Страница 205 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

812 РАССУЖДАЕМ Вычислите сумму, используя переместительное и сочетательное свойства сложения:

a) $2\frac{1}{4} + 2\frac{1}{2} + 3\frac{1}{4} + 3\frac{1}{2} + 4\frac{1}{4} + 4\frac{1}{2} + 5\frac{1}{4} + 5\frac{1}{2};$

б) $1\frac{1}{3} + 4\frac{1}{6} + 1\frac{3}{4} + 2\frac{2}{3} + 3\frac{1}{4}.$

а) $2\frac{1}{4} + 2\frac{1}{2} + 3\frac{1}{4} + 3\frac{1}{2} + 4\frac{1}{4} + 4\frac{1}{2} + 5\frac{1}{4} + 5\frac{1}{2}$

Для удобства вычислений сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями в дробной части, используя переместительное и сочетательное свойства сложения:

$(2\frac{1}{4} + 3\frac{1}{4} + 4\frac{1}{4} + 5\frac{1}{4}) + (2\frac{1}{2} + 3\frac{1}{2} + 4\frac{1}{2} + 5\frac{1}{2})$

Теперь вычислим сумму в каждой группе. Для этого можно сложить отдельно целые и дробные части.

Сумма первой группы (со знаменателем 4):

$(2+3+4+5) + (\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}) = 14 + \frac{4}{4} = 14 + 1 = 15$

Сумма второй группы (со знаменателем 2):

$(2+3+4+5) + (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = 14 + \frac{4}{2} = 14 + 2 = 16$

Сложим полученные результаты:

$15 + 16 = 31$

Ответ: 31

б) $1\frac{1}{3} + 4\frac{1}{6} + 1\frac{3}{4} + 2\frac{2}{3} + 3\frac{1}{4}$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями, чтобы упростить сложение. Дробные части некоторых слагаемых в сумме дадут целое число.

$(1\frac{1}{3} + 2\frac{2}{3}) + (1\frac{3}{4} + 3\frac{1}{4}) + 4\frac{1}{6}$

Вычислим сумму в каждой из скобок:

Первая группа: $1\frac{1}{3} + 2\frac{2}{3} = (1+2) + (\frac{1}{3} + \frac{2}{3}) = 3 + \frac{3}{3} = 3 + 1 = 4$

Вторая группа: $1\frac{3}{4} + 3\frac{1}{4} = (1+3) + (\frac{3}{4} + \frac{1}{4}) = 4 + \frac{4}{4} = 4 + 1 = 5$

Теперь сложим полученные суммы и оставшееся слагаемое:

$4 + 5 + 4\frac{1}{6} = 9 + 4\frac{1}{6} = 13\frac{1}{6}$

Ответ: $13\frac{1}{6}$

ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ (813–814)

813 1) Подметьте закономерность в последовательности сумм:

$1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} = 3\frac{3}{4}$,

$1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} + 3\frac{1}{8} = 6\frac{7}{8}$,

$1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} + 3\frac{1}{8} + 4\frac{1}{16} = 10\frac{15}{16}$.

2) Запишите следующее равенство и проверьте результат сложением.

1) Проанализируем данную последовательность сумм. Каждая следующая сумма содержит все слагаемые из предыдущей и одно новое. Новое слагаемое подчиняется правилу: его целая часть на единицу больше целой части предыдущего добавленного слагаемого, а знаменатель его дробной части в два раза больше. Числитель дробной части всегда равен 1. Таким образом, $n$-е слагаемое в общей последовательности имеет вид $n\frac{1}{2^n}$.

Результат каждой суммы также имеет четкую закономерность. Целая часть результата равна сумме целых частей всех слагаемых в данной строке. Например, для третьего равенства целая часть равна $1+2+3+4=10$. Дробная часть результата имеет знаменатель, который совпадает со знаменателем последнего слагаемого в сумме, а числитель на единицу меньше этого знаменателя. Например, в третьем равенстве знаменатель последнего слагаемого равен 16, а числитель в ответе $16-1=15$, то есть дробь равна $\frac{15}{16}$.

Ответ: Целая часть суммы равна сумме целых частей слагаемых. Знаменатель дробной части суммы равен знаменателю последнего слагаемого, а числитель на единицу меньше знаменателя.

2) Чтобы записать следующее равенство, к левой части последнего известного равенства нужно добавить следующее слагаемое в последовательности. После слагаемого $4\frac{1}{16}$ идет слагаемое $5\frac{1}{32}$, так как целая часть увеличивается на 1 ($4+1=5$), а знаменатель удваивается ($16 \times 2 = 32$).

Следующее равенство будет выглядеть так:
$1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} + 3\frac{1}{8} + 4\frac{1}{16} + 5\frac{1}{32} = ?$

Используя найденную в пункте 1 закономерность, предскажем результат. Целая часть будет равна сумме целых частей: $1+2+3+4+5=15$. Дробная часть будет иметь знаменатель 32 и числитель $32-1=31$, то есть $\frac{31}{32}$. Предполагаемый результат: $15\frac{31}{32}$.

Теперь проверим этот результат прямым сложением. Мы можем взять результат предыдущей суммы ($10\frac{15}{16}$) и прибавить к нему новое слагаемое ($5\frac{1}{32}$):
$10\frac{15}{16} + 5\frac{1}{32} = (10+5) + (\frac{15}{16} + \frac{1}{32})$
Сложим дробные части, приведя их к общему знаменателю 32:
$\frac{15}{16} + \frac{1}{32} = \frac{15 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{1}{32} = \frac{30}{32} + \frac{1}{32} = \frac{31}{32}$
Теперь сложим целую и полученную дробную части:
$15 + \frac{31}{32} = 15\frac{31}{32}$
Вычисленный результат совпадает с предсказанным.

Ответ: $1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} + 3\frac{1}{8} + 4\frac{1}{16} + 5\frac{1}{32} = 15\frac{31}{32}$.

814 1) Вычислите разности: $1 - \frac{1}{2}, 2 - \frac{1}{3}, 3 - \frac{1}{4}, 4 - \frac{1}{5}$.

2) Продолжите эту цепочку разностей, записав ещё три выражения. Вычислите значение каждого из них.

3) Какая разность должна стоять на 100-м месте? Чему равно её значение?

1)
Выполним вычисления для каждой из предложенных разностей, приводя целое число к дроби с нужным знаменателем:
$1 - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$2 - \frac{1}{3} = \frac{6}{3} - \frac{1}{3} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$
$3 - \frac{1}{4} = \frac{12}{4} - \frac{1}{4} = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}$
$4 - \frac{1}{5} = \frac{20}{5} - \frac{1}{5} = \frac{19}{5} = 3\frac{4}{5}$
Ответ: $\frac{1}{2}$; $1\frac{2}{3}$; $2\frac{3}{4}$; $3\frac{4}{5}$.

2)
Чтобы продолжить цепочку, заметим закономерность: в каждой следующей разности уменьшаемое (целое число) увеличивается на 1, а знаменатель вычитаемой дроби также увеличивается на 1. Выражение на $n$-м месте имеет вид $n - \frac{1}{n+1}$.
Следующие три выражения в цепочке (для $n=5, 6, 7$):
$5 - \frac{1}{6}$
$6 - \frac{1}{7}$
$7 - \frac{1}{8}$
Вычислим их значения:
$5 - \frac{1}{6} = 4\frac{6}{6} - \frac{1}{6} = 4\frac{5}{6}$
$6 - \frac{1}{7} = 5\frac{7}{7} - \frac{1}{7} = 5\frac{6}{7}$
$7 - \frac{1}{8} = 6\frac{8}{8} - \frac{1}{8} = 6\frac{7}{8}$
Ответ: Следующие три выражения и их значения: $5 - \frac{1}{6} = 4\frac{5}{6}$; $6 - \frac{1}{7} = 5\frac{6}{7}$; $7 - \frac{1}{8} = 6\frac{7}{8}$.

3)
Используя выявленную закономерность, где выражение на $n$-м месте имеет вид $n - \frac{1}{n+1}$, найдем разность для 100-го места, подставив $n=100$.
Выражение на 100-м месте:
$100 - \frac{1}{100+1} = 100 - \frac{1}{101}$
Теперь вычислим значение этой разности:
$100 - \frac{1}{101} = 99\frac{101}{101} - \frac{1}{101} = 99\frac{100}{101}$
Ответ: На 100-м месте должна стоять разность $100 - \frac{1}{101}$, её значение равно $99\frac{100}{101}$.

815 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

1) Разберите, как вычислена разность:

$4\frac{4}{9} - \frac{7}{9} = (4\frac{4}{9} - 1) + \frac{2}{9} = 3\frac{4}{9} + \frac{2}{9} = 3\frac{6}{9} = 3\frac{2}{3}.$

Мы заменили вычитаемое $\frac{7}{9}$ числом 1, а чтобы разность не изменилась, «вернули» $\frac{2}{9}$.

2) Пользуясь рассмотренным приёмом, вычислите:

а) $4\frac{8}{15} - \frac{14}{15};$

б) $3\frac{7}{11} - \frac{9}{11};$

в) $9\frac{1}{21} - 5\frac{20}{21};$

г) $10\frac{5}{64} - 3\frac{61}{64}.$

1) В данном примере используется метод, основанный на округлении вычитаемого для упрощения вычислений. Суть метода в следующем:

Шаг 1. Вычитаемое $\frac{7}{9}$ заменяется на близкое к нему целое число — 1. Это позволяет легко выполнить вычитание из целой части смешанного числа: $4\frac{4}{9} - 1 = 3\frac{4}{9}$.

Шаг 2. Так как мы вычли 1 вместо $\frac{7}{9}$, мы вычли на $1 - \frac{7}{9} = \frac{9}{9} - \frac{7}{9} = \frac{2}{9}$ больше, чем требовалось. Чтобы результат не изменился, эту разницу необходимо скомпенсировать — «вернуть», то есть прибавить к полученному результату.

Шаг 3. К результату первого шага прибавляется вычисленная разница: $3\frac{4}{9} + \frac{2}{9} = 3\frac{4+2}{9} = 3\frac{6}{9}$.

Шаг 4. Полученная дробь сокращается: $3\frac{6}{9} = 3\frac{2}{3}$.

Таким образом, всё вычисление можно записать в одну строку: $4\frac{4}{9} - \frac{7}{9} = (4\frac{4}{9} - 1) + \frac{2}{9} = 3\frac{4}{9} + \frac{2}{9} = 3\frac{6}{9} = 3\frac{2}{3}$.

Ответ: Вычитаемое $\frac{7}{9}$ заменяется на 1 для упрощения вычитания. Поскольку 1 больше, чем $\frac{7}{9}$ на $\frac{2}{9}$, эту разницу затем прибавляют к промежуточному результату, чтобы итоговое значение осталось верным.

2)

а) $4\frac{8}{15} - \frac{14}{15}$

Заменим вычитаемое $\frac{14}{15}$ на 1. Разница, которую нужно будет «вернуть», составляет $1 - \frac{14}{15} = \frac{1}{15}$.

$4\frac{8}{15} - \frac{14}{15} = (4\frac{8}{15} - 1) + \frac{1}{15} = 3\frac{8}{15} + \frac{1}{15} = 3\frac{8+1}{15} = 3\frac{9}{15}$.

Сокращаем дробную часть: $\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $3\frac{3}{5}$.

б) $3\frac{7}{11} - \frac{9}{11}$

Заменим вычитаемое $\frac{9}{11}$ на 1. Разница для компенсации: $1 - \frac{9}{11} = \frac{2}{11}$.

$3\frac{7}{11} - \frac{9}{11} = (3\frac{7}{11} - 1) + \frac{2}{11} = 2\frac{7}{11} + \frac{2}{11} = 2\frac{7+2}{11} = 2\frac{9}{11}$.

Ответ: $2\frac{9}{11}$.

в) $9\frac{1}{21} - 5\frac{20}{21}$

Вычитаемое $5\frac{20}{21}$ близко к 6. Заменим его на 6. Разница, которую нужно «вернуть»: $6 - 5\frac{20}{21} = \frac{1}{21}$.

$9\frac{1}{21} - 5\frac{20}{21} = (9\frac{1}{21} - 6) + \frac{1}{21} = 3\frac{1}{21} + \frac{1}{21} = 3\frac{1+1}{21} = 3\frac{2}{21}$.

Ответ: $3\frac{2}{21}$.

г) $10\frac{5}{64} - 3\frac{61}{64}$

Вычитаемое $3\frac{61}{64}$ близко к 4. Заменим его на 4. Разница для компенсации: $4 - 3\frac{61}{64} = \frac{3}{64}$.

$10\frac{5}{64} - 3\frac{61}{64} = (10\frac{5}{64} - 4) + \frac{3}{64} = 6\frac{5}{64} + \frac{3}{64} = 6\frac{5+3}{64} = 6\frac{8}{64}$.

Сокращаем дробную часть: $\frac{8}{64} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $6\frac{1}{8}$.

816 РАССУЖДАЕМ

Не вычисляя сумму, сравните её с числом 10:

а) $9\frac{9}{10} + \frac{1}{100}$

б) $9\frac{3}{4} + \frac{1}{25}$

в) $9\frac{1}{2} + \frac{3}{4}$

г) $4\frac{1}{2} + 5\frac{1}{3}$

а) Чтобы сравнить сумму $9\frac{9}{10} + \frac{1}{100}$ с числом 10, заметим, что до 10 числу $9\frac{9}{10}$ не хватает $\frac{1}{10}$. Мы же прибавляем $\frac{1}{100}$. Сравним $\frac{1}{10}$ и $\frac{1}{100}$. Так как $\frac{1}{10} = \frac{10}{100}$, то $\frac{1}{100} < \frac{1}{10}$. Значит, мы прибавляем меньше, чем нужно, чтобы получить 10. Следовательно, сумма будет меньше 10. Ответ: $9\frac{9}{10} + \frac{1}{100} < 10$.

б) Чтобы сравнить сумму $9\frac{3}{4} + \frac{1}{25}$ с числом 10, определим, сколько не хватает первому слагаемому до 10: $10 - 9\frac{3}{4} = \frac{1}{4}$. Мы прибавляем к $9\frac{3}{4}$ число $\frac{1}{25}$. Сравним то, что мы прибавляем ($\frac{1}{25}$), с тем, что нужно прибавить для получения 10 ($\frac{1}{4}$). Так как у дробей одинаковые числители, меньше та дробь, у которой знаменатель больше. Поскольку $25 > 4$, то $\frac{1}{25} < \frac{1}{4}$. Следовательно, сумма будет меньше 10. Ответ: $9\frac{3}{4} + \frac{1}{25} < 10$.

в) Сравним сумму $9\frac{1}{2} + \frac{3}{4}$ с числом 10. Первому слагаемому $9\frac{1}{2}$ не хватает до 10 ровно $\frac{1}{2}$. Второе слагаемое равно $\frac{3}{4}$. Сравним $\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{2}$. Приведем $\frac{1}{2}$ к знаменателю 4: $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$. Так как $\frac{3}{4} > \frac{2}{4}$, то мы прибавляем к $9\frac{1}{2}$ число, которое больше, чем необходимо для получения 10. Значит, сумма будет больше 10. Ответ: $9\frac{1}{2} + \frac{3}{4} > 10$.

г) Чтобы сравнить сумму $4\frac{1}{2} + 5\frac{1}{3}$ с числом 10, сложим сначала целые части: $4 + 5 = 9$. Теперь нужно сравнить сумму дробных частей $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ с единицей. Если сумма дробных частей будет меньше 1, то и вся сумма будет меньше 10. Сложим дроби: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$. Так как $\frac{5}{6} < 1$, то и вся сумма $9 + \frac{5}{6}$ будет меньше 10. Ответ: $4\frac{1}{2} + 5\frac{1}{3} < 10$.