Страница 197 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

767. Из пунктов $A$ и $B$ одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Первый проходит расстояние между $A$ и $B$ за 3 ч, а второй – за 4 ч.

Состоялась ли встреча автомобилей, если они находятся в пути

1 ч?

2 ч?

Для решения задачи примем все расстояние между пунктами А и В за 1 (одну целую единицу). Тогда мы можем определить скорость каждого автомобиля как долю расстояния, которую он проходит за один час.

Скорость первого автомобиля, который проходит все расстояние за 3 часа, составляет:

$v_1 = \frac{1}{3}$ расстояния/час

Скорость второго автомобиля, который проходит все расстояние за 4 часа, составляет:

$v_2 = \frac{1}{4}$ расстояния/час

Поскольку автомобили движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Найдем их общую скорость сближения:

$v_{сближения} = v_1 + v_2 = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$ расстояния/час

Это означает, что за каждый час автомобили вместе преодолевают $\frac{7}{12}$ всего расстояния между пунктами А и В.

Встреча произойдет, когда суммарное пройденное ими расстояние станет равно 1. Найдем время до встречи ($t_{встречи}$):

$t_{встречи} = \frac{1}{v_{сближения}} = \frac{1}{\frac{7}{12}} = \frac{12}{7} = 1\frac{5}{7}$ часа.

Теперь, зная точное время встречи, мы можем ответить на вопросы.

1 ч?

Сравним заданное время (1 час) с временем, необходимым для встречи ($1\frac{5}{7}$ часа).
Поскольку $1 < 1\frac{5}{7}$, за 1 час автомобили еще не успеют встретиться.

Проверим это, рассчитав, какую часть пути они проедут вместе за 1 час:
$S_{пройдено} = v_{сближения} \times t = \frac{7}{12} \times 1 = \frac{7}{12}$.
Так как $\frac{7}{12} < 1$, они еще не покрыли всё расстояние между собой, следовательно, встреча не состоялась.

Ответ: нет, встреча еще не состоялась.

2 ч?

Сравним заданное время (2 часа) с временем, необходимым для встречи ($1\frac{5}{7}$ часа).
Поскольку $2 > 1\frac{5}{7}$, за 2 часа автомобили уже успеют встретиться и разъехаться.

Проверим это, рассчитав, какую часть пути они проедут вместе за 2 часа:
$S_{пройдено} = v_{сближения} \times t = \frac{7}{12} \times 2 = \frac{14}{12} = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$.
Так как $1\frac{1}{6} > 1$, суммарное пройденное ими расстояние больше, чем все расстояние между пунктами. Это означает, что они уже встретились.

Ответ: да, встреча уже состоялась.

768 a) Два тракториста вспахали поле за 4 дня. Если бы работал один из них, то он вспахал бы поле за 6 дней. Какую часть поля обрабатывал каждый тракторист за день?

б) Мастер и ученик сделали партию деталей за 3 ч. Если бы мастер работал один, то он выполнил бы эту работу за 4 ч. Какую часть работы выполнял каждый за 1 ч?

а)

Примем всё поле за 1 (единицу). Вся работа – это вспахать 1 поле.

1. Определим производительность двух трактористов при совместной работе. Раз они вспахали поле за 4 дня, то за один день они вместе вспахивали:

$1 : 4 = \frac{1}{4}$ (часть поля в день)

2. Определим производительность одного из трактористов. По условию, он один мог бы вспахать поле за 6 дней. Значит, его производительность составляет:

$1 : 6 = \frac{1}{6}$ (часть поля в день)

3. Чтобы найти производительность второго тракториста, нужно из их совместной производительности вычесть производительность первого тракториста:

$\frac{1}{4} - \frac{1}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{1}{12}$ (часть поля в день)

Таким образом, первый тракторист обрабатывал $\frac{1}{6}$ часть поля за день, а второй — $\frac{1}{12}$ часть поля за день.

Ответ: первый тракторист обрабатывал $\frac{1}{6}$ часть поля за день, а второй — $\frac{1}{12}$ часть поля.

б)

Примем всю партию деталей за 1 (единицу). Вся работа – это изготовить 1 партию деталей.

1. Определим совместную производительность мастера и ученика. Они сделали партию деталей за 3 часа, значит, за 1 час они вместе выполняли:

$1 : 3 = \frac{1}{3}$ (часть работы в час)

2. Определим производительность мастера. По условию, он один мог бы выполнить эту работу за 4 часа. Следовательно, его производительность равна:

$1 : 4 = \frac{1}{4}$ (часть работы в час)

3. Чтобы найти производительность ученика, вычтем из совместной производительности производительность мастера:

$\frac{1}{3} - \frac{1}{4}$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{1}{12}$ (часть работы в час)

Таким образом, мастер выполнял $\frac{1}{4}$ часть работы за час, а ученик — $\frac{1}{12}$ часть работы за час.

Ответ: мастер выполнял за 1 час $\frac{1}{4}$ часть работы, а ученик — $\frac{1}{12}$ часть работы.

769 Запишите все возможные двузначные числа, сумма цифр которых равна 10. Есть ли среди них простые числа?

Запишите все возможные двузначные числа, сумма цифр которых равна 10.

Пусть искомое двузначное число состоит из цифры десятков $a$ и цифры единиц $b$. Для двузначного числа цифра десятков $a$ может принимать значения от 1 до 9, а цифра единиц $b$ — от 0 до 9.

По условию задачи, сумма этих цифр равна 10: $a + b = 10$

Найдем все возможные пары цифр $(a, b)$, удовлетворяющие этому равенству, последовательно перебирая значения для $a$:
Если $a=1$, то $b = 10 - 1 = 9$. Получаем число 19.
Если $a=2$, то $b = 10 - 2 = 8$. Получаем число 28.
Если $a=3$, то $b = 10 - 3 = 7$. Получаем число 37.
Если $a=4$, то $b = 10 - 4 = 6$. Получаем число 46.
Если $a=5$, то $b = 10 - 5 = 5$. Получаем число 55.
Если $a=6$, то $b = 10 - 6 = 4$. Получаем число 64.
Если $a=7$, то $b = 10 - 7 = 3$. Получаем число 73.
Если $a=8$, то $b = 10 - 8 = 2$. Получаем число 82.
Если $a=9$, то $b = 10 - 9 = 1$. Получаем число 91.

Таким образом, мы нашли все возможные двузначные числа, сумма цифр которых равна 10.

Ответ: 19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91.

Есть ли среди них простые числа?

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Проверим каждое из найденных чисел:
19 — является простым числом.
28 — четное число, поэтому делится на 2 ($28 = 2 \cdot 14$), является составным.
37 — является простым числом.
46 — четное число, поэтому делится на 2 ($46 = 2 \cdot 23$), является составным.
55 — оканчивается на 5, поэтому делится на 5 ($55 = 5 \cdot 11$), является составным.
64 — четное число, поэтому делится на 2 ($64 = 2 \cdot 32$), является составным.
73 — является простым числом.
82 — четное число, поэтому делится на 2 ($82 = 2 \cdot 41$), является составным.
91 — является составным числом, так как делится на 7 и 13 ($91 = 7 \cdot 13$).

Ответ: Да, есть. Это числа 19, 37, 73.

770 Сократите дробь, используя признаки делимости:

а) $\frac{540}{945}$

б) $\frac{184}{552}$

а) Чтобы сократить дробь $ \frac{540}{945} $, воспользуемся признаками делимости. Числитель 540 оканчивается на 0, а знаменатель 945 — на 5, значит, согласно признаку делимости на 5, оба числа делятся на 5. Разделим числитель и знаменатель на 5:
$ \frac{540}{945} = \frac{540 \div 5}{945 \div 5} = \frac{108}{189} $.
Теперь для дроби $ \frac{108}{189} $ применим признак делимости на 9. Сумма цифр числителя 108 равна $ 1+0+8=9 $, а сумма цифр знаменателя 189 равна $ 1+8+9=18 $. Обе суммы (9 и 18) делятся на 9, следовательно, и сами числа делятся на 9. Сократим дробь на 9:
$ \frac{108}{189} = \frac{108 \div 9}{189 \div 9} = \frac{12}{21} $.
Осталось сократить дробь $ \frac{12}{21} $. Очевидно, что оба числа делятся на 3.
$ \frac{12}{21} = \frac{12 \div 3}{21 \div 3} = \frac{4}{7} $.
Дробь $ \frac{4}{7} $ является несократимой, так как 7 — простое число, а 4 на 7 не делится.
Ответ: $ \frac{4}{7} $.

б) Чтобы сократить дробь $ \frac{184}{552} $, воспользуемся признаками делимости. Числитель 184 и знаменатель 552 являются чётными числами, поэтому они делятся на 2. Проверим более сильный признак — делимость на 8: число делится на 8, если число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8.
$ 184 \div 8 = 23 $
$ 552 \div 8 = 69 $
Поскольку оба числа делятся на 8, сократим дробь на 8:
$ \frac{184}{552} = \frac{184 \div 8}{552 \div 8} = \frac{23}{69} $.
Теперь рассмотрим дробь $ \frac{23}{69} $. Число 23 является простым. Проверим, не делится ли знаменатель 69 на 23. Для этого можно разложить 69 на простые множители. Применим признак делимости на 3: сумма цифр числа 69 равна $ 6+9=15 $, а 15 делится на 3, значит, и 69 делится на 3.
$ 69 \div 3 = 23 $.
Таким образом, знаменатель можно представить как $ 69 = 3 \cdot 23 $. Подставим это в дробь:
$ \frac{23}{69} = \frac{23}{3 \cdot 23} $.
Теперь мы можем сократить дробь на общий множитель 23:
$ \frac{23}{3 \cdot 23} = \frac{1}{3} $.
Дробь $ \frac{1}{3} $ является несократимой.
Ответ: $ \frac{1}{3} $.

771 а) Какую часть километра составляют 200 м? 250 м? 750 м?

б) Какую часть гектара составляют $300 \text{ м}^2$? $450 \text{ м}^2$? 5 а?

а)

Чтобы найти, какую часть километра составляют метры, необходимо знать, что в одном километре (км) содержится 1000 метров (м). Для каждого значения нужно составить дробь, где в числителе будет указанное количество метров, а в знаменателе — 1000, и затем сократить эту дробь.

Для 200 м:
Составляем и сокращаем дробь: $ \frac{200}{1000} = \frac{200 \div 200}{1000 \div 200} = \frac{1}{5} $.
Ответ: 200 м составляют $ \frac{1}{5} $ километра.

Для 250 м:
Составляем и сокращаем дробь: $ \frac{250}{1000} = \frac{250 \div 250}{1000 \div 250} = \frac{1}{4} $.
Ответ: 250 м составляют $ \frac{1}{4} $ километра.

Для 750 м:
Составляем и сокращаем дробь: $ \frac{750}{1000} = \frac{750 \div 250}{1000 \div 250} = \frac{3}{4} $.
Ответ: 750 м составляют $ \frac{3}{4} $ километра.

б)

Чтобы найти, какую часть гектара (га) составляют квадратные метры (м²) или ары (а), нужно знать соотношения единиц площади: 1 гектар = 10 000 м², 1 ар = 100 м². Сначала нужно привести все значения к квадратным метрам, а затем составить дробь, где в знаменателе будет 10 000.

Для 300 м²:
Составляем и сокращаем дробь: $ \frac{300}{10000} = \frac{300 \div 100}{10000 \div 100} = \frac{3}{100} $.
Ответ: 300 м² составляют $ \frac{3}{100} $ гектара.

Для 450 м²:
Составляем и сокращаем дробь: $ \frac{450}{10000} = \frac{450 \div 50}{10000 \div 50} = \frac{9}{200} $.
Ответ: 450 м² составляют $ \frac{9}{200} $ гектара.

Для 5 а:
Сначала переводим ары в квадратные метры: 5 а = $ 5 \times 100 $ м² = 500 м².
Теперь составляем и сокращаем дробь: $ \frac{500}{10000} = \frac{500 \div 500}{10000 \div 500} = \frac{1}{20} $.
Ответ: 5 а составляют $ \frac{1}{20} $ гектара.

772 На клетчатой бумаге построен квадрат $5 \times 5$, который разбит на маленькие квадраты (рис. 9.2). Постройте в тетради три разных прямоугольника, имеющие площадь, равную площади закрашенной части квадрата.

Рис. 9.2

Для начала найдем площадь закрашенной части квадрата. Весь квадрат имеет размер 5x5 клеток, его общая площадь составляет $S_{общ} = 5 \times 5 = 25$ клеток.

Внутри находится незакрашенная область, представляющая собой квадрат размером 3x3 клетки. Площадь этой области равна $S_{незакр} = 3 \times 3 = 9$ клеток.

Площадь закрашенной части можно найти, вычтя из общей площади площадь незакрашенной части:
$S_{закр} = S_{общ} - S_{незакр} = 25 - 9 = 16$ клеток.

Теперь нам нужно найти три разных прямоугольника, площадь которых равна 16 клеткам. Площадь прямоугольника ($S$) равна произведению длин его сторон ($a$ и $b$): $S = a \times b$. Нам нужно найти три разные пары натуральных чисел, произведение которых равно 16.

Прямоугольник 1
Первая пара множителей для числа 16 – это 1 и 16.
$1 \times 16 = 16$.
Следовательно, можно построить прямоугольник со сторонами 1 клетка и 16 клеток.
Ответ: Прямоугольник размером 1x16 клеток.

Прямоугольник 2
Вторая пара множителей – это 2 и 8.
$2 \times 8 = 16$.
Это позволяет нам построить прямоугольник со сторонами 2 клетки и 8 клеток.
Ответ: Прямоугольник размером 2x8 клеток.

Прямоугольник 3
Третья пара множителей – это 4 и 4.
$4 \times 4 = 16$.
В этом случае мы строим прямоугольник со сторонами 4 клетки и 4 клетки, который также является квадратом.
Ответ: Прямоугольник (квадрат) размером 4x4 клетки.