Страница 191 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

8. Приведите дробь $ \frac{2}{3} $ к знаменателю:

а) 12;

б) 15;

в) 36.

Чтобы привести дробь к новому знаменателю, необходимо найти дополнительный множитель. Для этого новый знаменатель делится на исходный. Затем и числитель, и знаменатель исходной дроби умножаются на этот дополнительный множитель.

а) Приведение дроби $\frac{2}{3}$ к знаменателю 12.

1. Находим дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на старый: $12 \div 3 = 4$.

2. Умножаем числитель и знаменатель дроби $\frac{2}{3}$ на дополнительный множитель 4:

$\frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$

Ответ: $\frac{8}{12}$

б) Приведение дроби $\frac{2}{3}$ к знаменателю 15.

1. Находим дополнительный множитель: $15 \div 3 = 5$.

2. Умножаем числитель и знаменатель дроби $\frac{2}{3}$ на дополнительный множитель 5:

$\frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{10}{15}$

Ответ: $\frac{10}{15}$

в) Приведение дроби $\frac{2}{3}$ к знаменателю 36.

1. Находим дополнительный множитель: $36 \div 3 = 12$.

2. Умножаем числитель и знаменатель дроби $\frac{2}{3}$ на дополнительный множитель 12:

$\frac{2 \times 12}{3 \times 12} = \frac{24}{36}$

Ответ: $\frac{24}{36}$

9. Сократите дробь:

а) $ \frac{8}{10} $;

б) $ \frac{12}{48} $;

в) $ \frac{75}{100} $.

а) Чтобы сократить дробь, необходимо разделить ее числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД).
Для дроби $ \frac{8}{10} $ числитель равен 8, а знаменатель – 10. Оба числа являются четными, поэтому их можно разделить на 2.
$ \text{НОД}(8, 10) = 2 $
Разделим числитель и знаменатель на 2:
$ \frac{8}{10} = \frac{8 \div 2}{10 \div 2} = \frac{4}{5} $
Ответ: $ \frac{4}{5} $

б) Рассмотрим дробь $ \frac{12}{48} $. Найдем наибольший общий делитель для чисел 12 и 48.
Можно заметить, что знаменатель 48 делится на числитель 12 без остатка: $ 48 \div 12 = 4 $.
Следовательно, НОД(12, 48) = 12.
Разделим числитель и знаменатель на 12:
$ \frac{12}{48} = \frac{12 \div 12}{48 \div 12} = \frac{1}{4} $
Ответ: $ \frac{1}{4} $

в) Рассмотрим дробь $ \frac{75}{100} $. Найдем НОД для чисел 75 и 100.
Число 75 заканчивается на 5, а 100 – на 0, значит оба числа делятся на 5. Также можно увидеть, что оба числа делятся на 25.
$ 75 = 3 \times 25 $
$ 100 = 4 \times 25 $
Следовательно, НОД(75, 100) = 25.
Разделим числитель и знаменатель на 25:
$ \frac{75}{100} = \frac{75 \div 25}{100 \div 25} = \frac{3}{4} $
Ответ: $ \frac{3}{4} $

10. Приведите к общему знаменателю дроби:

а) $ \frac{3}{5} $ и $ \frac{2}{3} $;

б) $ \frac{1}{4} $ и $ \frac{7}{20} $;

в) $ \frac{5}{12} $ и $ \frac{3}{16} $.

а)

Чтобы привести дроби $\frac{3}{5}$ и $\frac{2}{3}$ к общему знаменателю, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей, то есть чисел 5 и 3.

Поскольку 5 и 3 являются простыми числами, их наименьшее общее кратное равно их произведению:

НОК(5, 3) = $5 \times 3 = 15$.

Общий знаменатель равен 15. Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби:

• Для дроби $\frac{3}{5}$ дополнительный множитель: $15 \div 5 = 3$.
• Для дроби $\frac{2}{3}$ дополнительный множитель: $15 \div 3 = 5$.

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель:

$\frac{3}{5} = \frac{3 \times 3}{5 \times 3} = \frac{9}{15}$

$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{10}{15}$

Ответ: $\frac{9}{15}$ и $\frac{10}{15}$.

б)

Чтобы привести дроби $\frac{1}{4}$ и $\frac{7}{20}$ к общему знаменателю, найдем НОК их знаменателей: 4 и 20.

Поскольку 20 делится на 4 без остатка ($20 \div 4 = 5$), то наименьшим общим кратным этих чисел является 20. Таким образом, общий знаменатель равен 20.

Дробь $\frac{7}{20}$ уже имеет нужный знаменатель. Для дроби $\frac{1}{4}$ найдем дополнительный множитель: $20 \div 4 = 5$.

Умножим числитель и знаменатель первой дроби на этот множитель:

$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 5}{4 \times 5} = \frac{5}{20}$

Вторая дробь остается без изменений: $\frac{7}{20}$.

Ответ: $\frac{5}{20}$ и $\frac{7}{20}$.

в)

Чтобы привести дроби $\frac{5}{12}$ и $\frac{3}{16}$ к общему знаменателю, найдем НОК их знаменателей: 12 и 16.

Для этого разложим числа 12 и 16 на простые множители:

$12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3$

$16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4$

НОК находится путем перемножения всех простых множителей в их наибольшей степени: $2^4 \times 3$.

НОК(12, 16) = $16 \times 3 = 48$.

Общий знаменатель равен 48. Найдем дополнительные множители:

• Для дроби $\frac{5}{12}$ дополнительный множитель: $48 \div 12 = 4$.
• Для дроби $\frac{3}{16}$ дополнительный множитель: $48 \div 16 = 3$.

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель:

$\frac{5}{12} = \frac{5 \times 4}{12 \times 4} = \frac{20}{48}$

$\frac{3}{16} = \frac{3 \times 3}{16 \times 3} = \frac{9}{48}$

Ответ: $\frac{20}{48}$ и $\frac{9}{48}$.

11. Сравните:

а) $ \frac{8}{17} $ и $ \frac{6}{17} $;

б) $ \frac{5}{8} $ и $ \frac{4}{7} $;

в) $ \frac{5}{8} $ и $ \frac{7}{10} $;

г) $ \frac{1}{10} $ и $ \frac{1}{100} $;

д) $ \frac{9}{10} $ и $ \frac{10}{9} $.

а) Чтобы сравнить дроби $\frac{8}{17}$ и $\frac{6}{17}$, нужно обратить внимание на их знаменатели. Так как знаменатели у дробей одинаковые (равны 17), то большей будет та дробь, у которой числитель больше. Сравниваем числители: $8 > 6$. Следовательно, $\frac{8}{17} > \frac{6}{17}$.
Ответ: $\frac{8}{17} > \frac{6}{17}$.

б) Чтобы сравнить дроби $\frac{5}{8}$ и $\frac{4}{7}$ с разными знаменателями, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 7 - это их произведение: $8 \times 7 = 56$.
Приведем первую дробь к знаменателю 56: $\frac{5}{8} = \frac{5 \times 7}{8 \times 7} = \frac{35}{56}$.
Приведем вторую дробь к знаменателю 56: $\frac{4}{7} = \frac{4 \times 8}{7 \times 8} = \frac{32}{56}$.
Теперь сравним полученные дроби: $\frac{35}{56}$ и $\frac{32}{56}$. Так как $35 > 32$, то $\frac{35}{56} > \frac{32}{56}$. Следовательно, $\frac{5}{8} > \frac{4}{7}$.
Ответ: $\frac{5}{8} > \frac{4}{7}$.

в) Чтобы сравнить дроби $\frac{5}{8}$ и $\frac{7}{10}$, приведем их к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 8 и 10. НОК(8, 10) = 40.
Приведем первую дробь к знаменателю 40: $\frac{5}{8} = \frac{5 \times 5}{8 \times 5} = \frac{25}{40}$.
Приведем вторую дробь к знаменателю 40: $\frac{7}{10} = \frac{7 \times 4}{10 \times 4} = \frac{28}{40}$.
Теперь сравним дроби $\frac{25}{40}$ и $\frac{28}{40}$. Так как $25 < 28$, то $\frac{25}{40} < \frac{28}{40}$. Следовательно, $\frac{5}{8} < \frac{7}{10}$.
Ответ: $\frac{5}{8} < \frac{7}{10}$.

г) Чтобы сравнить дроби $\frac{1}{10}$ и $\frac{1}{100}$, нужно обратить внимание на их числители. Так как числители у дробей одинаковые (равны 1), то большей будет та дробь, у которой знаменатель меньше. Сравниваем знаменатели: $10 < 100$. Следовательно, $\frac{1}{10} > \frac{1}{100}$.
Ответ: $\frac{1}{10} > \frac{1}{100}$.

д) Чтобы сравнить дроби $\frac{9}{10}$ и $\frac{10}{9}$, можно сравнить их с единицей.
Дробь $\frac{9}{10}$ - правильная, так как ее числитель (9) меньше знаменателя (10). Поэтому $\frac{9}{10} < 1$.
Дробь $\frac{10}{9}$ - неправильная, так как ее числитель (10) больше знаменателя (9). Поэтому $\frac{10}{9} > 1$.
Так как $\frac{9}{10} < 1$, а $\frac{10}{9} > 1$, то очевидно, что $\frac{9}{10} < \frac{10}{9}$.
Ответ: $\frac{9}{10} < \frac{10}{9}$.

12. Выразите в метрах: 23 см; 50 см; 75 см.

Для того чтобы выразить сантиметры (см) в метрах (м), необходимо использовать соотношение: $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$. Это означает, что для перевода сантиметров в метры нужно разделить их количество на 100.

23 см
Чтобы перевести 23 сантиметра в метры, выполним деление на 100:
$23 \text{ см} = 23 \div 100 \text{ м} = 0.23 \text{ м}$
Ответ: 0.23 м

50 см
Чтобы перевести 50 сантиметров в метры, разделим 50 на 100:
$50 \text{ см} = \frac{50}{100} \text{ м} = 0.5 \text{ м}$
Ответ: 0.5 м

75 см
Чтобы перевести 75 сантиметров в метры, разделим 75 на 100:
$75 \text{ см} = \frac{75}{100} \text{ м} = 0.75 \text{ м}$
Ответ: 0.75 м

13. Выразите в часах: $ \frac{29}{60} $ ч; $ \frac{30}{60} $ ч; $ \frac{48}{60} $ ч.

Чтобы выразить минуты в часах, необходимо разделить количество минут на 60, так как в одном часе содержится 60 минут.

29 мин

Для перевода 29 минут в часы, разделим 29 на 60:

$$29 \text{ мин} = \frac{29}{60} \text{ ч}$$

Эта дробь является несократимой, поскольку число 29 — простое, а 60 на 29 без остатка не делится.

Ответ: $\frac{29}{60}$ ч

30 мин

Для перевода 30 минут в часы, разделим 30 на 60:

$$30 \text{ мин} = \frac{30}{60} \text{ ч}$$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 30:

$$\frac{30}{60} = \frac{30 \div 30}{60 \div 30} = \frac{1}{2} \text{ ч}$$

Это значение также можно выразить десятичной дробью как 0,5 часа.

Ответ: $\frac{1}{2}$ ч

48 мин

Для перевода 48 минут в часы, разделим 48 на 60:

$$48 \text{ мин} = \frac{48}{60} \text{ ч}$$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для чисел 48 и 60 равен 12. Разделим числитель и знаменатель на 12:

$$\frac{48}{60} = \frac{48 \div 12}{60 \div 12} = \frac{4}{5} \text{ ч}$$

Это значение также можно выразить десятичной дробью как 0,8 часа.

Ответ: $\frac{4}{5}$ ч

14. Представьте число 10 в виде дроби со знаменателем 1; 5; 8.

Чтобы представить целое число в виде дроби с определенным знаменателем, нужно это число умножить на этот знаменатель, а результат записать в числитель новой дроби. Исходный знаменатель остается без изменений.

Общая формула выглядит так: если нужно представить число $A$ в виде дроби со знаменателем $n$, то получим дробь $\frac{A \times n}{n}$.

В данном случае нам нужно представить число 10 со знаменателями 1, 5 и 8.

1

Представим число 10 в виде дроби со знаменателем 1. Для этого найдем числитель, умножив 10 на 1:

$10 \times 1 = 10$

Таким образом, число 10 можно представить в виде дроби $\frac{10}{1}$.

Проверка: $10 \div 1 = 10$.

Ответ: $\frac{10}{1}$

5

Представим число 10 в виде дроби со знаменателем 5. Для этого найдем числитель, умножив 10 на 5:

$10 \times 5 = 50$

Таким образом, число 10 можно представить в виде дроби $\frac{50}{5}$.

Проверка: $50 \div 5 = 10$.

Ответ: $\frac{50}{5}$

8

Представим число 10 в виде дроби со знаменателем 8. Для этого найдем числитель, умножив 10 на 8:

$10 \times 8 = 80$

Таким образом, число 10 можно представить в виде дроби $\frac{80}{8}$.

Проверка: $80 \div 8 = 10$.

Ответ: $\frac{80}{8}$

15. Найдите частное:

а) $3:5$;

б) $20:25$.

а) Чтобы найти частное, нужно выполнить операцию деления. Частное от деления 3 на 5 можно представить в виде обыкновенной дроби:

$3 : 5 = \frac{3}{5}$

Для того чтобы перевести эту дробь в десятичную, можно домножить числитель и знаменатель на 2, чтобы в знаменателе получилось 10:

$\frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{6}{10} = 0,6$

Таким образом, частное от деления 3 на 5 равно 0,6.

Ответ: 0,6

б) Найдем частное от деления 20 на 25. Запишем это в виде дроби:

$20 : 25 = \frac{20}{25}$

Эту дробь можно сократить, так как и числитель, и знаменатель делятся на 5. Разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 5:

$\frac{20 \div 5}{25 \div 5} = \frac{4}{5}$

Теперь преобразуем полученную дробь в десятичную. Домножим числитель и знаменатель на 2:

$\frac{4 \times 2}{5 \times 2} = \frac{8}{10} = 0,8$

Таким образом, частное от деления 20 на 25 равно 0,8.

Ответ: 0,8

16. Масса восьми одинаковых пачек печенья равна 2 кг. Чему равна масса одной пачки печенья?

Чтобы найти массу одной пачки печенья, необходимо общую массу всех пачек разделить на их количество.
По условию задачи, масса восьми одинаковых пачек равна 2 кг.
Для удобства вычислений переведем общую массу из килограммов в граммы. В одном килограмме содержится 1000 граммов, следовательно:
$2 \text{ кг} = 2 \times 1000 \text{ г} = 2000 \text{ г}$.
Теперь разделим общую массу в граммах на количество пачек:
$\frac{2000 \text{ г}}{8} = 250 \text{ г}$.
Таким образом, масса одной пачки печенья составляет 250 граммов. Этот же результат можно получить, выполнив деление в килограммах: $\frac{2 \text{ кг}}{8} = 0.25 \text{ кг}$.
Ответ: 250 г.