Страница 209 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

827 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

1) При умножении смешанной дроби на натуральное число можно пользоваться распределительным свойством. Рассмотрите, как выполнено умножение:

$3 \frac{1}{4} \cdot 2 = \left(3 + \frac{1}{4}\right) \cdot 2 = 3 \cdot 2 + \frac{1}{4} \cdot 2 = 6 + \frac{1}{2} = 6 \frac{1}{2}$

2) Пользуясь этим приёмом, найдите произведение:

а) $3 \frac{1}{8} \cdot 2$;

б) $5 \frac{3}{16} \cdot 4$;

в) $10 \frac{2}{3} \cdot 9$;

г) $11 \frac{3}{5} \cdot 10$.

а) Чтобы найти произведение смешанной дроби $3\frac{1}{8}$ и натурального числа $2$, представим смешанную дробь в виде суммы целой и дробной частей и воспользуемся распределительным свойством умножения:
$3\frac{1}{8} \cdot 2 = (3 + \frac{1}{8}) \cdot 2 = 3 \cdot 2 + \frac{1}{8} \cdot 2 = 6 + \frac{2}{8} = 6 + \frac{1}{4} = 6\frac{1}{4}$.
Ответ: $6\frac{1}{4}$.

б) Чтобы найти произведение смешанной дроби $5\frac{3}{16}$ и натурального числа $4$, представим смешанную дробь в виде суммы целой и дробной частей и воспользуемся распределительным свойством умножения:
$5\frac{3}{16} \cdot 4 = (5 + \frac{3}{16}) \cdot 4 = 5 \cdot 4 + \frac{3}{16} \cdot 4 = 20 + \frac{3 \cdot 4}{16} = 20 + \frac{12}{16} = 20 + \frac{3}{4} = 20\frac{3}{4}$.
Ответ: $20\frac{3}{4}$.

в) Чтобы найти произведение смешанной дроби $10\frac{2}{3}$ и натурального числа $9$, представим смешанную дробь в виде суммы целой и дробной частей и воспользуемся распределительным свойством умножения:
$10\frac{2}{3} \cdot 9 = (10 + \frac{2}{3}) \cdot 9 = 10 \cdot 9 + \frac{2}{3} \cdot 9 = 90 + \frac{2 \cdot 9}{3} = 90 + 2 \cdot 3 = 90 + 6 = 96$.
Ответ: $96$.

г) Чтобы найти произведение смешанной дроби $11\frac{3}{5}$ и натурального числа $10$, представим смешанную дробь в виде суммы целой и дробной частей и воспользуемся распределительным свойством умножения:
$11\frac{3}{5} \cdot 10 = (11 + \frac{3}{5}) \cdot 10 = 11 \cdot 10 + \frac{3}{5} \cdot 10 = 110 + \frac{3 \cdot 10}{5} = 110 + 3 \cdot 2 = 110 + 6 = 116$.
Ответ: $116$.

828 Скорость велосипедиста 12 км/ч. Какое расстояние он проедет за 3 ч? за $\frac{3}{4}$ ч? за $1\frac{1}{2}$ ч?

Для решения задачи воспользуемся основной формулой для нахождения расстояния: расстояние равно произведению скорости на время. Формула выглядит так: $s = v \cdot t$, где $s$ – расстояние, $v$ – скорость, а $t$ – время.

Скорость велосипедиста $v = 12$ км/ч.

за 3 ч
Чтобы найти расстояние, которое велосипедист проедет за 3 часа, умножим его скорость на время:
$s = 12 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 36 \text{ км}$.
Ответ: 36 км.

за 3/4 ч
Чтобы найти расстояние, которое велосипедист проедет за $ \frac{3}{4} $ часа, умножим его скорость на это время:
$s = 12 \text{ км/ч} \cdot \frac{3}{4} \text{ ч} = \frac{12 \cdot 3}{4} = \frac{36}{4} = 9 \text{ км}$.
Ответ: 9 км.

за 1 1/2 ч
Сначала представим время $1\frac{1}{2}$ ч в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ ч. Теперь умножим скорость на это время:
$s = 12 \text{ км/ч} \cdot \frac{3}{2} \text{ ч} = \frac{12 \cdot 3}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ км}$.
Ответ: 18 км.

829 В одном часе 60 мин. Сколько минут содержится:

а) в $1\frac{1}{3}$ ч;

б) в $2\frac{5}{12}$ ч;

в) в $3\frac{3}{4}$ ч;

г) в $1\frac{5}{6}$ ч?

а) Чтобы найти, сколько минут содержится в $1\frac{1}{3}$ часа, нужно умножить это значение на 60, так как в одном часе 60 минут. Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$ ч. Теперь умножим полученное значение на 60: $\frac{4}{3} \cdot 60 = \frac{4 \cdot 60}{3} = 4 \cdot 20 = 80$ мин. Ответ: 80 минут.

б) Чтобы найти, сколько минут содержится в $2\frac{5}{12}$ часа, умножим это число на 60. Переведем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{5}{12} = \frac{2 \cdot 12 + 5}{12} = \frac{24 + 5}{12} = \frac{29}{12}$ ч. Умножим полученную дробь на 60: $\frac{29}{12} \cdot 60 = \frac{29 \cdot 60}{12} = 29 \cdot 5 = 145$ мин. Ответ: 145 минут.

в) Чтобы найти, сколько минут содержится в $3\frac{3}{4}$ часа, умножим это число на 60. Переведем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{12 + 3}{4} = \frac{15}{4}$ ч. Умножим полученную дробь на 60: $\frac{15}{4} \cdot 60 = \frac{15 \cdot 60}{4} = 15 \cdot 15 = 225$ мин. Ответ: 225 минут.

г) Чтобы найти, сколько минут содержится в $1\frac{5}{6}$ часа, умножим это число на 60. Переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{5}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{11}{6}$ ч. Умножим полученную дробь на 60: $\frac{11}{6} \cdot 60 = \frac{11 \cdot 60}{6} = 11 \cdot 10 = 110$ мин. Ответ: 110 минут.

830. В одном километре 1000 м. Сколько метров содержится:

а) в $5\frac{1}{20}$ км;

б) в $3\frac{7}{10}$ км;

в) в $4\frac{3}{5}$ км;

г) в $1\frac{3}{4}$ км?

а) Чтобы найти, сколько метров содержится в $5\frac{1}{20}$ км, необходимо это значение умножить на 1000, так как в одном километре 1000 метров.
Представим смешанное число $5\frac{1}{20}$ км как сумму целой и дробной частей: $5$ км и $\frac{1}{20}$ км.
Переведем в метры целую часть: $5 \text{ км} = 5 \times 1000 \text{ м} = 5000 \text{ м}$.
Теперь переведем в метры дробную часть: $\frac{1}{20} \text{ км} = \frac{1}{20} \times 1000 \text{ м} = \frac{1000}{20} \text{ м} = 50 \text{ м}$.
Сложим полученные значения: $5000 \text{ м} + 50 \text{ м} = 5050 \text{ м}$.
Ответ: 5050 м.

б) Чтобы найти, сколько метров содержится в $3\frac{7}{10}$ км, умножим это значение на 1000.
Представим $3\frac{7}{10}$ км как сумму $3$ км и $\frac{7}{10}$ км.
Переведем в метры целую часть: $3 \text{ км} = 3 \times 1000 \text{ м} = 3000 \text{ м}$.
Переведем в метры дробную часть: $\frac{7}{10} \text{ км} = \frac{7}{10} \times 1000 \text{ м} = 7 \times 100 \text{ м} = 700 \text{ м}$.
Сложим результаты: $3000 \text{ м} + 700 \text{ м} = 3700 \text{ м}$.
Ответ: 3700 м.

в) Чтобы найти, сколько метров содержится в $4\frac{3}{5}$ км, умножим это значение на 1000.
Представим $4\frac{3}{5}$ км как сумму $4$ км и $\frac{3}{5}$ км.
Переведем в метры целую часть: $4 \text{ км} = 4 \times 1000 \text{ м} = 4000 \text{ м}$.
Переведем в метры дробную часть: $\frac{3}{5} \text{ км} = \frac{3}{5} \times 1000 \text{ м} = 3 \times 200 \text{ м} = 600 \text{ м}$.
Сложим результаты: $4000 \text{ м} + 600 \text{ м} = 4600 \text{ м}$.
Ответ: 4600 м.

г) Чтобы найти, сколько метров содержится в $1\frac{3}{4}$ км, умножим это значение на 1000.
Представим $1\frac{3}{4}$ км как сумму $1$ км и $\frac{3}{4}$ км.
Переведем в метры целую часть: $1 \text{ км} = 1 \times 1000 \text{ м} = 1000 \text{ м}$.
Переведем в метры дробную часть: $\frac{3}{4} \text{ км} = \frac{3}{4} \times 1000 \text{ м} = 3 \times 250 \text{ м} = 750 \text{ м}$.
Сложим результаты: $1000 \text{ м} + 750 \text{ м} = 1750 \text{ м}$.
Ответ: 1750 м.

831 а) Сколько часов длятся 5 уроков, если один урок длится $\frac{3}{4}$ ч?

б) В сутках 24 ч. Поход продолжался $3\frac{2}{3}$ суток. Сколько это часов?

а) Чтобы найти общую продолжительность 5 уроков, необходимо умножить количество уроков на длительность одного урока.

Длительность одного урока составляет $\frac{3}{4}$ часа.

Общая длительность 5 уроков равна: $5 \times \frac{3}{4} = \frac{5 \times 3}{4} = \frac{15}{4}$ ч.

Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число, разделим числитель на знаменатель: $15 \div 4 = 3$ с остатком $3$. Таким образом, получаем $3\frac{3}{4}$ часа.

Ответ: $3\frac{3}{4}$ часа.

б) В сутках 24 часа. Чтобы узнать, сколько часов продолжался поход, нужно умножить продолжительность похода в сутках на количество часов в сутках.

Продолжительность похода: $3\frac{2}{3}$ суток.

Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби: $3\frac{2}{3} = \frac{3 \times 3 + 2}{3} = \frac{11}{3}$.

Теперь умножим это значение на 24 часа: $\frac{11}{3} \times 24 = 11 \times \frac{24}{3} = 11 \times 8 = 88$ часов.

Ответ: 88 часов.

832 Исследуем

1) Сравните число $a$ и произведение $a \cdot \frac{3}{4}$, если $a = 4, 15, \frac{1}{3}, \frac{3}{2}$. Как изменяется число при умножении его на правильную дробь – увеличивается или уменьшается?

2) Сравните число $b$ и произведение $b \cdot \frac{4}{3}$, если $b = 4, 15, \frac{1}{3}, \frac{3}{2}$. Как изменяется число при умножении его на неправильную дробь – увеличивается или уменьшается?

3) Какой смысл имеет слово «умножение» в русском языке? Сохраняется ли смысл этого слова, когда мы говорим об умножении на дробное число?

1) Сравните число $a$ и произведение $a \cdot \frac{3}{4}$, если $a = 4, 15, \frac{1}{3}, \frac{3}{2}$. Как изменяется число при умножении его на правильную дробь — увеличивается или уменьшается?

Проведем сравнение для каждого значения $a$. Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя, поэтому она всегда меньше 1. В данном случае это дробь $\frac{3}{4}$.

• Если $a = 4$: произведение равно $4 \cdot \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 3}{4} = 3$. Так как $3 < 4$, то $a \cdot \frac{3}{4} < a$.

• Если $a = 15$: произведение равно $15 \cdot \frac{3}{4} = \frac{45}{4} = 11\frac{1}{4}$. Так как $11\frac{1}{4} < 15$, то $a \cdot \frac{3}{4} < a$.

• Если $a = \frac{1}{3}$: произведение равно $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$. Сравним $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{4}$. Приведем к общему знаменателю 12: $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$, а $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$. Так как $\frac{3}{12} < \frac{4}{12}$, то $\frac{1}{4} < \frac{1}{3}$, следовательно, $a \cdot \frac{3}{4} < a$.

• Если $a = \frac{3}{2}$: произведение равно $\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{8}$. Сравним $\frac{3}{2}$ и $\frac{9}{8}$. Приведем к общему знаменателю 8: $\frac{3}{2} = \frac{12}{8}$. Так как $\frac{9}{8} < \frac{12}{8}$, то $\frac{9}{8} < \frac{3}{2}$, следовательно, $a \cdot \frac{3}{4} < a$.

Во всех случаях произведение оказывается меньше исходного числа $a$. Это происходит потому, что умножение на число, меньшее 1, эквивалентно взятию части от этого числа.

Ответ: Произведение $a \cdot \frac{3}{4}$ всегда меньше, чем $a$ (для $a > 0$). При умножении числа на правильную дробь оно уменьшается.

2) Сравните число $b$ и произведение $b \cdot \frac{4}{3}$, если $b = 4, 15, \frac{1}{3}, \frac{3}{2}$. Как изменяется число при умножении его на неправильную дробь — увеличивается или уменьшается?

Проведем сравнение для каждого значения $b$. Неправильная дробь (если она не равна 1) — это дробь, у которой числитель больше знаменателя, поэтому она всегда больше 1. В данном случае это дробь $\frac{4}{3}$.

• Если $b = 4$: произведение равно $4 \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}$. Так как $5\frac{1}{3} > 4$, то $b \cdot \frac{4}{3} > b$.

• Если $b = 15$: произведение равно $15 \cdot \frac{4}{3} = \frac{15 \cdot 4}{3} = 5 \cdot 4 = 20$. Так как $20 > 15$, то $b \cdot \frac{4}{3} > b$.

• Если $b = \frac{1}{3}$: произведение равно $\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{9}$. Сравним $\frac{1}{3}$ и $\frac{4}{9}$. Приведем к общему знаменателю 9: $\frac{1}{3} = \frac{3}{9}$. Так как $\frac{4}{9} > \frac{3}{9}$, то $\frac{4}{9} > \frac{1}{3}$, следовательно, $b \cdot \frac{4}{3} > b$.

• Если $b = \frac{3}{2}$: произведение равно $\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$. Сравним $\frac{3}{2}$ и $2$. Так как $\frac{3}{2} = 1,5$, а $1,5 < 2$, то $2 > \frac{3}{2}$, следовательно, $b \cdot \frac{4}{3} > b$.

Во всех случаях произведение оказывается больше исходного числа $b$. Это происходит потому, что умножение на число, большее 1, приводит к увеличению исходного числа.

Ответ: Произведение $b \cdot \frac{4}{3}$ всегда больше, чем $b$ (для $b > 0$). При умножении числа на неправильную дробь (большую 1) оно увеличивается.

3) Какой смысл имеет слово «умножение» в русском языке? Сохраняется ли смысл этого слова, когда мы говорим об умножении на дробное число?

В бытовом русском языке слово «умножение» происходит от глагола «множить» и несет в себе смысл увеличения, приумножения, увеличения количества чего-либо. Например, «умножить капитал» означает сделать его больше.

При переходе к математической операции умножения на дробное число этот изначальный смысл сохраняется не всегда.

• При умножении на дробное число, которое больше 1 (неправильная дробь), результат действительно становится больше исходного числа, и бытовой смысл «увеличения» сохраняется.

• Однако при умножении на дробное число, которое меньше 1 (правильная дробь), результат становится меньше исходного числа. В этом случае операция «умножение» приводит к уменьшению. Например, умножить на $\frac{1}{2}$ означает найти половину числа, то есть уменьшить его. Это противоречит бытовому значению слова.

Таким образом, в математике термин «умножение» имеет более общее, абстрактное значение, чем в повседневной речи. Он описывает операцию, которая может как увеличивать, так и уменьшать число, в зависимости от множителя.

Ответ: В русском языке слово «умножение» означает увеличение, приумножение. Этот смысл не всегда сохраняется при умножении на дробное число. Он сохраняется при умножении на дробь больше единицы, но при умножении на дробь меньше единицы происходит уменьшение, что противоречит бытовому смыслу слова.

Найдите значение выражения (833–834).

833 а) $ (\frac{4}{5} - \frac{11}{15}) \cdot \frac{5}{11} $

б) $ \frac{7}{88} \cdot (\frac{8}{21} + \frac{8}{7}) $

в) $ \frac{3}{7} \cdot (\frac{1}{4} + \frac{7}{12}) $

а) $(\frac{4}{5} - \frac{11}{15}) \cdot \frac{5}{11}$

В первую очередь выполняем действие в скобках — вычитание дробей. Для этого необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 15 это 15.

Приводим первую дробь к знаменателю 15, домножив числитель и знаменатель на 3:

$\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{12}{15}$

Теперь выполняем вычитание:

$\frac{12}{15} - \frac{11}{15} = \frac{12 - 11}{15} = \frac{1}{15}$

Далее, умножаем результат на вторую дробь:

$\frac{1}{15} \cdot \frac{5}{11} = \frac{1 \cdot 5}{15 \cdot 11}$

Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$\frac{1 \cdot \cancel{5}}{3 \cdot \cancel{5} \cdot 11} = \frac{1}{3 \cdot 11} = \frac{1}{33}$

Ответ: $\frac{1}{33}$

б) $\frac{7}{88} \cdot (\frac{8}{21} + \frac{8}{7})$

Сначала выполняем действие в скобках — сложение дробей. Для этого приводим их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 21 и 7 это 21.

Приводим вторую дробь к знаменателю 21, домножив числитель и знаменатель на 3:

$\frac{8}{7} = \frac{8 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{24}{21}$

Теперь выполняем сложение:

$\frac{8}{21} + \frac{24}{21} = \frac{8 + 24}{21} = \frac{32}{21}$

Далее, умножаем результат на первую дробь:

$\frac{7}{88} \cdot \frac{32}{21} = \frac{7 \cdot 32}{88 \cdot 21}$

Сокращаем дробь. Можно сократить 7 и 21 на 7, а 32 и 88 на 8:

$\frac{\cancel{7}^1 \cdot \cancel{32}^4}{\cancel{88}^{11} \cdot \cancel{21}^3} = \frac{1 \cdot 4}{11 \cdot 3} = \frac{4}{33}$

Ответ: $\frac{4}{33}$

в) $\frac{3}{7} \cdot (\frac{1}{4} + \frac{7}{12})$

Сначала выполняем действие в скобках — сложение дробей. Приводим их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 12 это 12.

Приводим первую дробь к знаменателю 12, домножив числитель и знаменатель на 3:

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}$

Теперь выполняем сложение:

$\frac{3}{12} + \frac{7}{12} = \frac{3 + 7}{12} = \frac{10}{12}$

Сократим полученную дробь на 2:

$\frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

Далее, умножаем результат на первую дробь:

$\frac{3}{7} \cdot \frac{5}{6} = \frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 6}$

Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$\frac{\cancel{3}^1 \cdot 5}{7 \cdot \cancel{6}^2} = \frac{1 \cdot 5}{7 \cdot 2} = \frac{5}{14}$

Ответ: $\frac{5}{14}$

834 а) $\frac{1}{4} + \frac{3}{8} \cdot 1\frac{2}{3}$;

б) $1\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{14} - \frac{1}{10}$;

в) $3\frac{1}{6} \cdot 1\frac{1}{2} - 4$.

а) $\frac{1}{4} + \frac{3}{8} \cdot 1\frac{2}{3}$

Решим пример по действиям, соблюдая порядок их выполнения (сначала умножение, затем сложение).

1. Выполним умножение. Для этого сначала преобразуем смешанное число $1\frac{2}{3}$ в неправильную дробь.

$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

Теперь умножим дроби, предварительно сократив их:

$\frac{3}{8} \cdot \frac{5}{3} = \frac{\cancel{3} \cdot 5}{8 \cdot \cancel{3}} = \frac{5}{8}$

2. Выполним сложение. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 8 это 8.

$\frac{1}{4} + \frac{5}{8} = \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{5}{8} = \frac{2}{8} + \frac{5}{8} = \frac{2 + 5}{8} = \frac{7}{8}$

Ответ: $\frac{7}{8}$

б) $1\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{14} - \frac{1}{10}$

Решим пример по действиям (сначала умножение, затем вычитание).

1. Выполним умножение. Преобразуем смешанное число $1\frac{1}{6}$ в неправильную дробь.

$1\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{7}{6}$

Теперь умножим дроби, предварительно сократив их:

$\frac{7}{6} \cdot \frac{3}{14} = \frac{7 \cdot 3}{6 \cdot 14} = \frac{\cancel{7}^1 \cdot \cancel{3}^1}{\cancel{6}^2 \cdot \cancel{14}^2} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$

2. Выполним вычитание. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 10 это 20.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{10} = \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} - \frac{1 \cdot 2}{10 \cdot 2} = \frac{5}{20} - \frac{2}{20} = \frac{5 - 2}{20} = \frac{3}{20}$

Ответ: $\frac{3}{20}$

в) $3\frac{1}{6} \cdot 1\frac{1}{2} - 4$

Решим пример по действиям (сначала умножение, затем вычитание).

1. Выполним умножение. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$3\frac{1}{6} = \frac{3 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{19}{6}$

$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

Теперь умножим дроби, предварительно сократив их:

$\frac{19}{6} \cdot \frac{3}{2} = \frac{19 \cdot 3}{6 \cdot 2} = \frac{19 \cdot \cancel{3}^1}{\cancel{6}^2 \cdot 2} = \frac{19 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{19}{4}$

2. Выполним вычитание. Представим целое число 4 в виде дроби со знаменателем 4.

$4 = \frac{4 \cdot 4}{4} = \frac{16}{4}$

$\frac{19}{4} - \frac{16}{4} = \frac{19 - 16}{4} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

835 а) Спортивная площадка имеет форму прямоугольника с размерами $10\frac{1}{2}$ м и 16 м. Чему равна её площадь?

б) Чему равна площадь комнаты, имеющей форму прямоугольника с размерами $5\frac{1}{2}$ м и $3\frac{1}{2}$ м?

а)

Для нахождения площади прямоугольной спортивной площадки необходимо умножить её длину на ширину. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ — его стороны.

Дано:
Сторона $a = 10\frac{1}{2}$ м
Сторона $b = 16$ м

Сначала преобразуем смешанное число $10\frac{1}{2}$ в неправильную дробь:

$10\frac{1}{2} = \frac{10 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{21}{2}$

Теперь вычислим площадь, умножив стороны:

$S = \frac{21}{2} \cdot 16 = \frac{21 \cdot 16}{2}$

Сократим дробь на 2:

$S = 21 \cdot \frac{16}{2} = 21 \cdot 8 = 168$ м².

Ответ: 168 м².

б)

Для нахождения площади комнаты прямоугольной формы также используем формулу $S = a \cdot b$.

Дано:
Сторона $a = 5\frac{1}{2}$ м
Сторона $b = 3\frac{1}{2}$ м

Преобразуем оба смешанных числа в неправильные дроби:

$5\frac{1}{2} = \frac{5 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{11}{2}$

$3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$

Теперь умножим полученные дроби:

$S = \frac{11}{2} \cdot \frac{7}{2} = \frac{11 \cdot 7}{2 \cdot 2} = \frac{77}{4}$ м².

Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число, разделив числитель на знаменатель с остатком:

$77 \div 4 = 19$ (остаток 1)

Таким образом, $S = 19\frac{1}{4}$ м².

Ответ: $19\frac{1}{4}$ м².