Страница 199 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Прочитайте смешанную дробь $5\frac{3}{4}$ и назовите её целую и дробную части.

Смешанная дробь $5\frac{3}{4}$ читается как «пять целых три четвёртых».

Смешанное число состоит из целой части и дробной части. В данном случае:

- целая часть — это число $5$;

- дробная часть — это дробь $\frac{3}{4}$.

Ответ: Дробь $5\frac{3}{4}$ читается «пять целых три четвёртых»; целая часть — $5$, дробная часть — $\frac{3}{4}$.

На примере дроби $\frac{37}{15}$ покажите, как из неправильной дроби выделяют целую часть.

Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби, необходимо разделить её числитель на знаменатель с остатком.

1. Разделим числитель $37$ на знаменатель $15$.

$37 \div 15 = 2$ (остаток $7$)

2. Неполное частное, равное $2$, становится целой частью смешанного числа.

3. Остаток от деления, равный $7$, становится числителем дробной части.

4. Знаменатель ($15$) остаётся без изменений.

Таким образом, получаем смешанную дробь:

$\frac{37}{15} = 2\frac{7}{15}$

Ответ: $\frac{37}{15} = 2\frac{7}{15}$.

Как представить число $3\frac{2}{7}$ в виде неправильной дроби?

Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно:

1. Умножить целую часть на знаменатель дробной части:

$3 \times 7 = 21$

2. К полученному произведению прибавить числитель дробной части:

$21 + 2 = 23$

3. Результат записать в числитель новой дроби, а знаменатель оставить прежним.

Запишем весь процесс одной формулой:

$3\frac{2}{7} = \frac{3 \times 7 + 2}{7} = \frac{21 + 2}{7} = \frac{23}{7}$

Ответ: $3\frac{2}{7} = \frac{23}{7}$.

773 Прочитайте смешанную дробь, запишите её в виде суммы целой и дробной частей:

а) $1\frac{1}{2}$;

б) $3\frac{2}{7}$;

в) $5\frac{1}{9}$;

г) $4\frac{2}{3}$;

д) $2\frac{11}{12}$;

е) $4\frac{2}{5}$.

Смешанная дробь (или смешанное число) по определению является суммой её целой части и дробной части. Чтобы записать смешанную дробь в виде такой суммы, нужно поставить знак сложения между целым числом и дробью.

а) Смешанная дробь $1\frac{1}{2}$ читается как "одна целая одна вторая". Запишем её в виде суммы целой и дробной частей: $1\frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2}$.

Ответ: $1 + \frac{1}{2}$

б) Смешанная дробь $3\frac{2}{7}$ читается как "три целых две седьмых". Запишем её в виде суммы целой и дробной частей: $3\frac{2}{7} = 3 + \frac{2}{7}$.

Ответ: $3 + \frac{2}{7}$

в) Смешанная дробь $5\frac{1}{9}$ читается как "пять целых одна девятая". Запишем её в виде суммы целой и дробной частей: $5\frac{1}{9} = 5 + \frac{1}{9}$.

Ответ: $5 + \frac{1}{9}$

г) Смешанная дробь $4\frac{2}{3}$ читается как "четыре целых две третьих". Запишем её в виде суммы целой и дробной частей: $4\frac{2}{3} = 4 + \frac{2}{3}$.

Ответ: $4 + \frac{2}{3}$

д) Смешанная дробь $2\frac{11}{12}$ читается как "две целых одиннадцать двенадцатых". Запишем её в виде суммы целой и дробной частей: $2\frac{11}{12} = 2 + \frac{11}{12}$.

Ответ: $2 + \frac{11}{12}$

е) Смешанная дробь $4\frac{2}{5}$ читается как "четыре целых две пятых". Запишем её в виде суммы целой и дробной частей: $4\frac{2}{5} = 4 + \frac{2}{5}$.

Ответ: $4 + \frac{2}{5}$

774 Выразите в граммах:

а) $2\frac{1}{10}$ кг;

б) $4\frac{1}{2}$ кг;

в) $1\frac{3}{4}$ кг;

г) $3\frac{2}{5}$ кг.

Образец. Выразим $1\frac{3}{5}$ кг в граммах.

1 кг = 1000 г, $\frac{3}{5}$ кг = 600 г. Значит, $1\frac{3}{5}$ кг = 1600 г.

а) Чтобы выразить $2 \frac{1}{10}$ кг в граммах, нужно использовать соотношение $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$. Сначала переведем целую часть, а затем дробную.
Целая часть: $2 \text{ кг} = 2 \times 1000 \text{ г} = 2000 \text{ г}$.
Дробная часть: $\frac{1}{10} \text{ кг} = \frac{1}{10} \times 1000 \text{ г} = \frac{1000}{10} \text{ г} = 100 \text{ г}$.
Теперь сложим полученные значения: $2000 \text{ г} + 100 \text{ г} = 2100 \text{ г}$.
Ответ: 2100 г.

б) Выразим $4 \frac{1}{2}$ кг в граммах.
Переведем целую часть: $4 \text{ кг} = 4 \times 1000 \text{ г} = 4000 \text{ г}$.
Переведем дробную часть: $\frac{1}{2} \text{ кг} = \frac{1}{2} \times 1000 \text{ г} = \frac{1000}{2} \text{ г} = 500 \text{ г}$.
Суммируем результаты: $4000 \text{ г} + 500 \text{ г} = 4500 \text{ г}$.
Ответ: 4500 г.

в) Выразим $1 \frac{3}{4}$ кг в граммах.
Целая часть: $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$.
Дробная часть: $\frac{3}{4} \text{ кг} = \frac{3}{4} \times 1000 \text{ г} = 3 \times \frac{1000}{4} \text{ г} = 3 \times 250 \text{ г} = 750 \text{ г}$.
Складываем целую и дробную части: $1000 \text{ г} + 750 \text{ г} = 1750 \text{ г}$.
Ответ: 1750 г.

г) Выразим $3 \frac{2}{5}$ кг в граммах.
Переведем целую часть в граммы: $3 \text{ кг} = 3 \times 1000 \text{ г} = 3000 \text{ г}$.
Переведем дробную часть в граммы: $\frac{2}{5} \text{ кг} = \frac{2}{5} \times 1000 \text{ г} = 2 \times \frac{1000}{5} \text{ г} = 2 \times 200 \text{ г} = 400 \text{ г}$.
Суммируем полученные значения: $3000 \text{ г} + 400 \text{ г} = 3400 \text{ г}$.
Ответ: 3400 г.

775 Начертите координатную прямую (возьмите единичный отрезок, равный 4 клеткам тетради). Отметьте на ней числа $1\frac{1}{2}$, $2\frac{3}{4}$, $3\frac{1}{4}$, $4\frac{1}{2}$, $5\frac{1}{8}$, $6\frac{1}{4}$.

Для решения этой задачи необходимо начертить координатную прямую и отметить на ней заданные числа. Согласно условию, единичный отрезок равен 4 клеткам тетради. Это значит, что расстояние между любыми двумя соседними целыми числами (например, между 0 и 1, или между 3 и 4) составляет 4 клетки.

Сначала начертим прямую, выберем на ней начальную точку 0. Отложим вправо отрезки длиной 4 клетки и отметим точки 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и так далее. Теперь найдем положение каждой из заданных точек.

Чтобы найти положение точки с координатой $\frac{1}{2}$, нужно умножить это число на длину единичного отрезка: $ \frac{1}{2} \cdot 4 $ клетки $ = 2 $ клетки. Следовательно, эта точка будет находиться на расстоянии 2 клеток вправо от начала отсчета (точки 0).

Ответ: Точка $\frac{1}{2}$ находится на расстоянии 2 клеток от начала отсчета.

Это число находится между 2 и 3. Сначала найдем положение целой части (числа 2): $ 2 \cdot 4 = 8 $ клеток от 0. Затем от этой точки нужно отступить вправо на расстояние, соответствующее дробной части $\frac{3}{4}$. Вычисляем это расстояние: $ \frac{3}{4} \cdot 4 $ клетки $ = 3 $ клетки. Общее расстояние от 0 составит $ 8 + 3 = 11 $ клеток.

Ответ: Точка $2\frac{3}{4}$ находится на расстоянии 11 клеток от начала отсчета.

Число находится между 3 и 4. Положение точки 3: $ 3 \cdot 4 = 12 $ клеток от 0. Расстояние для дробной части $\frac{1}{4}$: $ \frac{1}{4} \cdot 4 $ клетки $ = 1 $ клетка. Общее расстояние от 0: $ 12 + 1 = 13 $ клеток.

Ответ: Точка $3\frac{1}{4}$ находится на расстоянии 13 клеток от начала отсчета.

Число находится между 4 и 5. Положение точки 4: $ 4 \cdot 4 = 16 $ клеток от 0. Расстояние для дробной части $\frac{1}{2}$: $ \frac{1}{2} \cdot 4 $ клетки $ = 2 $ клетки. Общее расстояние от 0: $ 16 + 2 = 18 $ клеток.

Ответ: Точка $4\frac{1}{2}$ находится на расстоянии 18 клеток от начала отсчета.

Число находится между 5 и 6. Положение точки 5: $ 5 \cdot 4 = 20 $ клеток от 0. Расстояние для дробной части $\frac{1}{8}$: $ \frac{1}{8} \cdot 4 $ клетки $ = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $ клетки. То есть, нужно отступить на половину клетки вправо от отметки 5. Общее расстояние от 0: $ 20 + 0.5 = 20.5 $ клеток.

Ответ: Точка $5\frac{1}{8}$ находится на расстоянии 20.5 клеток от начала отсчета.

Число находится между 6 и 7. Положение точки 6: $ 6 \cdot 4 = 24 $ клетки от 0. Расстояние для дробной части $\frac{1}{4}$: $ \frac{1}{4} \cdot 4 $ клетки $ = 1 $ клетка. Общее расстояние от 0: $ 24 + 1 = 25 $ клеток.

Ответ: Точка $6\frac{1}{4}$ находится на расстоянии 25 клеток от начала отсчета.

Визуальное представление координатной прямой с отмеченными точками:

776 Начертите координатную прямую с единичным отрезком, равным 6 клеткам тетради. Отметьте на ней числа $1\frac{1}{2}$, $1\frac{1}{6}$, $1\frac{1}{3}$, $2\frac{2}{3}$, $2\frac{1}{2}$, $2\frac{5}{6}$, $2\frac{1}{12}$.

Для решения задачи необходимо начертить координатную прямую, где единичный отрезок (например, расстояние от 0 до 1) равен 6 клеткам тетради. Затем нужно рассчитать положение каждой точки в клетках от начала координат (точки 0) и отметить их на прямой.

Общий принцип расчета положения точки для смешанного числа $A\frac{b}{c}$ при единичном отрезке в $N$ клеток:
Положение = (Целая часть $A \times N$) + (Дробная часть $\frac{b}{c} \times N$).
В нашем случае $N=6$.

$1\frac{1}{2}$

Целая часть 1 соответствует $1 \times 6 = 6$ клеткам. Дробная часть $\frac{1}{2}$ соответствует $\frac{1}{2} \times 6 = 3$ клеткам.
Общее расстояние от точки 0: $6 + 3 = 9$ клеток.
Ответ: Точка $1\frac{1}{2}$ находится на расстоянии 9 клеток справа от точки 0.

$1\frac{1}{6}$

Целая часть 1 соответствует $1 \times 6 = 6$ клеткам. Дробная часть $\frac{1}{6}$ соответствует $\frac{1}{6} \times 6 = 1$ клетке.
Общее расстояние от точки 0: $6 + 1 = 7$ клеток.
Ответ: Точка $1\frac{1}{6}$ находится на расстоянии 7 клеток справа от точки 0.

$1\frac{1}{3}$

Целая часть 1 соответствует $1 \times 6 = 6$ клеткам. Дробная часть $\frac{1}{3}$ соответствует $\frac{1}{3} \times 6 = 2$ клеткам.
Общее расстояние от точки 0: $6 + 2 = 8$ клеток.
Ответ: Точка $1\frac{1}{3}$ находится на расстоянии 8 клеток справа от точки 0.

$2\frac{2}{3}$

Целая часть 2 соответствует $2 \times 6 = 12$ клеткам. Дробная часть $\frac{2}{3}$ соответствует $\frac{2}{3} \times 6 = 4$ клеткам.
Общее расстояние от точки 0: $12 + 4 = 16$ клеток.
Ответ: Точка $2\frac{2}{3}$ находится на расстоянии 16 клеток справа от точки 0.

$2\frac{1}{2}$

Целая часть 2 соответствует $2 \times 6 = 12$ клеткам. Дробная часть $\frac{1}{2}$ соответствует $\frac{1}{2} \times 6 = 3$ клеткам.
Общее расстояние от точки 0: $12 + 3 = 15$ клеток.
Ответ: Точка $2\frac{1}{2}$ находится на расстоянии 15 клеток справа от точки 0.

$2\frac{5}{6}$

Целая часть 2 соответствует $2 \times 6 = 12$ клеткам. Дробная часть $\frac{5}{6}$ соответствует $\frac{5}{6} \times 6 = 5$ клеткам.
Общее расстояние от точки 0: $12 + 5 = 17$ клеток.
Ответ: Точка $2\frac{5}{6}$ находится на расстоянии 17 клеток справа от точки 0.

$2\frac{1}{12}$

Целая часть 2 соответствует $2 \times 6 = 12$ клеткам. Дробная часть $\frac{1}{12}$ соответствует $\frac{1}{12} \times 6 = 0,5$ клетки, то есть половине одной клетки.
Общее расстояние от точки 0: $12 + 0,5 = 12,5$ клеток.
Ответ: Точка $2\frac{1}{12}$ находится на расстоянии 12,5 клеток справа от точки 0.

Построение координатной прямой:

1. Начертите горизонтальную прямую и отметьте на ней точку 0 (начало координат).
2. Отсчитайте вправо 6 клеток, поставьте отметку и подпишите её «1».
3. Отсчитайте вправо от точки 1 ещё 6 клеток (12 от точки 0), поставьте отметку и подпишите её «2».
4. Отсчитайте вправо от точки 2 ещё 6 клеток (18 от точки 0), поставьте отметку и подпишите её «3».
5. Используя вычисленные выше значения, отметьте точки на прямой, отсчитывая клетки от 0:
- Для $1\frac{1}{6}$ отсчитайте 7 клеток.
- Для $1\frac{1}{3}$ отсчитайте 8 клеток.
- Для $1\frac{1}{2}$ отсчитайте 9 клеток.
- Для $2\frac{1}{12}$ отсчитайте 12 с половиной клеток.
- Для $2\frac{1}{2}$ отсчитайте 15 клеток.
- Для $2\frac{2}{3}$ отсчитайте 16 клеток.
- Для $2\frac{5}{6}$ отсчитайте 17 клеток.
6. Подпишите каждую точку соответствующим числом. В результате получится координатная прямая с отмеченными на ней заданными числами.

777 Выделите целую часть из дроби:

а) $ \frac{5}{3} $, $ \frac{8}{3} $, $ \frac{9}{2} $, $ \frac{21}{11} $

б) $ \frac{64}{15} $, $ \frac{43}{12} $, $ \frac{80}{9} $, $ \frac{78}{25} $

а)

Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби, необходимо разделить числитель на знаменатель с остатком. Неполное частное от деления станет целой частью, остаток — числителем дробной части, а знаменатель останется прежним.

Для дроби $\frac{5}{3}$: делим 5 на 3. Получаем 1 и 2 в остатке. Таким образом, $\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$.

Для дроби $\frac{8}{3}$: делим 8 на 3. Получаем 2 и 2 в остатке. Таким образом, $\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$.

Для дроби $\frac{9}{2}$: делим 9 на 2. Получаем 4 и 1 в остатке. Таким образом, $\frac{9}{2} = 4\frac{1}{2}$.

Для дроби $\frac{21}{11}$: делим 21 на 11. Получаем 1 и 10 в остатке. Таким образом, $\frac{21}{11} = 1\frac{10}{11}$.

Ответ: $1\frac{2}{3}$; $2\frac{2}{3}$; $4\frac{1}{2}$; $1\frac{10}{11}$.

б)

Для дроби $\frac{64}{15}$: делим 64 на 15. $64 = 4 \times 15 + 4$. Получаем 4 и 4 в остатке. Таким образом, $\frac{64}{15} = 4\frac{4}{15}$.

Для дроби $\frac{43}{12}$: делим 43 на 12. $43 = 3 \times 12 + 7$. Получаем 3 и 7 в остатке. Таким образом, $\frac{43}{12} = 3\frac{7}{12}$.

Для дроби $\frac{80}{9}$: делим 80 на 9. $80 = 8 \times 9 + 8$. Получаем 8 и 8 в остатке. Таким образом, $\frac{80}{9} = 8\frac{8}{9}$.

Для дроби $\frac{78}{25}$: делим 78 на 25. $78 = 3 \times 25 + 3$. Получаем 3 и 3 в остатке. Таким образом, $\frac{78}{25} = 3\frac{3}{25}$.

Ответ: $4\frac{4}{15}$; $3\frac{7}{12}$; $8\frac{8}{9}$; $3\frac{3}{25}$.

778 Запишите неправильную дробь в виде смешанной дроби:

а) $ \frac{3}{2}, \frac{5}{4}, \frac{4}{3}, \frac{7}{3}, \frac{53}{6}$;

б) $ \frac{8}{5}, \frac{7}{2}, \frac{10}{3}, \frac{15}{4}, \frac{40}{9}$.

Чтобы записать неправильную дробь в виде смешанной дроби, необходимо разделить числитель этой дроби на ее знаменатель. Полученное целое число (неполное частное) будет целой частью смешанной дроби. Остаток от деления станет числителем дробной части, а знаменатель останется прежним.

а)

$\frac{3}{2}$: делим 3 на 2. Получаем 1 в качестве целой части и 1 в остатке. Таким образом, $\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.
$\frac{5}{4}$: делим 5 на 4. Получаем 1 в качестве целой части и 1 в остатке. Таким образом, $\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$.
$\frac{4}{3}$: делим 4 на 3. Получаем 1 в качестве целой части и 1 в остатке. Таким образом, $\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.
$\frac{7}{3}$: делим 7 на 3. Получаем 2 в качестве целой части и 1 в остатке. Таким образом, $\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$.
$\frac{53}{6}$: делим 53 на 6. Получаем 8 в качестве целой части ($6 \times 8 = 48$) и 5 в остатке ($53 - 48 = 5$). Таким образом, $\frac{53}{6} = 8\frac{5}{6}$.
Ответ: $1\frac{1}{2}$; $1\frac{1}{4}$; $1\frac{1}{3}$; $2\frac{1}{3}$; $8\frac{5}{6}$.

б)

$\frac{8}{5}$: делим 8 на 5. Получаем 1 в качестве целой части и 3 в остатке. Таким образом, $\frac{8}{5} = 1\frac{3}{5}$.
$\frac{7}{2}$: делим 7 на 2. Получаем 3 в качестве целой части и 1 в остатке. Таким образом, $\frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$.
$\frac{10}{3}$: делим 10 на 3. Получаем 3 в качестве целой части и 1 в остатке. Таким образом, $\frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$.
$\frac{15}{4}$: делим 15 на 4. Получаем 3 в качестве целой части ($4 \times 3 = 12$) и 3 в остатке ($15 - 12 = 3$). Таким образом, $\frac{15}{4} = 3\frac{3}{4}$.
$\frac{40}{9}$: делим 40 на 9. Получаем 4 в качестве целой части ($9 \times 4 = 36$) и 4 в остатке ($40 - 36 = 4$). Таким образом, $\frac{40}{9} = 4\frac{4}{9}$.
Ответ: $1\frac{3}{5}$; $3\frac{1}{2}$; $3\frac{1}{3}$; $3\frac{3}{4}$; $4\frac{4}{9}$.

779 Сократите дробь и выделите из неё целую часть:

а) $ \frac{20}{8} $, $ \frac{15}{10} $, $ \frac{28}{21} $, $ \frac{10}{6} $, $ \frac{14}{4} $;

б) $ \frac{40}{15} $, $ \frac{56}{12} $, $ \frac{42}{9} $, $ \frac{22}{4} $, $ \frac{50}{6} $.

а)

Для того чтобы сократить дробь, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя и разделить их на него. Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби, нужно разделить числитель на знаменатель с остатком. Целая часть результата деления будет целой частью смешанного числа, остаток — числителем дробной части, а знаменатель останется прежним.

$\frac{20}{8}$
Находим НОД для 20 и 8. НОД(20, 8) = 4. Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:
$\frac{20 \div 4}{8 \div 4} = \frac{5}{2}$
Выделяем целую часть: делим 5 на 2. $5 \div 2 = 2$ (остаток 1). Получаем $2\frac{1}{2}$.
Ответ: $2\frac{1}{2}$

$\frac{15}{10}$
НОД(15, 10) = 5. Сокращаем дробь на 5:
$\frac{15 \div 5}{10 \div 5} = \frac{3}{2}$
Выделяем целую часть: $3 \div 2 = 1$ (остаток 1). Получаем $1\frac{1}{2}$.
Ответ: $1\frac{1}{2}$

$\frac{28}{21}$
НОД(28, 21) = 7. Сокращаем дробь на 7:
$\frac{28 \div 7}{21 \div 7} = \frac{4}{3}$
Выделяем целую часть: $4 \div 3 = 1$ (остаток 1). Получаем $1\frac{1}{3}$.
Ответ: $1\frac{1}{3}$

$\frac{10}{6}$
НОД(10, 6) = 2. Сокращаем дробь на 2:
$\frac{10 \div 2}{6 \div 2} = \frac{5}{3}$
Выделяем целую часть: $5 \div 3 = 1$ (остаток 2). Получаем $1\frac{2}{3}$.
Ответ: $1\frac{2}{3}$

$\frac{14}{4}$
НОД(14, 4) = 2. Сокращаем дробь на 2:
$\frac{14 \div 2}{4 \div 2} = \frac{7}{2}$
Выделяем целую часть: $7 \div 2 = 3$ (остаток 1). Получаем $3\frac{1}{2}$.
Ответ: $3\frac{1}{2}$

б)

$\frac{40}{15}$
НОД(40, 15) = 5. Сокращаем дробь на 5:
$\frac{40 \div 5}{15 \div 5} = \frac{8}{3}$
Выделяем целую часть: $8 \div 3 = 2$ (остаток 2). Получаем $2\frac{2}{3}$.
Ответ: $2\frac{2}{3}$

$\frac{56}{12}$
НОД(56, 12) = 4. Сокращаем дробь на 4:
$\frac{56 \div 4}{12 \div 4} = \frac{14}{3}$
Выделяем целую часть: $14 \div 3 = 4$ (остаток 2). Получаем $4\frac{2}{3}$.
Ответ: $4\frac{2}{3}$

$\frac{42}{9}$
НОД(42, 9) = 3. Сокращаем дробь на 3:
$\frac{42 \div 3}{9 \div 3} = \frac{14}{3}$
Выделяем целую часть: $14 \div 3 = 4$ (остаток 2). Получаем $4\frac{2}{3}$.
Ответ: $4\frac{2}{3}$

$\frac{22}{4}$
НОД(22, 4) = 2. Сокращаем дробь на 2:
$\frac{22 \div 2}{4 \div 2} = \frac{11}{2}$
Выделяем целую часть: $11 \div 2 = 5$ (остаток 1). Получаем $5\frac{1}{2}$.
Ответ: $5\frac{1}{2}$

$\frac{50}{6}$
НОД(50, 6) = 2. Сокращаем дробь на 2:
$\frac{50 \div 2}{6 \div 2} = \frac{25}{3}$
Выделяем целую часть: $25 \div 3 = 8$ (остаток 1). Получаем $8\frac{1}{3}$.
Ответ: $8\frac{1}{3}$

780 Запишите смешанную дробь в виде неправильной дроби:

a) $1\frac{1}{2}$, $5\frac{1}{3}$, $3\frac{2}{5}$, $2\frac{3}{4}$, $4\frac{2}{3}$, $1\frac{2}{7}$;

б) $2\frac{1}{2}$, $1\frac{3}{5}$, $6\frac{1}{6}$, $3\frac{4}{9}$, $7\frac{3}{11}$, $5\frac{5}{12}$.

Чтобы представить смешанную дробь в виде неправильной, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель дробной части. Полученное число будет числителем неправильной дроби, а знаменатель останется прежним.

а)

$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$
Ответ: $\frac{3}{2}$

$5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{15 + 1}{3} = \frac{16}{3}$
Ответ: $\frac{16}{3}$

$3\frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{15 + 2}{5} = \frac{17}{5}$
Ответ: $\frac{17}{5}$

$2\frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{8 + 3}{4} = \frac{11}{4}$
Ответ: $\frac{11}{4}$

$4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{12 + 2}{3} = \frac{14}{3}$
Ответ: $\frac{14}{3}$

$1\frac{2}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{7 + 2}{7} = \frac{9}{7}$
Ответ: $\frac{9}{7}$

б)

$2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{4 + 1}{2} = \frac{5}{2}$
Ответ: $\frac{5}{2}$

$1\frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{5 + 3}{5} = \frac{8}{5}$
Ответ: $\frac{8}{5}$

$6\frac{1}{6} = \frac{6 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{36 + 1}{6} = \frac{37}{6}$
Ответ: $\frac{37}{6}$

$3\frac{4}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{27 + 4}{9} = \frac{31}{9}$
Ответ: $\frac{31}{9}$

$7\frac{3}{11} = \frac{7 \cdot 11 + 3}{11} = \frac{77 + 3}{11} = \frac{80}{11}$
Ответ: $\frac{80}{11}$

$5\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 12 + 5}{12} = \frac{60 + 5}{12} = \frac{65}{12}$
Ответ: $\frac{65}{12}$

РАССУЖДАЕМ (781–782)

781 Между какими последовательными натуральными числами заключено число:

а) $13 \over 4$;

б) $26 \over 4$;

в) $32 \over 5}$;

г) $35 \over 17}$;

д) $17 \over 15}$;

е) $54 \over 24}$?

а) Чтобы определить, между какими последовательными натуральными числами находится число $\frac{13}{4}$, нужно преобразовать эту неправильную дробь в смешанное число. Для этого разделим числитель 13 на знаменатель 4 с остатком.
$13 \div 4 = 3$ и $1$ в остатке.
Это значит, что $\frac{13}{4} = 3\frac{1}{4}$.
Число $3\frac{1}{4}$ больше 3, но меньше 4.
Следовательно, $3 < \frac{13}{4} < 4$.
Ответ: между 3 и 4.

б) Преобразуем неправильную дробь $\frac{26}{4}$ в смешанное число. Разделим 26 на 4 с остатком.
$26 \div 4 = 6$ и $2$ в остатке.
Получаем $\frac{26}{4} = 6\frac{2}{4}$. Сократим дробную часть: $6\frac{2}{4} = 6\frac{1}{2}$.
Число $6\frac{1}{2}$ больше 6, но меньше 7.
Следовательно, $6 < \frac{26}{4} < 7$.
Ответ: между 6 и 7.

в) Преобразуем неправильную дробь $\frac{32}{5}$ в смешанное число. Разделим 32 на 5 с остатком.
$32 \div 5 = 6$ и $2$ в остатке.
Это значит, что $\frac{32}{5} = 6\frac{2}{5}$.
Число $6\frac{2}{5}$ больше 6, но меньше 7.
Следовательно, $6 < \frac{32}{5} < 7$.
Ответ: между 6 и 7.

г) Преобразуем неправильную дробь $\frac{35}{17}$ в смешанное число. Разделим 35 на 17 с остатком.
$35 \div 17 = 2$ и $1$ в остатке.
Это значит, что $\frac{35}{17} = 2\frac{1}{17}$.
Число $2\frac{1}{17}$ больше 2, но меньше 3.
Следовательно, $2 < \frac{35}{17} < 3$.
Ответ: между 2 и 3.

д) Преобразуем неправильную дробь $\frac{17}{15}$ в смешанное число. Разделим 17 на 15 с остатком.
$17 \div 15 = 1$ и $2$ в остатке.
Это значит, что $\frac{17}{15} = 1\frac{2}{15}$.
Число $1\frac{2}{15}$ больше 1, но меньше 2.
Следовательно, $1 < \frac{17}{15} < 2$.
Ответ: между 1 и 2.

е) Сначала упростим дробь $\frac{54}{24}$, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 6.
$\frac{54 \div 6}{24 \div 6} = \frac{9}{4}$.
Теперь преобразуем неправильную дробь $\frac{9}{4}$ в смешанное число. Разделим 9 на 4 с остатком.
$9 \div 4 = 2$ и $1$ в остатке.
Это значит, что $\frac{54}{24} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$.
Число $2\frac{1}{4}$ больше 2, но меньше 3.
Следовательно, $2 < \frac{54}{24} < 3$.
Ответ: между 2 и 3.