Страница 211 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

842 РАССУЖДАЕМ Расположите в порядке возрастания числа:

а) $ \frac{3}{2}, \frac{2}{3}, \left(\frac{3}{2}\right)^2; $

б) $ \frac{2}{5}, \left(\frac{2}{5}\right)^2, \left(\frac{2}{5}\right)^3; $

в) $ \frac{5}{4}, \frac{4}{5}, \left(\frac{4}{5}\right)^2. $

а) Чтобы расположить числа $\frac{3}{2}$, $\frac{2}{3}$ и $(\frac{3}{2})^2$ в порядке возрастания, вычислим их значения.

1. $\frac{3}{2} = 1,5$

2. $\frac{2}{3} \approx 0,67$

3. $(\frac{3}{2})^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4} = 2,25$

Теперь сравним полученные значения: $0,67 < 1,5 < 2,25$.

Следовательно, в порядке возрастания числа располагаются так: $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{2}$, $(\frac{3}{2})^2$.

Ответ: $\frac{2}{3}, \frac{3}{2}, (\frac{3}{2})^2$.

б) Чтобы расположить числа $\frac{2}{5}$, $(\frac{2}{5})^2$ и $(\frac{2}{5})^3$ в порядке возрастания, вычислим их значения.

1. $\frac{2}{5} = 0,4$

2. $(\frac{2}{5})^2 = \frac{2^2}{5^2} = \frac{4}{25} = 0,16$

3. $(\frac{2}{5})^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125} = 0,064$

Можно также воспользоваться свойством: для правильной дроби (число от 0 до 1) чем больше показатель степени, тем меньше значение. Так как $\frac{2}{5} < 1$, то $(\frac{2}{5})^3 < (\frac{2}{5})^2 < \frac{2}{5}$.

Сравним полученные значения: $0,064 < 0,16 < 0,4$.

Следовательно, в порядке возрастания числа располагаются так: $(\frac{2}{5})^3$, $(\frac{2}{5})^2$, $\frac{2}{5}$.

Ответ: $(\frac{2}{5})^3, (\frac{2}{5})^2, \frac{2}{5}$.

в) Чтобы расположить числа $\frac{5}{4}$, $\frac{4}{5}$ и $(\frac{4}{5})^2$ в порядке возрастания, вычислим их значения.

1. $\frac{5}{4} = 1,25$

2. $\frac{4}{5} = 0,8$

3. $(\frac{4}{5})^2 = \frac{4^2}{5^2} = \frac{16}{25} = 0,64$

Теперь сравним полученные значения: $0,64 < 0,8 < 1,25$.

Следовательно, в порядке возрастания числа располагаются так: $(\frac{4}{5})^2$, $\frac{4}{5}$, $\frac{5}{4}$.

Ответ: $(\frac{4}{5})^2, \frac{4}{5}, \frac{5}{4}$.

843 НАБЛЮДАЕМ Рассмотрите последовательность чисел:

$\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3, \dots$

Начиная с какого показателя степени числа в этой последовательности будут меньше $\frac{1}{10}$? $\frac{1}{100}$? $\frac{1}{1000}$?

Данная последовательность чисел представляет собой степени числа $\frac{1}{2}$. Общий член этой последовательности можно записать формулой $a_n = (\frac{1}{2})^n = \frac{1}{2^n}$, где $n$ — натуральное число, являющееся показателем степени.

Чтобы найти, начиная с какого показателя степени $n$ члены последовательности будут меньше заданного числа, нужно решить соответствующее неравенство для каждого случая.

...будут меньше $\frac{1}{10}$?

Мы ищем наименьшее натуральное число $n$, для которого выполняется неравенство: $(\frac{1}{2})^n < \frac{1}{10}$ Это неравенство равносильно следующему: $\frac{1}{2^n} < \frac{1}{10}$ Поскольку обе части неравенства положительны, мы можем взять обратные им числа, изменив при этом знак неравенства на противоположный: $2^n > 10$ Теперь подберем наименьшее натуральное $n$, удовлетворяющее этому условию, проверяя степени числа 2: $2^3 = 8$ (не больше 10) $2^4 = 16$ (больше 10) Следовательно, наименьший показатель степени, при котором неравенство выполняется, это 4.

Ответ: 4.

...будут меньше $\frac{1}{100}$?

Аналогично, решаем неравенство: $(\frac{1}{2})^n < \frac{1}{100}$ Это неравенство равносильно $2^n > 100$. Продолжим проверку степеней числа 2: $2^6 = 64$ (не больше 100) $2^7 = 128$ (больше 100) Таким образом, наименьший показатель степени, удовлетворяющий условию, равен 7.

Ответ: 7.

...будут меньше $\frac{1}{1000}$?

Решаем неравенство: $(\frac{1}{2})^n < \frac{1}{1000}$ Это неравенство равносильно $2^n > 1000$. Продолжим проверку степеней числа 2: $2^9 = 512$ (не больше 1000) $2^{10} = 1024$ (больше 1000) Следовательно, наименьший показатель степени, удовлетворяющий условию, равен 10.

Ответ: 10.

844 Какое из данных выражений имеет наименьшее значение:

$1 - \frac{1}{100}$, $1 - \left(\frac{1}{100}\right)^2$, $\left(1 - \frac{1}{100}\right)^2$?

Чтобы определить, какое из данных выражений имеет наименьшее значение, вычислим значение каждого из них.

$1 - \frac{1}{100}$

$1 - \frac{1}{100} = \frac{100}{100} - \frac{1}{100} = \frac{99}{100} = 0.99$

$1 - \left(\frac{1}{100}\right)^2$

$1 - \left(\frac{1}{100}\right)^2 = 1 - \frac{1^2}{100^2} = 1 - \frac{1}{10000} = \frac{10000}{10000} - \frac{1}{10000} = \frac{9999}{10000} = 0.9999$

$\left(1 - \frac{1}{100}\right)^2$

$\left(1 - \frac{1}{100}\right)^2 = \left(\frac{99}{100}\right)^2 = \frac{99^2}{100^2} = \frac{9801}{10000} = 0.9801$

Теперь сравним полученные значения: $0.99$, $0.9999$ и $0.9801$.

Наименьшим из этих чисел является $0.9801$, которое соответствует третьему выражению.

Ответ: $\left(1 - \frac{1}{100}\right)^2$.

845 Все стулья, находящиеся в актовом зале, можно расставить одинаковыми рядами — по 14 стульев в ряду или по 16 стульев в ряду. Какое минимальное количество стульев должно находиться в зале?

Пусть искомое количество стульев равно $N$. По условию, все стулья можно расставить рядами по 14 или по 16. Это означает, что общее количество стульев $N$ должно делиться без остатка как на 14, так и на 16. Чтобы найти минимальное возможное количество стульев, нам нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 14 и 16.

Для нахождения НОК разложим числа 14 и 16 на простые множители:
$14 = 2 \cdot 7$
$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$

Теперь, чтобы найти НОК, возьмем каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножим их:
$НОК(14, 16) = 2^4 \cdot 7^1 = 16 \cdot 7 = 112$

Следовательно, минимальное количество стульев, которое может находиться в зале, равно 112. При таком количестве стульев их можно расставить в $112 / 14 = 8$ рядов по 14 стульев или в $112 / 16 = 7$ рядов по 16 стульев.
Ответ: 112.

846 Запишите все трёхзначные числа, сумма цифр которых равна 3.

846

Чтобы найти все трёхзначные числа, сумма цифр которых равна 3, необходимо рассмотреть все возможные комбинации цифр, удовлетворяющие заданному условию.

Трёхзначное число можно представить в виде $abc$, где $a$ — цифра сотен, $b$ — цифра десятков, и $c$ — цифра единиц. Основные условия:

• Первая цифра $a$ не может быть нулём, так как число трёхзначное: $a \in \{1, 2, 3, ..., 9\}$.
• Сумма цифр равна 3: $a + b + c = 3$.

Будем последовательно перебирать все возможные значения для первой цифры $a$.

Случай 1: Первая цифра $a = 3$.

Подставляем значение $a$ в уравнение суммы: $3 + b + c = 3$.

Отсюда следует, что $b + c = 0$. Так как цифры $b$ и $c$ не могут быть отрицательными, единственное возможное решение — это $b = 0$ и $c = 0$.

Получаем число: 300. (Проверка: $3 + 0 + 0 = 3$)

Случай 2: Первая цифра $a = 2$.

Подставляем $a=2$ в уравнение: $2 + b + c = 3$.

Отсюда $b + c = 1$. Для этой суммы возможны два варианта разбиения на две цифры:

• $b = 1$, $c = 0$. Получаем число 210. (Проверка: $2 + 1 + 0 = 3$)
• $b = 0$, $c = 1$. Получаем число 201. (Проверка: $2 + 0 + 1 = 3$)

Случай 3: Первая цифра $a = 1$.

Подставляем $a=1$ в уравнение: $1 + b + c = 3$.

Отсюда $b + c = 2$. Для этой суммы возможны три варианта разбиения:

• $b = 2$, $c = 0$. Получаем число 120. (Проверка: $1 + 2 + 0 = 3$)
• $b = 1$, $c = 1$. Получаем число 111. (Проверка: $1 + 1 + 1 = 3$)
• $b = 0$, $c = 2$. Получаем число 102. (Проверка: $1 + 0 + 2 = 3$)

Первая цифра $a$ не может быть больше 3, так как в этом случае сумма цифр $a+b+c$ будет больше 3 (поскольку $b \ge 0$ и $c \ge 0$).

Таким образом, мы нашли все возможные трёхзначные числа. Запишем их в порядке возрастания: 102, 111, 120, 201, 210, 300.

Ответ: 102, 111, 120, 201, 210, 300.

847 ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ

Вычислите значение каждого из выражений:

$2 - \frac{1}{2}$, $3 - \frac{1}{3}$, $4 - \frac{1}{4}$, $5 - \frac{1}{5}$.

Запишите следующую разность в цепочке данных выражений. Догадайтесь, чему она равна (проверьте вычислением). Какая разность будет на 10-м месте? Не вычисляя, запишите её значение.

Вычислите значение каждого из выражений:

$2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

$3 - \frac{1}{3} = \frac{9}{3} - \frac{1}{3} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$

$4 - \frac{1}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4}$

$5 - \frac{1}{5} = \frac{25}{5} - \frac{1}{5} = \frac{24}{5} = 4\frac{4}{5}$

Ответ: $1\frac{1}{2}$; $2\frac{2}{3}$; $3\frac{3}{4}$; $4\frac{4}{5}$.

Запишите следующую разность в цепочке данных выражений. Догадайтесь, чему она равна (проверьте вычислением).

Сначала проанализируем последовательность выражений. Каждое выражение имеет вид $n - \frac{1}{n}$. В представленной цепочке $n$ последовательно принимает значения 2, 3, 4, 5. Следовательно, следующим членом последовательности будет выражение при $n=6$.

Следующая разность в цепочке: $6 - \frac{1}{6}$.

Теперь посмотрим на результаты вычислений: $1\frac{1}{2}$, $2\frac{2}{3}$, $3\frac{3}{4}$, $4\frac{4}{5}$. Можно заметить, что результат вычисления выражения $n - \frac{1}{n}$ равен смешанному числу $(n-1)\frac{n-1}{n}$.

Основываясь на этой закономерности, можно предположить, что значение выражения $6 - \frac{1}{6}$ будет равно $(6-1)\frac{6-1}{6} = 5\frac{5}{6}$.

Проверим это предположение прямым вычислением:

$6 - \frac{1}{6} = \frac{36}{6} - \frac{1}{6} = \frac{35}{6} = 5\frac{5}{6}$.

Предположение подтвердилось.

Ответ: Следующая разность в цепочке — $6 - \frac{1}{6}$, ее значение равно $5\frac{5}{6}$.

Какая разность будет на 10-м месте? Не вычисляя, запишите её значение.

В данной последовательности на первом месте стоит выражение с $n=2$, на втором месте — с $n=3$, и так далее. Таким образом, номер $k$ в последовательности связан с числом $n$ формулой $n = k + 1$.

Следовательно, на 10-м месте ($k=10$) будет стоять разность, у которой $n = 10 + 1 = 11$.

Сама разность будет иметь вид: $11 - \frac{1}{11}$.

Используя установленную ранее закономерность, что значение выражения $n - \frac{1}{n}$ равно $(n-1)\frac{n-1}{n}$, мы можем записать результат без вычислений.

Для $n=11$ значение будет равно $(11-1)\frac{11-1}{11} = 10\frac{10}{11}$.

Ответ: Разность на 10-м месте — $11 - \frac{1}{11}$, её значение — $10\frac{10}{11}$.

848 Какой из кругов (рис. 9.6) составлен из двух равных частей? Нарисуйте эту часть круга в тетради.

Рис. 9.6

Чтобы определить, какой из кругов составлен из двух равных частей, необходимо проанализировать, являются ли эти части одинаковыми по форме и площади (то есть, конгруэнтными). Сделаем это для каждого рисунка.

а)

Рассмотрим круг на рисунке а). Разделяющая линия представляет собой S-образную кривую, которая проходит через центр круга. Эта кривая состоит из двух одинаковых полуокружностей, построенных на двух соседних радиусах, лежащих на одной прямой (диаметре). У такой фигуры есть центральная симметрия. Если мысленно повернуть верхнюю часть на 180 градусов ($180^\circ$) вокруг центра большого круга, она в точности совпадет с нижней частью. Это означает, что обе части равны.

Также можно доказать равенство площадей. Пусть радиус большого круга равен $R$. Тогда его общая площадь $S_{круг} = \pi R^2$. Разделяющая линия образована двумя полуокружностями, радиус каждой из которых равен $r = R/2$. Площадь верхней фигуры можно рассчитать как площадь верхней половины большого круга, из которой вырезана правая маленькая полуокружность и к которой добавлена левая маленькая полуокружность. $S_{верх} = (\frac{1}{2}\pi R^2) - (\frac{1}{2}\pi r^2) + (\frac{1}{2}\pi r^2) = \frac{1}{2}\pi R^2$. Площадь верхней части составляет ровно половину площади всего круга. Следовательно, площадь нижней части также равна половине, и части равны.

б)

Рассмотрим круг на рисунке б). Здесь разделяющая линия также состоит из двух полуокружностей радиусом $r=R/2$, но обе они выгнуты в одну сторону (вверх). Уже визуально можно определить, что верхняя часть круга значительно меньше нижней. Такая фигура не обладает симметрией, которая бы обеспечивала равенство частей.

Проверим это расчетом площадей. Площадь верхней части равна площади верхней половины большого круга минус площади двух маленьких полуокружностей: $S_{верх} = \frac{1}{2}\pi R^2 - 2 \cdot (\frac{1}{2}\pi r^2) = \frac{1}{2}\pi R^2 - \pi (\frac{R}{2})^2 = \frac{1}{2}\pi R^2 - \frac{1}{4}\pi R^2 = \frac{1}{4}\pi R^2$. Площадь нижней части равна площади нижней половины большого круга плюс площади двух маленьких полуокружностей: $S_{низ} = \frac{1}{2}\pi R^2 + 2 \cdot (\frac{1}{2}\pi r^2) = \frac{1}{2}\pi R^2 + \pi (\frac{R}{2})^2 = \frac{1}{2}\pi R^2 + \frac{1}{4}\pi R^2 = \frac{3}{4}\pi R^2$. Поскольку $S_{верх} \neq S_{низ}$, части круга на рисунке б) не равны.

Таким образом, круг, составленный из двух равных частей, — это круг на рисунке а).

Для выполнения второй части задания нужно нарисовать одну из этих равных частей. Она выглядит как половина круга, у которой с одной стороны от центра по диаметру вырезан полукруг, а с другой стороны такой же полукруг добавлен.

Изображение этой части:

Ответ: Круг, изображенный на рисунке а), составлен из двух равных частей.