Страница 196 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

761 Вычислите сумму:

а) $\frac{11}{30} + \frac{7}{12};$

б) $\frac{1}{27} + \frac{5}{18};$

в) $\frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15};$

г) $\frac{3}{7} + \frac{1}{6} + \frac{5}{14};$

д) $\frac{5}{12} + \frac{2}{9} + \frac{1}{18};$

е) $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9}.$

а) $\frac{11}{30} + \frac{7}{12}$

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 30 и 12.

Разложим знаменатели на простые множители:
$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
НОК(30, 12) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

Теперь приведем дроби к знаменателю 60. Для первой дроби дополнительный множитель $60 / 30 = 2$. Для второй дроби – $60 / 12 = 5$.

$\frac{11}{30} + \frac{7}{12} = \frac{11 \cdot 2}{30 \cdot 2} + \frac{7 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{22}{60} + \frac{35}{60}$

Сложим дроби с одинаковыми знаменателями:
$\frac{22}{60} + \frac{35}{60} = \frac{22 + 35}{60} = \frac{57}{60}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель (НОД) чисел 57 и 60 равен 3.
$\frac{57}{60} = \frac{57 \div 3}{60 \div 3} = \frac{19}{20}$

Ответ: $\frac{19}{20}$

б) $\frac{1}{27} + \frac{5}{18}$

Найдем НОК знаменателей 27 и 18.
$27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$
$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$
НОК(27, 18) = $2 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54$.

Приведем дроби к общему знаменателю 54.
Дополнительный множитель для $\frac{1}{27}$ равен $54 / 27 = 2$.
Дополнительный множитель для $\frac{5}{18}$ равен $54 / 18 = 3$.

$\frac{1 \cdot 2}{27 \cdot 2} + \frac{5 \cdot 3}{18 \cdot 3} = \frac{2}{54} + \frac{15}{54} = \frac{2 + 15}{54} = \frac{17}{54}$

Дробь $\frac{17}{54}$ несократима, так как 17 – простое число, а 54 на 17 не делится.

Ответ: $\frac{17}{54}$

в) $\frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15}$

Найдем НОК знаменателей 6, 10 и 15.
$6 = 2 \cdot 3$
$10 = 2 \cdot 5$
$15 = 3 \cdot 5$
НОК(6, 10, 15) = $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.

Приведем дроби к знаменателю 30.
$\frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 3}{10 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{5}{30} + \frac{3}{30} + \frac{2}{30}$

Сложим числители:
$\frac{5 + 3 + 2}{30} = \frac{10}{30}$

Сократим дробь:
$\frac{10}{30} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

г) $\frac{3}{7} + \frac{1}{6} + \frac{5}{14}$

Найдем НОК знаменателей 7, 6 и 14.
$7 = 7$
$6 = 2 \cdot 3$
$14 = 2 \cdot 7$
НОК(7, 6, 14) = $2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$.

Приведем дроби к знаменателю 42.
$\frac{3 \cdot 6}{7 \cdot 6} + \frac{1 \cdot 7}{6 \cdot 7} + \frac{5 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{18}{42} + \frac{7}{42} + \frac{15}{42}$

Сложим числители:
$\frac{18 + 7 + 15}{42} = \frac{40}{42}$

Сократим дробь на 2:
$\frac{40 \div 2}{42 \div 2} = \frac{20}{21}$

Ответ: $\frac{20}{21}$

д) $\frac{5}{12} + \frac{2}{9} + \frac{1}{18}$

Найдем НОК знаменателей 12, 9 и 18.
$12 = 2^2 \cdot 3$
$9 = 3^2$
$18 = 2 \cdot 3^2$
НОК(12, 9, 18) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Приведем дроби к знаменателю 36.
$\frac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 4}{9 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{15}{36} + \frac{8}{36} + \frac{2}{36}$

Сложим числители:
$\frac{15 + 8 + 2}{36} = \frac{25}{36}$

Дробь $\frac{25}{36}$ несократима, так как НОД(25, 36) = 1.

Ответ: $\frac{25}{36}$

е) $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9}$

Найдем НОК знаменателей 2, 3 и 9.
$2 = 2$
$3 = 3$
$9 = 3^2$
НОК(2, 3, 9) = $2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$.

Приведем дроби к знаменателю 18.
$\frac{1 \cdot 9}{2 \cdot 9} + \frac{1 \cdot 6}{3 \cdot 6} + \frac{1 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{9}{18} + \frac{6}{18} + \frac{2}{18}$

Сложим числители:
$\frac{9 + 6 + 2}{18} = \frac{17}{18}$

Дробь $\frac{17}{18}$ несократима, так как 17 – простое число, а 18 на 17 не делится.

Ответ: $\frac{17}{18}$

762 Вычислите наиболее рациональным способом:

a) $\frac{1}{11} + \frac{1}{5} + \frac{4}{11} + \frac{4}{5} + \frac{6}{11}$;

б) $\frac{1}{15} + \frac{4}{15} + \frac{1}{18} + \frac{5}{18} + \frac{2}{21} + \frac{5}{21} + \frac{1}{24} + \frac{7}{24}$.

a) Чтобы вычислить значение выражения наиболее рациональным способом, сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями. Это возможно благодаря переместительному и сочетательному свойствам сложения.

Исходное выражение: $ \frac{1}{11} + \frac{1}{5} + \frac{4}{11} + \frac{4}{5} + \frac{6}{11} $

Группируем дроби:

$ (\frac{1}{11} + \frac{4}{11} + \frac{6}{11}) + (\frac{1}{5} + \frac{4}{5}) $

Складываем дроби в каждой группе:

$ \frac{1+4+6}{11} + \frac{1+4}{5} = \frac{11}{11} + \frac{5}{5} $

Так как $ \frac{11}{11} = 1 $ и $ \frac{5}{5} = 1 $, получаем:

$ 1 + 1 = 2 $

Ответ: 2

б) Аналогично предыдущему пункту, сгруппируем слагаемые, имеющие одинаковые знаменатели, чтобы упростить вычисления.

Исходное выражение: $ \frac{1}{15} + \frac{4}{15} + \frac{1}{18} + \frac{5}{18} + \frac{2}{21} + \frac{5}{21} + \frac{1}{24} + \frac{7}{24} $

Группируем дроби:

$ (\frac{1}{15} + \frac{4}{15}) + (\frac{1}{18} + \frac{5}{18}) + (\frac{2}{21} + \frac{5}{21}) + (\frac{1}{24} + \frac{7}{24}) $

Выполняем сложение в каждой скобке:

$ \frac{1+4}{15} + \frac{1+5}{18} + \frac{2+5}{21} + \frac{1+7}{24} = \frac{5}{15} + \frac{6}{18} + \frac{7}{21} + \frac{8}{24} $

Теперь сократим каждую из полученных дробей:

$ \frac{5}{15} = \frac{1}{3}; \quad \frac{6}{18} = \frac{1}{3}; \quad \frac{7}{21} = \frac{1}{3}; \quad \frac{8}{24} = \frac{1}{3} $

Сумма принимает вид:

$ \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 4 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{3} $

Выделим целую часть из неправильной дроби:

$ \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} $

Ответ: $1\frac{1}{3}$

763 Найдите значение выражения:

а) $\frac{7}{20} - \left(\frac{9}{35} - \frac{3}{28}\right)$;

б) $\left(\frac{21}{22} - \frac{5}{11}\right) - \left(\frac{22}{39} - \frac{3}{13}\right).$

а) $\frac{7}{20} - (\frac{9}{35} - \frac{3}{28})$

Сначала выполним действие в скобках. Для этого приведем дроби $\frac{9}{35}$ и $\frac{3}{28}$ к общему знаменателю.

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 35 и 28.

Разложим числа на простые множители:

$35 = 5 \cdot 7$

$28 = 2^2 \cdot 7$

НОК(35, 28) = $2^2 \cdot 5 \cdot 7 = 4 \cdot 5 \cdot 7 = 140$.

Приведем дроби к знаменателю 140:

$\frac{9}{35} - \frac{3}{28} = \frac{9 \cdot 4}{35 \cdot 4} - \frac{3 \cdot 5}{28 \cdot 5} = \frac{36}{140} - \frac{15}{140} = \frac{36 - 15}{140} = \frac{21}{140}$.

Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 7:

$\frac{21}{140} = \frac{21 \div 7}{140 \div 7} = \frac{3}{20}$.

Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:

$\frac{7}{20} - \frac{3}{20} = \frac{7 - 3}{20} = \frac{4}{20}$.

Сократим итоговую дробь. Числитель и знаменатель делятся на 4:

$\frac{4}{20} = \frac{4 \div 4}{20 \div 4} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

б) $(\frac{21}{22} - \frac{5}{11}) - (\frac{22}{39} - \frac{3}{13})$

Решим выражение по частям, сначала вычислим значения в каждой из скобок.

1. Вычислим значение в первой скобке: $\frac{21}{22} - \frac{5}{11}$.

Общий знаменатель для 22 и 11 равен 22.

$\frac{21}{22} - \frac{5 \cdot 2}{11 \cdot 2} = \frac{21}{22} - \frac{10}{22} = \frac{21 - 10}{22} = \frac{11}{22}$.

Сократим дробь: $\frac{11}{22} = \frac{1}{2}$.

2. Вычислим значение во второй скобке: $\frac{22}{39} - \frac{3}{13}$.

Общий знаменатель для 39 и 13 равен 39.

$\frac{22}{39} - \frac{3 \cdot 3}{13 \cdot 3} = \frac{22}{39} - \frac{9}{39} = \frac{22 - 9}{39} = \frac{13}{39}$.

Сократим дробь: $\frac{13}{39} = \frac{1}{3}$.

3. Теперь вычтем результат второго действия из результата первого:

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$.

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен НОК(2, 3) = 6.

$\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3 - 2}{6} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

764 РАССУЖДАЕМ Не выполняя сложения, сравните с числом 1 сумму:

a) $\frac{7}{8} + \frac{1}{6}$;

б) $\frac{24}{25} + \frac{1}{4}$;

в) $\frac{9}{10} + \frac{1}{100}$;

г) $\frac{13}{14} + \frac{1}{15}$.

Образец. Сравним с 1 сумму $\frac{8}{9} + \frac{1}{7}$.

Если к $\frac{8}{9}$ прибавить $\frac{1}{9}$, то получится 1.

Но $\frac{1}{7} > \frac{1}{9}$, поэтому $\frac{8}{9} + \frac{1}{7} > 1$.

а) Чтобы сравнить сумму $ \frac{7}{8} + \frac{1}{6} $ с 1, рассуждаем следующим образом. Чтобы к дроби $ \frac{7}{8} $ прибавить число и получить 1, нужно прибавить $ 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8} $. В задании мы прибавляем $ \frac{1}{6} $. Теперь сравним дроби $ \frac{1}{6} $ и $ \frac{1}{8} $. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $ 6 < 8 $, то $ \frac{1}{6} > \frac{1}{8} $. Это значит, что мы прибавляем к $ \frac{7}{8} $ число, которое больше, чем необходимо для получения 1. Следовательно, итоговая сумма будет больше 1.
Ответ: $ \frac{7}{8} + \frac{1}{6} > 1 $

б) Сравним сумму $ \frac{24}{25} + \frac{1}{4} $ с 1. Найдем, какое число нужно прибавить к $ \frac{24}{25} $, чтобы получить 1: $ 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25} $. По условию мы прибавляем $ \frac{1}{4} $. Сравним $ \frac{1}{4} $ и $ \frac{1}{25} $. Поскольку знаменатель 4 меньше знаменателя 25, то $ \frac{1}{4} > \frac{1}{25} $. Мы прибавляем число, которое больше, чем нужно, чтобы получить 1. Значит, сумма будет больше 1.
Ответ: $ \frac{24}{25} + \frac{1}{4} > 1 $

в) Сравним сумму $ \frac{9}{10} + \frac{1}{100} $ с 1. Чтобы из дроби $ \frac{9}{10} $ получить 1, необходимо прибавить $ 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10} $. В задании мы прибавляем $ \frac{1}{100} $. Сравним дроби $ \frac{1}{100} $ и $ \frac{1}{10} $. У них одинаковые числители, но разные знаменатели. Так как $ 100 > 10 $, то $ \frac{1}{100} < \frac{1}{10} $. Это означает, что мы прибавляем к $ \frac{9}{10} $ число, которое меньше, чем необходимо для получения 1. Следовательно, сумма будет меньше 1.
Ответ: $ \frac{9}{10} + \frac{1}{100} < 1 $

г) Сравним сумму $ \frac{13}{14} + \frac{1}{15} $ с 1. Определим, сколько не хватает дроби $ \frac{13}{14} $ до 1: $ 1 - \frac{13}{14} = \frac{1}{14} $. В задании к дроби прибавляется $ \frac{1}{15} $. Сравним $ \frac{1}{15} $ и $ \frac{1}{14} $. Поскольку знаменатель 15 больше знаменателя 14, то дробь $ \frac{1}{15} $ будет меньше дроби $ \frac{1}{14} $. Мы прибавляем число меньшее, чем необходимо для получения 1, поэтому итоговая сумма будет меньше 1.
Ответ: $ \frac{13}{14} + \frac{1}{15} < 1 $

765 ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ Даны выражения

$\frac{1}{2^2 - 1}$; $\frac{1}{2^2 - 1} + \frac{1}{4^2 - 1}$; $\frac{1}{2^2 - 1} + \frac{1}{4^2 - 1} + \frac{1}{6^2 - 1}$.

1) Вычислите значение каждого из выражений.

2) Подметьте закономерность, по которой составляют данные выражения, и запишите следующее выражение. Догадайтесь, не вычисляя, чему равно его значение. Проверьте себя с помощью вычислений.

1) Вычислите значение каждого из выражений.

Вычислим значение первого выражения:

$\frac{1}{2^2 - 1} = \frac{1}{4 - 1} = \frac{1}{3}$

Вычислим значение второго выражения:

$\frac{1}{2^2 - 1} + \frac{1}{4^2 - 1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{16 - 1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{15} = \frac{5}{15} + \frac{1}{15} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$

Вычислим значение третьего выражения, используя результат для второго:

$(\frac{1}{2^2 - 1} + \frac{1}{4^2 - 1}) + \frac{1}{6^2 - 1} = \frac{2}{5} + \frac{1}{36 - 1} = \frac{2}{5} + \frac{1}{35} = \frac{14}{35} + \frac{1}{35} = \frac{15}{35} = \frac{3}{7}$

Ответ: Значения выражений равны $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{5}$ и $\frac{3}{7}$ соответственно.

2) Подметьте закономерность, по которой составляют данные выражения, и запишите следующее выражение. Догадайтесь, не вычисляя, чему равно его значение. Проверьте себя с помощью вычислений.

Закономерность заключается в том, что каждое следующее выражение получается путем добавления к предыдущему слагаемого вида $\frac{1}{(2n)^2 - 1}$, где $n$ — это номер слагаемого по порядку. Основания степеней в знаменателях представляют собой последовательные четные числа: 2, 4, 6, ...

Следуя этой закономерности, четвертое выражение будет содержать четыре слагаемых, где последнее будет иметь в знаменателе $8^2 - 1$. Следующее выражение:

$\frac{1}{2^2 - 1} + \frac{1}{4^2 - 1} + \frac{1}{6^2 - 1} + \frac{1}{8^2 - 1}$

Теперь проанализируем результаты вычислений из пункта 1:

• Сумма первого слагаемого: $\frac{1}{3}$
• Сумма двух слагаемых: $\frac{2}{5}$
• Сумма трех слагаемых: $\frac{3}{7}$

Можно заметить, что результат суммы $n$ слагаемых можно представить в виде дроби $\frac{n}{2n+1}$.

Исходя из этой догадки, значение четвертого выражения (где $n=4$) должно быть равно:

$\frac{4}{2 \cdot 4 + 1} = \frac{4}{9}$

Теперь проверим наше предположение вычислением. Для этого к значению третьего выражения ($\frac{3}{7}$) прибавим четвертое слагаемое:

$\frac{3}{7} + \frac{1}{8^2 - 1} = \frac{3}{7} + \frac{1}{64 - 1} = \frac{3}{7} + \frac{1}{63}$

Приведем дроби к общему знаменателю 63:

$\frac{3 \cdot 9}{7 \cdot 9} + \frac{1}{63} = \frac{27}{63} + \frac{1}{63} = \frac{28}{63}$

Сократим полученную дробь на 7:

$\frac{28 \div 7}{63 \div 7} = \frac{4}{9}$

Результат вычислений совпал с нашей догадкой.

Ответ: Следующее выражение: $\frac{1}{2^2 - 1} + \frac{1}{4^2 - 1} + \frac{1}{6^2 - 1} + \frac{1}{8^2 - 1}$. Его значение равно $\frac{4}{9}$.

766 Таня, Наташа и Алёша упаковывают подарки. Таня может выполнить всю работу за 20 мин, если будет работать одна, Наташа — за 15 мин, а Алёша — за 12 мин. Какую часть работы выполнят они за 1 мин, работая вместе? Упакуют ли они половину всех подарков за 2 мин?

Для решения задачи сначала определим производительность каждого человека, то есть какую часть работы он выполняет за 1 минуту. Всю работу примем за 1.

• Производительность Тани: $1 \div 20 = \frac{1}{20}$ часть работы в минуту.
• Производительность Наташи: $1 \div 15 = \frac{1}{15}$ часть работы в минуту.
• Производительность Алёши: $1 \div 12 = \frac{1}{12}$ часть работы в минуту.

Какую часть работы выполнят они за 1 мин, работая вместе?

Чтобы найти, какую часть работы они выполнят вместе за 1 минуту, нужно сложить их производительности. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 20, 15 и 12 равен 60.

$\frac{1}{20} + \frac{1}{15} + \frac{1}{12} = \frac{1 \times 3}{20 \times 3} + \frac{1 \times 4}{15 \times 4} + \frac{1 \times 5}{12 \times 5} = \frac{3}{60} + \frac{4}{60} + \frac{5}{60} = \frac{3+4+5}{60} = \frac{12}{60}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{12}{60} = \frac{1}{5}$

Работая вместе, за 1 минуту они выполнят $\frac{1}{5}$ всей работы.

Ответ: $\frac{1}{5}$ часть работы.

Упакуют ли они половину всех подарков за 2 мин?

Мы знаем, что за 1 минуту они вместе выполняют $\frac{1}{5}$ работы. Чтобы узнать, какую часть работы они выполнят за 2 минуты, нужно их совместную производительность умножить на время:

$\frac{1}{5} \times 2 = \frac{2}{5}$

Теперь нужно сравнить выполненную часть работы ($\frac{2}{5}$) с половиной всей работы ($\frac{1}{2}$). Приведем дроби к общему знаменателю 10:

$\frac{2}{5} = \frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10}$

$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10}$

Сравниваем полученные дроби:

$\frac{4}{10} < \frac{5}{10}$, следовательно, $\frac{2}{5} < \frac{1}{2}$.

За 2 минуты они упакуют меньше половины всех подарков.

Ответ: нет, не упакуют.