ (потому что $10 > 9$)

Ответ: $\frac{7}{2}, \frac{4}{3}, \frac{9}{9}, \frac{9}{8}, \frac{5}{4}, \frac{4}{4}, \frac{10}{9}$.