Страница 195 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

752 ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ

1) Вычислите значение каждого из выражений:

$\frac{1}{2} - \frac{1}{4}$, $\frac{1}{3} - \frac{1}{6}$, $\frac{1}{4} - \frac{1}{8}$.

2) Продолжите цепочку разностей, записав ещё три выражения. Вычислите значение каждого из них.

3) Какая разность стоит в этой цепочке на 10-м месте? Чему равно её значение?

1) Вычислим значение каждого из представленных выражений, приводя дроби к общему знаменателю.
$ \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} $
$ \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6} $
$ \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8} = \frac{2}{8} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8} $
Ответ: $ \frac{1}{4}; \frac{1}{6}; \frac{1}{8} $.

2) Заметим закономерность: каждое выражение имеет вид $ \frac{1}{n} - \frac{1}{2n} $, где знаменатель первой дроби $n$ последовательно увеличивается на 1, начиная с $n=2$. Значение такого выражения всегда равно $ \frac{1}{2n} $.
Для продолжения цепочки возьмем следующие три натуральных числа для $n$: 5, 6 и 7.
Следующие три выражения и их значения:
$ \frac{1}{5} - \frac{1}{10} = \frac{2}{10} - \frac{1}{10} = \frac{1}{10} $
$ \frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{2}{12} - \frac{1}{12} = \frac{1}{12} $
$ \frac{1}{7} - \frac{1}{14} = \frac{2}{14} - \frac{1}{14} = \frac{1}{14} $
Ответ: Следующие три выражения в цепочке: $ \frac{1}{5} - \frac{1}{10} $; $ \frac{1}{6} - \frac{1}{12} $; $ \frac{1}{7} - \frac{1}{14} $. Их значения равны $ \frac{1}{10} $, $ \frac{1}{12} $ и $ \frac{1}{14} $ соответственно.

3) В нашей последовательности выражений вида $ \frac{1}{n} - \frac{1}{2n} $ номер члена последовательности ($k$) связан со знаменателем $n$ как $n = k + 1$.
Для 1-го члена ($k=1$), $n=2$.
Для 2-го члена ($k=2$), $n=3$.
Соответственно, для 10-го члена ($k=10$) знаменатель $n$ будет равен $10 + 1 = 11$.
Таким образом, разность, стоящая на 10-м месте, это $ \frac{1}{11} - \frac{1}{2 \cdot 11} $, то есть $ \frac{1}{11} - \frac{1}{22} $.
Ее значение можно найти по формуле $ \frac{1}{2n} $ или прямым вычислением:
$ \frac{1}{11} - \frac{1}{22} = \frac{2}{22} - \frac{1}{22} = \frac{1}{22} $
Ответ: На 10-м месте стоит разность $ \frac{1}{11} - \frac{1}{22} $, и её значение равно $ \frac{1}{22} $.

РАССУЖДАЕМ (753–754)

753. Какое из чисел больше и на сколько:

а) $ \frac{19}{45} $ или $ \frac{7}{15} $;

б) $ \frac{7}{10} $ или $ \frac{7}{15} $?

а)

Чтобы сравнить дроби $\frac{19}{45}$ и $\frac{7}{15}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 45 и 15 является 45, так как 45 делится на 15 без остатка ($45 = 15 \times 3$).

Дробь $\frac{19}{45}$ уже имеет нужный знаменатель.

Приведем дробь $\frac{7}{15}$ к знаменателю 45. для этого умножим ее числитель и знаменатель на 3:

$\frac{7}{15} = \frac{7 \times 3}{15 \times 3} = \frac{21}{45}$

Теперь сравним полученные дроби: $\frac{19}{45}$ и $\frac{21}{45}$.

Так как знаменатели у дробей одинаковы, больше та дробь, у которой больше числитель. Поскольку $19 < 21$, то $\frac{19}{45} < \frac{21}{45}$.

Следовательно, $\frac{7}{15}$ больше, чем $\frac{19}{45}$.

Чтобы найти, на сколько одно число больше другого, нужно из большего числа вычесть меньшее:

$\frac{7}{15} - \frac{19}{45} = \frac{21}{45} - \frac{19}{45} = \frac{21 - 19}{45} = \frac{2}{45}$

Ответ: число $\frac{7}{15}$ больше числа $\frac{19}{45}$ на $\frac{2}{45}$.

б)

Чтобы сравнить дроби $\frac{7}{10}$ и $\frac{7}{15}$, можно воспользоваться правилом сравнения дробей с одинаковыми числителями. Из двух дробей с одинаковыми положительными числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

Сравниваем знаменатели: $10 < 15$.

Следовательно, $\frac{7}{10} > \frac{7}{15}$.

Чтобы найти, на сколько одно число больше другого, нужно из большего числа вычесть меньшее. для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для 10 и 15 является 30 ($10 \times 3 = 30$; $15 \times 2 = 30$).

Приведем дроби к знаменателю 30:

$\frac{7}{10} = \frac{7 \times 3}{10 \times 3} = \frac{21}{30}$

$\frac{7}{15} = \frac{7 \times 2}{15 \times 2} = \frac{14}{30}$

Теперь выполним вычитание:

$\frac{21}{30} - \frac{14}{30} = \frac{21 - 14}{30} = \frac{7}{30}$

Ответ: число $\frac{7}{10}$ больше числа $\frac{7}{15}$ на $\frac{7}{30}$.

754 Не выполняя сложения, сравните:

а) $\frac{2}{3} + \frac{1}{5}$ и $\frac{2}{3} + \frac{1}{6}$;

б) $\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}$ и $\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7}$.

а) Чтобы сравнить две суммы $\frac{2}{3} + \frac{1}{5}$ и $\frac{2}{3} + \frac{1}{6}$, не выполняя сложения, заметим, что у них есть общее слагаемое $\frac{2}{3}$. Это значит, что результат сравнения зависит от вторых слагаемых в каждой сумме: $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{6}$.

Сравним дроби $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{6}$. Это дроби с одинаковыми числителями. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

Так как знаменатель $5$ меньше знаменателя $6$ ($5 < 6$), то дробь $\frac{1}{5}$ больше дроби $\frac{1}{6}$.

$\frac{1}{5} > \frac{1}{6}$

Поскольку к большему числу ($\frac{1}{5}$) прибавляется то же самое число ($\frac{2}{3}$), что и к меньшему числу ($\frac{1}{6}$), то и первая сумма будет больше второй.

Следовательно, $\frac{2}{3} + \frac{1}{5} > \frac{2}{3} + \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{2}{3} + \frac{1}{5} > \frac{2}{3} + \frac{1}{6}$.

б) Чтобы сравнить две суммы $\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}$ и $\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7}$, заметим, что у них есть общая часть, которая представляет собой сумму $\frac{1}{5} + \frac{1}{6}$.

Если мысленно убрать эту общую часть из обеих сумм, то для сравнения останутся только уникальные слагаемые: $\frac{1}{4}$ из первой суммы и $\frac{1}{7}$ из второй.

Сравним дроби $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{7}$. Это дроби с одинаковыми числителями. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

Так как знаменатель $4$ меньше знаменателя $7$ ($4 < 7$), то дробь $\frac{1}{4}$ больше дроби $\frac{1}{7}$.

$\frac{1}{4} > \frac{1}{7}$

Поскольку к большему числу ($\frac{1}{4}$) прибавляется та же самая сумма ($\frac{1}{5} + \frac{1}{6}$), что и к меньшему числу ($\frac{1}{7}$), то и первая сумма будет больше второй.

Следовательно, $\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} > \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7}$.

Ответ: $\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} > \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7}$.

755 Найдите значение выражения:

а) $ \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{2}{5}; $

б) $ \frac{3}{4} - \frac{1}{2} + \frac{7}{8}; $

в) $ \frac{1}{3} - \frac{1}{9} + \frac{1}{6}; $

г) $ \frac{5}{6} - \frac{2}{3} + \frac{1}{4}. $

а) $ \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{2}{5} $

Чтобы выполнить действия с дробями, приведем их к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). Для знаменателей 2, 4 и 5 НОЗ равен 20.

$ \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 10}{2 \cdot 10} - \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{10}{20} - \frac{5}{20} + \frac{8}{20} $

Теперь выполним сложение и вычитание числителей:

$ \frac{10 - 5 + 8}{20} = \frac{5 + 8}{20} = \frac{13}{20} $

Ответ: $ \frac{13}{20} $.

б) $ \frac{3}{4} - \frac{1}{2} + \frac{7}{8} $

Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю. Для знаменателей 4, 2 и 8 НОЗ равен 8.

$ \frac{3}{4} - \frac{1}{2} + \frac{7}{8} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{7}{8} = \frac{6}{8} - \frac{4}{8} + \frac{7}{8} $

Выполним действия с числителями:

$ \frac{6 - 4 + 7}{8} = \frac{2 + 7}{8} = \frac{9}{8} $

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$ \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8} $

Ответ: $ 1\frac{1}{8} $.

в) $ \frac{1}{3} - \frac{1}{9} + \frac{1}{6} $

Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю. Для знаменателей 3, 9 и 6 НОЗ равен 18.

$ \frac{1}{3} - \frac{1}{9} + \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6}{3 \cdot 6} - \frac{1 \cdot 2}{9 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{6}{18} - \frac{2}{18} + \frac{3}{18} $

Выполним действия с числителями:

$ \frac{6 - 2 + 3}{18} = \frac{4 + 3}{18} = \frac{7}{18} $

Ответ: $ \frac{7}{18} $.

г) $ \frac{5}{6} - \frac{2}{3} + \frac{1}{4} $

Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю. Для знаменателей 6, 3 и 4 НОЗ равен 12.

$ \frac{5}{6} - \frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{10}{12} - \frac{8}{12} + \frac{3}{12} $

Выполним действия с числителями:

$ \frac{10 - 8 + 3}{12} = \frac{2 + 3}{12} = \frac{5}{12} $

Ответ: $ \frac{5}{12} $.

756 Найдите неизвестное число:

а) $\frac{1}{2} + x = \frac{5}{6}$;

б) $a + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$;

в) $y - \frac{1}{5} = \frac{3}{10}$;

г) $\frac{5}{6} - c = \frac{1}{3}$.

а) В уравнении $\frac{1}{2} + x = \frac{5}{6}$ неизвестное $x$ является слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$x = \frac{5}{6} - \frac{1}{2}$
Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 2 — это 6.
$x = \frac{5}{6} - \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{5}{6} - \frac{3}{6}$
Теперь вычтем числители:
$x = \frac{5 - 3}{6} = \frac{2}{6}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$x = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$

б) В уравнении $a + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ неизвестное $a$ является слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$a = \frac{3}{4} - \frac{1}{4}$
Знаменатели у дробей одинаковые, поэтому просто вычитаем числители:
$a = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$a = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

в) В уравнении $y - \frac{1}{5} = \frac{3}{10}$ неизвестное $y$ является уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
$y = \frac{3}{10} + \frac{1}{5}$
Приведем дроби к общему знаменателю 10:
$y = \frac{3}{10} + \frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{3}{10} + \frac{2}{10}$
Теперь сложим числители:
$y = \frac{3 + 2}{10} = \frac{5}{10}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:
$y = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

г) В уравнении $\frac{5}{6} - c = \frac{1}{3}$ неизвестное $c$ является вычитаемым. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$c = \frac{5}{6} - \frac{1}{3}$
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$c = \frac{5}{6} - \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{5}{6} - \frac{2}{6}$
Теперь вычтем числители:
$c = \frac{5 - 2}{6} = \frac{3}{6}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
$c = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

757 Урок длится $\frac{2}{3}$ ч, перемена $\frac{1}{6}$ ч. Какую часть часа длятся урок с переменой?

Чтобы узнать, какую часть часа длятся урок с переменой, нужно сложить их продолжительность.

Продолжительность урока — $ \frac{2}{3} $ часа.

Продолжительность перемены — $ \frac{1}{6} $ часа.

Для нахождения общей длительности сложим эти две дроби:

$ \frac{2}{3} + \frac{1}{6} $

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 6 это 6.

Приведем дробь $ \frac{2}{3} $ к знаменателю 6, умножив ее числитель и знаменатель на 2:

$ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6} $

Теперь выполним сложение:

$ \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4+1}{6} = \frac{5}{6} $

Таким образом, урок с переменой длятся $ \frac{5}{6} $ часа.

Ответ: $ \frac{5}{6} $ ч.

758 В одной коробке $ \frac{1}{4}$ кг конфет, а в другой — на $\frac{1}{5}$ кг больше. Сколько конфет в двух коробках? Выразите ответ в граммах.

1. Найдем массу конфет во второй коробке

В первой коробке находится $\frac{1}{4}$ кг конфет. По условию, во второй коробке на $\frac{1}{5}$ кг больше. Чтобы найти массу конфет во второй коробке, необходимо сложить массу конфет в первой коробке и $\frac{1}{5}$ кг. Для этого приведем дроби к общему знаменателю, который для чисел 4 и 5 равен 20.

$\frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{5}{20} + \frac{4}{20} = \frac{9}{20}$ кг.

Ответ: во второй коробке $\frac{9}{20}$ кг конфет.

2. Найдем общую массу конфет в двух коробках

Теперь сложим массу конфет из первой коробки ($\frac{1}{4}$ кг) и второй коробки ($\frac{9}{20}$ кг).

$\frac{1}{4} + \frac{9}{20} = \frac{5}{20} + \frac{9}{20} = \frac{14}{20}$ кг.

Полученную дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{14 \div 2}{20 \div 2} = \frac{7}{10}$ кг.

Ответ: общая масса конфет в двух коробках составляет $\frac{7}{10}$ кг.

3. Выразим ответ в граммах

В условии задачи требуется дать ответ в граммах. Мы знаем, что в одном килограмме содержится 1000 граммов ($1$ кг $= 1000$ г). Чтобы перевести общую массу из килограммов в граммы, умножим $\frac{7}{10}$ на 1000.

$\frac{7}{10} \cdot 1000 = 7 \cdot \frac{1000}{10} = 7 \cdot 100 = 700$ г.

Ответ: в двух коробках 700 граммов конфет.

759 До остановки автобус ехал $\frac{2}{5}$ ч, а на оставшийся путь он затратил на $\frac{3}{20}$ ч меньше. Сколько времени занял весь маршрут, если на остановке автобус стоял $\frac{1}{12}$ ч? Ответ выразите в часах и минутах.

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем время, затраченное на путь после остановки.

Известно, что до остановки автобус ехал $\frac{2}{5}$ ч, а на оставшийся путь он затратил на $\frac{3}{20}$ ч меньше. Чтобы найти это время, вычтем из времени до остановки $\frac{3}{20}$ ч. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 20.

$\frac{2}{5} - \frac{3}{20} = \frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3}{20} = \frac{8}{20} - \frac{3}{20} = \frac{5}{20}$ ч.

Сократим полученную дробь:

$\frac{5}{20} = \frac{1}{4}$ ч.

Таким образом, на путь после остановки автобус затратил $\frac{1}{4}$ часа.

2. Найдем общее время всего маршрута.

Общее время складывается из времени движения до остановки, времени на остановке и времени движения после остановки. Сложим все три временных промежутка:

$\frac{2}{5} + \frac{1}{12} + \frac{1}{4}$ ч.

Чтобы сложить эти дроби, найдем наименьший общий знаменатель для чисел 5, 12 и 4. Он равен 60.

$\frac{2 \cdot 12}{5 \cdot 12} + \frac{1 \cdot 5}{12 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 15}{4 \cdot 15} = \frac{24}{60} + \frac{5}{60} + \frac{15}{60} = \frac{24 + 5 + 15}{60} = \frac{44}{60}$ ч.

3. Выразим ответ в часах и минутах.

Общее время в пути составляет $\frac{44}{60}$ часа. Поскольку в одном часе 60 минут, $\frac{44}{60}$ часа равно 44 минутам.

$\frac{44}{60} \text{ ч} = 44 \text{ минуты.}$

Так как 44 минуты меньше одного часа, то время составляет 0 часов 44 минуты.

Ответ: 44 минуты.

760 a) Рабочий может выполнить весь заказ за 3 ч, а ученик – за 7 ч. Какую часть заказа выполнит рабочий за 1 ч? Какую часть заказа выполнит ученик за 1 ч? Какую часть заказа они выполнят, работая вместе, за 1 ч?

б) Швея может выполнить заказ за 3 дня, а её ученица – за 6 дней. Какую часть заказа они могут выполнить за один день, работая вместе?

Чтобы решить задачу, сначала определим производительность (какую часть работы выполняет за единицу времени) каждого работника. Весь заказ принимаем за единицу (1).

Рабочий выполняет весь заказ за 3 часа. Следовательно, за 1 час он выполнит $\frac{1}{3}$ часть заказа.

Ученик выполняет весь заказ за 7 часов. Следовательно, за 1 час он выполнит $\frac{1}{7}$ часть заказа.

Чтобы найти, какую часть заказа они выполнят вместе за 1 час, нужно сложить их производительности. Для этого приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{3} + \frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 7}{3 \cdot 7} + \frac{1 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{7}{21} + \frac{3}{21} = \frac{7+3}{21} = \frac{10}{21}$

Таким образом, работая вместе, за 1 час они выполнят $\frac{10}{21}$ часть заказа.

Ответ: рабочий за 1 час выполнит $\frac{1}{3}$ часть заказа, ученик за 1 час выполнит $\frac{1}{7}$ часть заказа, а вместе за 1 час они выполнят $\frac{10}{21}$ часть заказа.

Аналогично предыдущей задаче, примем весь заказ за единицу (1) и найдем производительность каждой работницы за 1 день.

Швея выполняет заказ за 3 дня, значит, её производительность составляет $\frac{1}{3}$ заказа в день.

Её ученица выполняет заказ за 6 дней, её производительность составляет $\frac{1}{6}$ заказа в день.

Чтобы найти, какую часть заказа они могут выполнить за один день, работая вместе, сложим их производительности. Приведем дробь $\frac{1}{3}$ к знаменателю 6:

$\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2+1}{6} = \frac{3}{6}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Следовательно, работая вместе, за один день они могут выполнить половину заказа.

Ответ: $\frac{1}{2}$ часть заказа.