Страница 215 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

858 а) В чайнике $2\frac{1}{5}$ л воды. В каждую чашку хотят налить $\frac{1}{4}$ л воды. Сколько полных чашек получится?

б) Для перевязки одной посылки требуется $2\frac{1}{2}$ м верёвки. Сколько таких посылок можно перевязать, используя клубок, в котором 17 м верёвки?

а) Чтобы определить, сколько полных чашек воды получится, необходимо общий объем воды в чайнике разделить на объем воды, который наливают в одну чашку.

1. Переведем смешанное число, обозначающее объем воды в чайнике, в неправильную дробь:
$2\frac{1}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{11}{5}$ л.

2. Разделим общий объем воды на объем одной чашки. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:
$\frac{11}{5} \div \frac{1}{4} = \frac{11}{5} \cdot \frac{4}{1} = \frac{11 \cdot 4}{5 \cdot 1} = \frac{44}{5}$

3. В вопросе спрашивается о количестве полных чашек, поэтому нужно выделить целую часть из полученного результата:
$\frac{44}{5} = 8\frac{4}{5}$

Целая часть числа равна 8. Это означает, что можно наполнить 8 полных чашек, и еще останется вода.
Ответ: 8 полных чашек.

б) Чтобы найти, сколько посылок можно перевязать, нужно общую длину веревки разделить на длину, необходимую для одной посылки.

1. Переведем смешанное число, обозначающее длину веревки для одной посылки, в неправильную дробь:
$2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$ м.

2. Разделим общую длину веревки в клубке на длину, требуемую для одной посылки:
$17 \div \frac{5}{2} = 17 \cdot \frac{2}{5} = \frac{17 \cdot 2}{5} = \frac{34}{5}$

3. Так как можно перевязать только целое количество посылок, выделим целую часть из полученной дроби:
$\frac{34}{5} = 6\frac{4}{5}$

Целая часть числа равна 6. Это означает, что можно полностью перевязать 6 посылок, и еще останется часть веревки.
Ответ: 6 посылок.

859 а) Мама сварила 2 кг варенья и хочет разложить его в банки, каждая из которых вмещает $ \frac{3}{10} $ кг варенья. Сколько таких банок потребуется?

б) В одну бутылку помещается $ \frac{3}{5} $ кг подсолнечного масла. Сколько понадобится бутылок, чтобы разлить 8 кг масла?

а) Чтобы определить, сколько банок потребуется, нужно общий вес варенья разделить на вместимость одной банки.

Общий вес варенья равен 2 кг, а вместимость одной банки — $\frac{3}{10}$ кг. Выполним деление:

$2 \div \frac{3}{10} = 2 \times \frac{10}{3} = \frac{20}{3}$

Преобразуем полученную неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}$

Полученное число означает, что 6 банок будут заполнены полностью, и еще $\frac{2}{3}$ варенья останется. Для этого остатка потребуется еще одна банка. Следовательно, общее количество требуемых банок равно $6 + 1 = 7$.

Ответ: 7 банок.

б) Чтобы найти, сколько бутылок понадобится, нужно общий вес масла разделить на вместимость одной бутылки.

Общий вес масла — 8 кг, а в одну бутылку помещается $\frac{3}{5}$ кг. Выполним деление:

$8 \div \frac{3}{5} = 8 \times \frac{5}{3} = \frac{40}{3}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{40}{3} = 13\frac{1}{3}$

Это означает, что 13 бутылок будут заполнены полностью, а для оставшейся $\frac{1}{3}$ части масла понадобится еще одна бутылка. Таким образом, всего понадобится $13 + 1 = 14$ бутылок.

Ответ: 14 бутылок.

860 а) За $2\frac{2}{3}$ ч автомобиль прошёл $40\frac{1}{2}$ км. Найдите скорость автомобиля.

б) Скорость велосипедиста $10\frac{1}{2}$ км/ч. За какое время он проедет 7 км?

в) За $2\frac{2}{3}$ ч велосипедист проехал 24 км. За какое время он проедет 30 км?

а)

Чтобы найти скорость автомобиля, нужно разделить пройденное расстояние на время в пути. Формула скорости: $v = S / t$.

Дано:

• Расстояние $S = 40\frac{1}{2}$ км
• Время $t = 2\frac{2}{3}$ ч

Сначала переведем смешанные числа в неправильные дроби:

$S = 40\frac{1}{2} = \frac{40 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{81}{2}$ км

$t = 2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$ ч

Теперь выполним деление:

$v = \frac{81}{2} \div \frac{8}{3} = \frac{81}{2} \cdot \frac{3}{8} = \frac{81 \cdot 3}{2 \cdot 8} = \frac{243}{16}$ км/ч

Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число:

$\frac{243}{16} = 15\frac{3}{16}$ км/ч

Ответ: $15\frac{3}{16}$ км/ч.

б)

Чтобы найти время, нужно разделить расстояние на скорость. Формула времени: $t = S / v$.

Дано:

• Скорость $v = 10\frac{1}{2}$ км/ч
• Расстояние $S = 7$ км

Переведем скорость в неправильную дробь:

$v = 10\frac{1}{2} = \frac{10 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{21}{2}$ км/ч

Теперь найдем время:

$t = 7 \div \frac{21}{2} = 7 \cdot \frac{2}{21} = \frac{7 \cdot 2}{21} = \frac{14}{21}$ ч

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 7:

$\frac{14}{21} = \frac{14 \div 7}{21 \div 7} = \frac{2}{3}$ ч

Ответ: $\frac{2}{3}$ ч.

в)

Эта задача решается в два действия. Сначала найдем скорость велосипедиста, используя данные о первой поездке, а затем используем эту скорость, чтобы найти время для второй поездки.

1. Найдем скорость велосипедиста.

Дано:

• Расстояние $S_1 = 24$ км
• Время $t_1 = 2\frac{2}{3}$ ч

Переведем время в неправильную дробь: $t_1 = 2\frac{2}{3} = \frac{8}{3}$ ч.

Скорость $v = S_1 / t_1 = 24 \div \frac{8}{3} = 24 \cdot \frac{3}{8} = \frac{24 \cdot 3}{8} = 3 \cdot 3 = 9$ км/ч.

2. Теперь найдем время, за которое он проедет 30 км с этой скоростью.

Дано:

• Расстояние $S_2 = 30$ км
• Скорость $v = 9$ км/ч

Время $t_2 = S_2 / v = 30 \div 9 = \frac{30}{9}$ ч.

Сократим дробь на 3 и выделим целую часть:

$\frac{30}{9} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$ ч

Ответ: $3\frac{1}{3}$ ч.

861 Найдите неизвестное число:

а) $ \frac{1}{3} \cdot x = \frac{1}{6} $;

б) $ 3 \cdot x = \frac{1}{3} $;

в) $ x \cdot 6 = \frac{1}{5} $;

г) $ \frac{2}{5} \cdot x = 1\frac{1}{5} $;

д) $ x \cdot 6 = 4 $;

е) $ 8 \cdot x = 2 $.

а) В данном уравнении $x$ является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение ($\frac{1}{6}$) разделить на известный множитель ($\frac{1}{3}$).

$x = \frac{1}{6} \div \frac{1}{3}$

Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$x = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{1} = \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 1} = \frac{3}{6}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$x = \frac{3 \div 3}{6 \div 3} = \frac{1}{2}$

Ответ: $ \frac{1}{2} $.

б) Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение ($\frac{1}{3}$) разделить на известный множитель (3).

$x = \frac{1}{3} \div 3$

Представим целое число 3 в виде дроби $\frac{3}{1}$ и выполним деление:

$x = \frac{1}{3} \div \frac{3}{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{9}$

Ответ: $ \frac{1}{9} $.

в) Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение ($\frac{1}{5}$) разделить на известный множитель (6).

$x = \frac{1}{5} \div 6$

Представим целое число 6 в виде дроби $\frac{6}{1}$ и выполним деление:

$x = \frac{1}{5} \div \frac{6}{1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 1}{5 \cdot 6} = \frac{1}{30}$

Ответ: $ \frac{1}{30} $.

г) Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{1}{5}$ в неправильную дробь:

$1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$

Уравнение принимает вид: $\frac{2}{5} \cdot x = \frac{6}{5}$

Теперь найдем неизвестный множитель $x$, разделив произведение ($\frac{6}{5}$) на известный множитель ($\frac{2}{5}$):

$x = \frac{6}{5} \div \frac{2}{5} = \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{2} = \frac{6 \cdot 5}{5 \cdot 2} = \frac{30}{10}$

$x = 3$

Ответ: 3.

д) Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение (4) разделить на известный множитель (6).

$x = 4 \div 6 = \frac{4}{6}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$x = \frac{4 \div 2}{6 \div 2} = \frac{2}{3}$

Ответ: $ \frac{2}{3} $.

е) Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение (2) разделить на известный множитель (8).

$x = 2 \div 8 = \frac{2}{8}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$x = \frac{2 \div 2}{8 \div 2} = \frac{1}{4}$

Ответ: $ \frac{1}{4} $.

Найдите значение выражения (862–864).

862 a) $\left(\frac{5}{6} - \frac{2}{3}\right) : \frac{8}{9};$

б) $\frac{3}{10} : \left(\frac{2}{5} + \frac{3}{15}\right);$

в) $10 : \frac{2}{5} - \frac{3}{10};$

г) $\left(1\frac{1}{2} - \frac{3}{8}\right) : 3.$

а) $(\frac{5}{6} - \frac{2}{3}) : \frac{8}{9}$
Выполним действия по порядку.
1. Вычитание в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю 6.
$\frac{5}{6} - \frac{2}{3} = \frac{5}{6} - \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{5}{6} - \frac{4}{6} = \frac{1}{6}$.
2. Деление. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь.
$\frac{1}{6} : \frac{8}{9} = \frac{1}{6} \cdot \frac{9}{8} = \frac{1 \cdot 9}{6 \cdot 8} = \frac{9}{48}$.
3. Сократим результат, разделив числитель и знаменатель на 3.
$\frac{9}{48} = \frac{3}{16}$.
Ответ: $\frac{3}{16}$.

б) $\frac{3}{10} : (\frac{2}{5} + \frac{3}{15})$
Выполним действия по порядку.
1. Сложение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю 15.
$\frac{2}{5} + \frac{3}{15} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{3}{15} = \frac{6}{15} + \frac{3}{15} = \frac{9}{15}$.
Сократим полученную дробь на 3: $\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$.
2. Деление.
$\frac{3}{10} : \frac{3}{5} = \frac{3}{10} \cdot \frac{5}{3} = \frac{3 \cdot 5}{10 \cdot 3} = \frac{15}{30}$.
3. Сократим результат, разделив числитель и знаменатель на 15.
$\frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) $10 : \frac{2}{5} - \frac{3}{10}$
Выполним действия по порядку: сначала деление, потом вычитание.
1. Деление.
$10 : \frac{2}{5} = \frac{10}{1} \cdot \frac{5}{2} = \frac{10 \cdot 5}{2} = \frac{50}{2} = 25$.
2. Вычитание.
$25 - \frac{3}{10} = \frac{250}{10} - \frac{3}{10} = \frac{247}{10}$.
3. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число.
$\frac{247}{10} = 24\frac{7}{10}$.
Ответ: $24\frac{7}{10}$.

г) $(1\frac{1}{2} - \frac{3}{8}) : 3$
Выполним действия по порядку.
1. Вычитание в скобках. Сначала переведем смешанное число $1\frac{1}{2}$ в неправильную дробь: $1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 8.
$\frac{3}{2} - \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{3}{8} = \frac{12}{8} - \frac{3}{8} = \frac{9}{8}$.
2. Деление.
$\frac{9}{8} : 3 = \frac{9}{8} \cdot \frac{1}{3} = \frac{9 \cdot 1}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24}$.
3. Сократим результат, разделив числитель и знаменатель на 3.
$\frac{9}{24} = \frac{3}{8}$.
Ответ: $\frac{3}{8}$.

863 a) $(1 - \frac{1}{2}) : (\frac{1}{2} - \frac{1}{3});$

б) $(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{2}{5}) : \frac{4}{5};$

в) $\frac{3}{4} : (1 - \frac{1}{4} + \frac{3}{8});$

г) $(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) : (2 - \frac{5}{6}).$

а)

Решим выражение $(1 - \frac{1}{2}) : (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})$ по действиям.

1. Вычислим значение в первых скобках: $1 - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

2. Вычислим значение во вторых скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 6: $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$.

3. Выполним деление полученных результатов: $\frac{1}{2} : \frac{1}{6}$. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь: $\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{1} = \frac{6}{2} = 3$.

Ответ: $3$.

б)

Решим выражение $(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{2}{5}) : \frac{4}{5}$ по действиям.

1. Выполним действия в скобках. Найдем наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$ и $\frac{2}{5}$. Наименьшее общее кратное чисел 2, 4 и 5 равно 20. Приводим дроби к этому знаменателю:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 10}{20} + \frac{1 \cdot 5}{20} - \frac{2 \cdot 4}{20} = \frac{10 + 5 - 8}{20} = \frac{7}{20}$.

2. Выполним деление: $\frac{7}{20} : \frac{4}{5} = \frac{7}{20} \cdot \frac{5}{4} = \frac{7 \cdot 5}{20 \cdot 4} = \frac{35}{80}$. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5: $\frac{35:5}{80:5} = \frac{7}{16}$.

Ответ: $\frac{7}{16}$.

в)

Решим выражение $\frac{3}{4} : (1 - \frac{1}{4} + \frac{3}{8})$ по действиям.

1. Выполним действия в скобках. Общий знаменатель для дробей 4 и 8 равен 8. Представим 1 как $\frac{8}{8}$:

$1 - \frac{1}{4} + \frac{3}{8} = \frac{8}{8} - \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{3}{8} = \frac{8}{8} - \frac{2}{8} + \frac{3}{8} = \frac{8 - 2 + 3}{8} = \frac{9}{8}$.

2. Выполним деление: $\frac{3}{4} : \frac{9}{8} = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} = \frac{3 \cdot 8}{4 \cdot 9} = \frac{24}{36}$. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 12: $\frac{24:12}{36:12} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

г)

Решим выражение $(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) : (2 - \frac{5}{6})$ по действиям.

1. Вычислим значение в первых скобках. Общий знаменатель для 3 и 4 равен 12: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$.

2. Вычислим значение во вторых скобках. Представим 2 как $\frac{12}{6}$: $2 - \frac{5}{6} = \frac{12}{6} - \frac{5}{6} = \frac{7}{6}$.

3. Выполним деление полученных результатов: $\frac{7}{12} : \frac{7}{6} = \frac{7}{12} \cdot \frac{6}{7} = \frac{7 \cdot 6}{12 \cdot 7} = \frac{42}{84}$. Сократим дробь на 42: $\frac{42:42}{84:42} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

864 a) $\frac{4}{7} \cdot \frac{5}{24} : 1 \frac{1}{14}$;

б) $25 \cdot \frac{7}{15} : \frac{7}{9}$;

в) $\frac{7}{18} : \frac{20}{21} : \frac{5}{12}$;

г) $\frac{5}{9} \cdot 2 \frac{1}{4} : 20$.

а) $\frac{4}{7} \cdot \frac{5}{24} : 1\frac{1}{14}$

1. Преобразуем смешанное число $1\frac{1}{14}$ в неправильную дробь:

$1\frac{1}{14} = \frac{1 \cdot 14 + 1}{14} = \frac{15}{14}$.

2. Выполним действия по порядку. Сначала умножение:

$\frac{4}{7} \cdot \frac{5}{24} = \frac{4 \cdot 5}{7 \cdot 24}$. Сократим 4 и 24 на 4: $\frac{1 \cdot 5}{7 \cdot 6} = \frac{5}{42}$.

3. Теперь выполним деление. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$\frac{5}{42} : \frac{15}{14} = \frac{5}{42} \cdot \frac{14}{15}$.

4. Сократим получившееся выражение: 5 и 15 сокращаются на 5, 14 и 42 сокращаются на 14.

$\frac{5 \cdot 14}{42 \cdot 15} = \frac{(5:5) \cdot (14:14)}{(42:14) \cdot (15:5)} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$.

б) $25 \cdot \frac{7}{15} : \frac{7}{9}$

1. Выполним умножение целого числа на дробь. Представим 25 как $\frac{25}{1}$:

$\frac{25}{1} \cdot \frac{7}{15} = \frac{25 \cdot 7}{1 \cdot 15}$. Сократим 25 и 15 на 5: $\frac{5 \cdot 7}{1 \cdot 3} = \frac{35}{3}$.

2. Выполним деление:

$\frac{35}{3} : \frac{7}{9} = \frac{35}{3} \cdot \frac{9}{7}$.

3. Сократим выражение: 35 и 7 сокращаются на 7, 9 и 3 сокращаются на 3.

$\frac{35 \cdot 9}{3 \cdot 7} = \frac{(35:7) \cdot (9:3)}{(3:3) \cdot (7:7)} = \frac{5 \cdot 3}{1 \cdot 1} = 15$.

Ответ: $15$.

в) $\frac{7}{18} : \frac{20}{21} : \frac{5}{12}$

1. Выполним первое деление:

$\frac{7}{18} : \frac{20}{21} = \frac{7}{18} \cdot \frac{21}{20}$. Сократим 18 и 21 на 3: $\frac{7 \cdot 7}{6 \cdot 20} = \frac{49}{120}$.

2. Выполним второе деление:

$\frac{49}{120} : \frac{5}{12} = \frac{49}{120} \cdot \frac{12}{5}$.

3. Сократим выражение: 120 и 12 сокращаются на 12.

$\frac{49 \cdot 12}{120 \cdot 5} = \frac{49 \cdot 1}{10 \cdot 5} = \frac{49}{50}$.

Ответ: $\frac{49}{50}$.

г) $\frac{5}{9} \cdot 2\frac{1}{4} : 20$

1. Преобразуем смешанное число и целое число в неправильные дроби:

$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$;

$20 = \frac{20}{1}$.

2. Выполним умножение:

$\frac{5}{9} \cdot \frac{9}{4} = \frac{5 \cdot 9}{9 \cdot 4}$. Сократим 9 и 9: $\frac{5}{4}$.

3. Выполним деление:

$\frac{5}{4} : \frac{20}{1} = \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{20}$.

4. Сократим выражение: 5 и 20 сокращаются на 5.

$\frac{5 \cdot 1}{4 \cdot 20} = \frac{1 \cdot 1}{4 \cdot 4} = \frac{1}{16}$.

Ответ: $\frac{1}{16}$.