Страница 185 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

725 Начертите два угла с общей вершиной и общей стороной так, чтобы выполнились следующие условия:

a) $\angle AOB = 42^\circ$, $\angle BOC = 105^\circ$, $\angle AOC = 147^\circ$;

б) $\angle AOB = 55^\circ$, $\angle BOC = 80^\circ$, $\angle AOC = 25^\circ$.

а) Даны углы $ \angle AOB = 42^\circ $, $ \angle BOC = 105^\circ $ и $ \angle AOC = 147^\circ $. Эти углы имеют общую вершину О. Углы $ \angle AOB $ и $ \angle BOC $ имеют общую сторону OB. Чтобы понять, как начертить эти углы, нужно определить взаимное расположение лучей OA, OB и OC.

Согласно аксиоме измерения углов, если луч проходит между сторонами другого угла, то градусная мера этого угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается лучом. Проверим, выполняется ли это свойство для наших углов.

Вычислим сумму углов $ \angle AOB $ и $ \angle BOC $: $ \angle AOB + \angle BOC = 42^\circ + 105^\circ = 147^\circ $. Полученная сумма равна градусной мере угла $ \angle AOC $ ($ 147^\circ $). Так как $ \angle AOB + \angle BOC = \angle AOC $, это означает, что общая сторона OB проходит между сторонами угла $ \angle AOC $.

Чтобы начертить углы, нужно:
1. Построить луч OA.
2. С помощью транспортира отложить от луча OA угол $ \angle AOC $, равный $ 147^\circ $.
3. От луча OA внутри угла $ \angle AOC $ отложить угол $ \angle AOB $, равный $ 42^\circ $.
В результате луч OB разделит угол $ \angle AOC $ на два угла: $ \angle AOB = 42^\circ $ и $ \angle BOC = 147^\circ - 42^\circ = 105^\circ $, что соответствует условию.

Ответ: Для выполнения условия луч OB должен проходить между сторонами угла AOC.

б) Даны углы $ \angle AOB = 55^\circ $, $ \angle BOC = 80^\circ $ и $ \angle AOC = 25^\circ $. Эти углы имеют общую вершину О, а углы $ \angle AOB $ и $ \angle BOC $ имеют общую сторону OB. Определим взаимное расположение лучей.

Проверим, сумма каких двух углов равна третьему углу:

• $ \angle AOB + \angle BOC = 55^\circ + 80^\circ = 135^\circ \neq 25^\circ $ (не равно $ \angle AOC $)
• $ \angle BOC + \angle AOC = 80^\circ + 25^\circ = 105^\circ \neq 55^\circ $ (не равно $ \angle AOB $)
• $ \angle AOB + \angle AOC = 55^\circ + 25^\circ = 80^\circ $ (равно $ \angle BOC $)

Так как $ \angle AOB + \angle AOC = \angle BOC $, это означает, что луч OA проходит между сторонами угла $ \angle BOC $.

Чтобы начертить углы, нужно:
1. Построить луч OB.
2. С помощью транспортира отложить от луча OB угол $ \angle BOC $, равный $ 80^\circ $.
3. От луча OB внутри угла $ \angle BOC $ отложить угол $ \angle AOB $, равный $ 55^\circ $.
В результате луч OA разделит угол $ \angle BOC $ на два угла: $ \angle AOB = 55^\circ $ и $ \angle AOC = 80^\circ - 55^\circ = 25^\circ $, что соответствует условию.

Ответ: Для выполнения условия луч OA должен проходить между сторонами угла BOC.

726 Строим по алгоритму

1) Если у вас имеется нелинованная бумага и линейка, но нет угольника или транспортира, то вы можете построить прямоугольник, используя свойства его диагоналей: диагонали прямоугольника равны и точка пересечения диагоналей является серединой каждой из них.

• Начертим отрезок и отметим его середину (рис. 8.32, а).

• Проведём через отмеченную точку прямую и выделим на ней отрезок той же длины, что и первый, причём так, чтобы его середина совпала с серединой первого отрезка (рис. 8.32, б).

• Последовательно соединим концы отрезков (рис. 8.32, в). Полученный четырёхугольник – прямоугольник.

Рис. 8.32

2) Постройте прямоугольник описанным способом на листе нелинованной бумаги.

3) Постройте описанным способом прямоугольник, диагональ которого равна 5 см.

2) Постройте прямоугольник описанным способом на листе нелинованной бумаги.

Чтобы построить прямоугольник на нелинованной бумаге, имея только линейку, необходимо выполнить следующие действия, основанные на свойстве диагоналей прямоугольника (они равны и точкой пересечения делятся пополам):

1. Начертить произвольный отрезок, который будет служить первой диагональю. Обозначим его концы буквами A и C.
2. С помощью линейки измерить длину отрезка AC и найти его середину. Отметить эту точку, назовём её O.
3. Провести через точку O прямую. На этой прямой отложить от точки O в противоположные стороны два равных отрезка OB и OD так, чтобы общая длина отрезка BD была равна длине отрезка AC. Таким образом, точка O будет являться серединой и для отрезка BD.
4. Последовательно соединить отрезками вершины A, B, C и D.

Полученный четырёхугольник ABCD будет являться прямоугольником, так как его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.
Ответ: Прямоугольник построен в соответствии с алгоритмом, используя свойство равенства и деления пополам в точке пересечения его диагоналей.

3) Постройте описанным способом прямоугольник, диагональ которого равна 5 см.

Для построения прямоугольника с заданной длиной диагонали в 5 см, следуем тому же алгоритму с конкретными размерами:

1. С помощью линейки начертить отрезок AC длиной 5 см. Это будет первая диагональ.
2. Найти и отметить его середину — точку O. Она будет расположена на расстоянии $5 / 2 = 2,5$ см от каждого из концов отрезка (от A и от C).
3. Через точку O провести второй отрезок BD, также длиной 5 см, таким образом, чтобы O была его серединой. Для этого от точки O в противоположных направлениях отложить отрезки OB и OD, каждый длиной 2,5 см. Угол между диагоналями AC и BD можно выбрать произвольно.
4. Соединить последовательно точки A, B, C и D.

Полученный четырёхугольник ABCD — искомый прямоугольник, так как его диагонали AC и BD равны 5 см и в точке пересечения O делятся пополам.
Ответ: Построен прямоугольник, диагонали которого равны 5 см, путём построения двух равных отрезков по 5 см, пересекающихся в своих серединах.