Страница 180 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Начертите отрезок, длина которого равна 12 клеткам. С помощью этого от-резка покажите, что:

а) $ \frac{3}{4} > \frac{1}{4} $;

б) $ \frac{5}{6} > \frac{3}{6} $;

в) $ \frac{5}{12} < \frac{7}{12} $.

Сравните дроби:

а) $ \frac{2}{5} $ и $ \frac{4}{5} $;

б) $ \frac{12}{17} $ и $ \frac{7}{17} $;

в) $ \frac{10}{13} $ и $ \frac{15}{13} $.

Как сравнивают дроби с разными знаменателями? Сравните $ \frac{7}{12} $ и $ \frac{3}{4} $.

Покажите разные способы сравнения дробей $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{2}{5} $.

Покажите с помощью координатной прямой, что $ \frac{3}{4} $ ближе к 1, чем $ \frac{2}{3} $. Какой доли «не хватает» до 1 дроби $ \frac{3}{4} $? дроби $ \frac{2}{3} $?

Начертим отрезок длиной 12 клеток. Будем считать его за единицу (целое).

• а) Чтобы найти $ \frac{1}{4} $ отрезка, разделим его длину на 4: $12 \div 4 = 3$ клетки. Чтобы найти $ \frac{3}{4} $ отрезка, нужно взять 3 такие части: $3 \times 3 = 9$ клеток. Так как отрезок в 9 клеток длиннее отрезка в 3 клетки, то $ \frac{3}{4} > \frac{1}{4} $.
• б) Чтобы найти $ \frac{1}{6} $ отрезка, разделим его длину на 6: $12 \div 6 = 2$ клетки. Тогда $ \frac{5}{6} $ отрезка — это $5 \times 2 = 10$ клеток, а $ \frac{3}{6} $ отрезка — это $3 \times 2 = 6$ клеток. Так как отрезок в 10 клеток длиннее отрезка в 6 клеток, то $ \frac{5}{6} > \frac{3}{6} $.
• в) Чтобы найти $ \frac{1}{12} $ отрезка, разделим его длину на 12: $12 \div 12 = 1$ клетка. Тогда $ \frac{5}{12} $ отрезка — это $5 \times 1 = 5$ клеток, а $ \frac{7}{12} $ отрезка — это $7 \times 1 = 7$ клеток. Так как отрезок в 5 клеток короче отрезка в 7 клеток, то $ \frac{5}{12} < \frac{7}{12} $.

Ответ: Наглядно показано с помощью отрезка.

При сравнении дробей с одинаковыми знаменателями большей является та дробь, у которой числитель больше.

• а) $ \frac{2}{5} $ и $ \frac{4}{5} $. Знаменатели одинаковы. Сравниваем числители: $ 2 < 4 $. Следовательно, $ \frac{2}{5} < \frac{4}{5} $.
• б) $ \frac{12}{17} $ и $ \frac{7}{17} $. Знаменатели одинаковы. Сравниваем числители: $ 12 > 7 $. Следовательно, $ \frac{12}{17} > \frac{7}{17} $.
• в) $ \frac{10}{13} $ и $ \frac{15}{13} $. Знаменатели одинаковы. Сравниваем числители: $ 10 < 15 $. Следовательно, $ \frac{10}{13} < \frac{15}{13} $.

Ответ: а) $ \frac{2}{5} < \frac{4}{5} $; б) $ \frac{12}{17} > \frac{7}{17} $; в) $ \frac{10}{13} < \frac{15}{13} $.

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю. Для этого находят наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Затем числитель и знаменатель каждой дроби умножают на дополнительный множитель (результат деления общего знаменателя на знаменатель данной дроби). После этого дроби сравнивают по числителям.

Сравним дроби $ \frac{7}{12} $ и $ \frac{3}{4} $.

Знаменатели 12 и 4. Наименьший общий знаменатель для них — 12, так как 12 делится на 4.

Первая дробь $ \frac{7}{12} $ уже имеет нужный знаменатель.

Для второй дроби $ \frac{3}{4} $ найдем дополнительный множитель: $12 \div 4 = 3$. Умножим числитель и знаменатель на 3: $ \frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12} $

Теперь сравним дроби с одинаковыми знаменателями: $ \frac{7}{12} $ и $ \frac{9}{12} $. Так как $ 7 < 9 $, то $ \frac{7}{12} < \frac{9}{12} $.

Следовательно, $ \frac{7}{12} < \frac{3}{4} $.

Ответ: Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, их приводят к общему знаменателю; $ \frac{7}{12} < \frac{3}{4} $.

Сравнить дроби $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{2}{5} $ можно несколькими способами.

• 1. Приведение к общему знаменателю.
  Найдем общий знаменатель для 4 и 5. Это $4 \times 5 = 20$.
  Приведем дроби к знаменателю 20:
  $ \frac{3}{4} = \frac{3 \times 5}{4 \times 5} = \frac{15}{20} $
  $ \frac{2}{5} = \frac{2 \times 4}{5 \times 4} = \frac{8}{20} $
  Сравниваем полученные дроби: так как $ 15 > 8 $, то $ \frac{15}{20} > \frac{8}{20} $, а значит $ \frac{3}{4} > \frac{2}{5} $.
• 2. Перекрестное умножение.
  Чтобы сравнить дроби $ \frac{a}{b} $ и $ \frac{c}{d} $, можно сравнить произведения $ a \times d $ и $ c \times b $.
  Для дробей $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{2}{5} $ сравним $ 3 \times 5 $ и $ 2 \times 4 $.
  $ 3 \times 5 = 15 $
  $ 2 \times 4 = 8 $
  Так как $ 15 > 8 $, то первая дробь больше: $ \frac{3}{4} > \frac{2}{5} $.
• 3. Преобразование в десятичные дроби.
  $ \frac{3}{4} = 0,75 $
  $ \frac{2}{5} = 0,4 $
  Так как $ 0,75 > 0,4 $, то $ \frac{3}{4} > \frac{2}{5} $.

Ответ: $ \frac{3}{4} > \frac{2}{5} $.

Чтобы показать на координатной прямой, какая дробь ближе к 1, найдем расстояние от каждой дроби до 1. Расстояние — это разность между 1 и дробью.

Найдем расстояние от $ \frac{3}{4} $ до 1: $1 - \frac{3}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} $.

Найдем расстояние от $ \frac{2}{3} $ до 1: $1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} $.

Теперь сравним эти расстояния: $ \frac{1}{4} $ и $ \frac{1}{3} $. Приведем их к общему знаменателю 12: $ \frac{1}{4} = \frac{3}{12} $ и $ \frac{1}{3} = \frac{4}{12} $.

Так как $ \frac{3}{12} < \frac{4}{12} $, то и $ \frac{1}{4} < \frac{1}{3} $.

Это означает, что расстояние от $ \frac{3}{4} $ до 1 меньше, чем расстояние от $ \frac{2}{3} $ до 1. Следовательно, на координатной прямой точка $ \frac{3}{4} $ находится ближе к 1.

Доли, которой «не хватает» до 1, — это и есть найденные нами расстояния.

• Дроби $ \frac{3}{4} $ не хватает до 1 доли, равной $ \frac{1}{4} $.
• Дроби $ \frac{2}{3} $ не хватает до 1 доли, равной $ \frac{1}{3} $.

Ответ: Дробь $ \frac{3}{4} $ ближе к 1, чем $ \frac{2}{3} $. Дроби $ \frac{3}{4} $ не хватает до 1 доли $ \frac{1}{4} $. Дроби $ \frac{2}{3} $ не хватает до 1 доли $ \frac{1}{3} $.