Страница 214 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

849 Запишите дробь, обратную данной:

а) $⅖;$

б) $&frac79;;$

в) $&frac{12}{5};$

г) $&frac94;;$

д) $⅓;$

е) $\frac{m}{n}.$

Чтобы найти дробь, обратную данной, нужно поменять местами её числитель и знаменатель. Два числа, произведение которых равно 1, называются взаимно обратными. Таким образом, для дроби $\frac{a}{b}$ обратной будет дробь $\frac{b}{a}$ (при условии, что $a \neq 0$ и $b \neq 0$).

а) Для дроби $\frac{2}{5}$ числитель равен 2, а знаменатель — 5. Чтобы найти обратную дробь, меняем их местами. Получаем дробь, у которой числитель равен 5, а знаменатель — 2.
Ответ: $\frac{5}{2}$.

б) Для дроби $\frac{7}{9}$ числитель равен 7, а знаменатель — 9. Меняем их местами, чтобы получить обратную дробь. Получаем дробь, у которой числитель равен 9, а знаменатель — 7.
Ответ: $\frac{9}{7}$.

в) Для дроби $\frac{12}{5}$ числитель равен 12, а знаменатель — 5. Чтобы найти обратную дробь, меняем их местами. Получаем дробь, у которой числитель равен 5, а знаменатель — 12.
Ответ: $\frac{5}{12}$.

г) Для дроби $\frac{9}{4}$ числитель равен 9, а знаменатель — 4. Меняем их местами, чтобы получить обратную дробь. Получаем дробь, у которой числитель равен 4, а знаменатель — 9.
Ответ: $\frac{4}{9}$.

д) Для дроби $\frac{1}{3}$ числитель равен 1, а знаменатель — 3. Чтобы найти обратную дробь, меняем их местами. Получаем дробь $\frac{3}{1}$. Эту дробь также можно записать в виде целого числа 3.
Ответ: $\frac{3}{1}$.

е) Для дроби $\frac{m}{n}$ числитель равен $m$, а знаменатель — $n$. Чтобы найти обратную дробь, меняем их местами. Получаем дробь, у которой числитель равен $n$, а знаменатель — $m$. Это действие предполагает, что $m$ и $n$ не равны нулю.
Ответ: $\frac{n}{m}$.

850 Найдите произведение:

а) $\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3}$;

б) $\frac{1}{6} \cdot 6$;

в) $\frac{8}{9} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{9}{8}$;

г) $2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$.

а) Чтобы найти произведение двух дробей, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели. Числитель первой дроби (3) и знаменатель второй (3) сокращаются. Знаменатель первой дроби (8) и числитель второй (8) также сокращаются.

$\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3} = \frac{3 \cdot 8}{8 \cdot 3} = \frac{24}{24} = 1$.

Или, выполнив сокращение перед умножением:

$\frac{\cancel{3}^1}{\cancel{8}^1} \cdot \frac{\cancel{8}^1}{\cancel{3}^1} = \frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 1} = 1$.

Ответ: 1.

б) Чтобы умножить дробь на целое число, нужно это число умножить на числитель дроби, а знаменатель оставить без изменений. Целое число 6 и знаменатель 6 сокращаются.

$\frac{1}{6} \cdot 6 = \frac{1 \cdot 6}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Ответ: 1.

в) Чтобы найти произведение нескольких дробей, нужно перемножить все их числители и все их знаменатели. Удобно сократить общие множители до выполнения умножения.

$\frac{8}{9} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{9}{8} = \frac{8 \cdot 9 \cdot 9}{9 \cdot 10 \cdot 8}$.

Сократим одинаковые множители (8 и 9) в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{8}^1 \cdot \cancel{9}^1 \cdot 9}{\cancel{9}^1 \cdot 10 \cdot \cancel{8}^1} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 9}{1 \cdot 10 \cdot 1} = \frac{9}{10}$.

Ответ: $\frac{9}{10}$.

г) В данном произведении можно сгруппировать множители, используя переместительное свойство умножения. Каждое целое число умножается на обратную ему дробь.

$2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = (2 \cdot \frac{1}{2}) \cdot (3 \cdot \frac{1}{3}) \cdot (4 \cdot \frac{1}{4})$.

Произведение взаимно обратных чисел равно единице:

$2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

$3 \cdot \frac{1}{3} = 1$

$4 \cdot \frac{1}{4} = 1$

Следовательно, итоговое произведение равно $1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.

Ответ: 1.

ДЕЙСТВУЕМ ПО ПРАВИЛУ

Выполните деление (851-854).

851 а) $\frac{2}{3} : \frac{5}{7}$

б) $\frac{1}{4} : \frac{1}{2}$

в) $\frac{2}{5} : \frac{2}{3}$

г) $\frac{3}{4} : \frac{1}{2}$

д) $\frac{5}{6} : \frac{7}{12}$

Для выполнения деления дробей используется правило: чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое (первую дробь) умножить на дробь, обратную делителю (вторую дробь). Иными словами, мы "переворачиваем" вторую дробь и заменяем знак деления на знак умножения.

а) Выполним деление дроби $ \frac{2}{3} $ на $ \frac{5}{7} $.

Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь:

$ \frac{2}{3} \div \frac{5}{7} = \frac{2}{3} \times \frac{7}{5} $

Теперь перемножим числители между собой и знаменатели между собой:

$ \frac{2 \times 7}{3 \times 5} = \frac{14}{15} $

Ответ: $ \frac{14}{15} $

б) Выполним деление дроби $ \frac{1}{4} $ на $ \frac{1}{2} $.

Заменяем деление умножением на обратную дробь:

$ \frac{1}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \times \frac{2}{1} $

Перемножаем числители и знаменатели:

$ \frac{1 \times 2}{4 \times 1} = \frac{2}{4} $

Полученную дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:

$ \frac{2 \div 2}{4 \div 2} = \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $

в) Выполним деление дроби $ \frac{2}{5} $ на $ \frac{2}{3} $.

Заменяем деление умножением на обратную дробь:

$ \frac{2}{5} \div \frac{2}{3} = \frac{2}{5} \times \frac{3}{2} $

Здесь можно сократить число 2 в числителе и знаменателе перед умножением:

$ \frac{\cancel{2}}{5} \times \frac{3}{\cancel{2}} = \frac{3}{5} $

Ответ: $ \frac{3}{5} $

г) Выполним деление дроби $ \frac{3}{4} $ на $ \frac{1}{2} $.

Заменяем деление умножением на обратную дробь:

$ \frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{1} $

Перемножаем числители и знаменатели:

$ \frac{3 \times 2}{4 \times 1} = \frac{6}{4} $

Сокращаем полученную дробь на 2:

$ \frac{6 \div 2}{4 \div 2} = \frac{3}{2} $

Эту неправильную дробь можно также представить в виде смешанного числа $ 1 \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{3}{2} $

д) Выполним деление дроби $ \frac{5}{6} $ на $ \frac{7}{12} $.

Заменяем деление умножением на обратную дробь:

$ \frac{5}{6} \div \frac{7}{12} = \frac{5}{6} \times \frac{12}{7} $

Перед умножением можно сократить знаменатель первой дроби (6) и числитель второй (12) на их общий делитель 6:

$ \frac{5}{\cancel{6}_1} \times \frac{\cancel{12}_2}{7} = \frac{5 \times 2}{1 \times 7} = \frac{10}{7} $

Полученную неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа $ 1 \frac{3}{7} $.

Ответ: $ \frac{10}{7} $

852 а) $2 : \frac{1}{7}$;

б) $4 : \frac{2}{3}$;

в) $3 : \frac{3}{5}$;

г) $1 : \frac{2}{7}$;

д) $1 : \frac{1}{4}$.

а) Чтобы разделить целое число на дробь, необходимо умножить это число на дробь, обратную данной (перевернутую дробь). В данном случае, мы делим 2 на $ \frac{1}{7} $. Дробь, обратная $ \frac{1}{7} $, это $ \frac{7}{1} $, или просто 7.
$ 2 : \frac{1}{7} = 2 \cdot \frac{7}{1} = 2 \cdot 7 = 14 $
Ответ: 14

б) Чтобы разделить 4 на $ \frac{2}{3} $, нужно умножить 4 на дробь, обратную $ \frac{2}{3} $, то есть на $ \frac{3}{2} $.
$ 4 : \frac{2}{3} = 4 \cdot \frac{3}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = \frac{12}{2} = 6 $
Ответ: 6

в) Чтобы разделить 3 на $ \frac{3}{5} $, нужно умножить 3 на дробь, обратную $ \frac{3}{5} $, то есть на $ \frac{5}{3} $.
$ 3 : \frac{3}{5} = 3 \cdot \frac{5}{3} = \frac{3 \cdot 5}{3} = 5 $
Ответ: 5

г) Чтобы разделить 1 на $ \frac{2}{7} $, нужно умножить 1 на дробь, обратную $ \frac{2}{7} $, то есть на $ \frac{7}{2} $.
$ 1 : \frac{2}{7} = 1 \cdot \frac{7}{2} = \frac{7}{2} $
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $ \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} $.
Ответ: $ 3\frac{1}{2} $

д) Чтобы разделить 1 на $ \frac{1}{4} $, нужно умножить 1 на дробь, обратную $ \frac{1}{4} $, то есть на $ \frac{4}{1} $, или просто 4.
$ 1 : \frac{1}{4} = 1 \cdot \frac{4}{1} = 1 \cdot 4 = 4 $
Ответ: 4

853 a) $ \frac{4}{9} : 2 $;

б) $ \frac{5}{7} : 3 $;

в) $ \frac{10}{21} : 5 $;

г) $ \frac{9}{10} : 15 $;

д) $ \frac{3}{7} : 21 $.

а)

Чтобы разделить дробь на натуральное число, нужно знаменатель дроби умножить на это число, а числитель оставить без изменений.

$\frac{4}{9} : 2 = \frac{4}{9 \cdot 2} = \frac{4}{18}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:

$\frac{4:2}{18:2} = \frac{2}{9}$

Ответ: $\frac{2}{9}$

б)

Чтобы разделить дробь на натуральное число, нужно знаменатель дроби умножить на это число.

$\frac{5}{7} : 3 = \frac{5}{7 \cdot 3} = \frac{5}{21}$

Полученная дробь является несократимой.

Ответ: $\frac{5}{21}$

в)

При делении дроби на натуральное число, мы умножаем знаменатель на это число.

$\frac{10}{21} : 5 = \frac{10}{21 \cdot 5}$

Прежде чем выполнять умножение в знаменателе, можно сократить числитель 10 и множитель 5 на их общий делитель 5:

$\frac{10:5}{21 \cdot (5:5)} = \frac{2}{21 \cdot 1} = \frac{2}{21}$

Ответ: $\frac{2}{21}$

г)

Для выполнения деления, представим его в виде дроби, где натуральное число 15 станет множителем в знаменателе.

$\frac{9}{10} : 15 = \frac{9}{10 \cdot 15}$

Сократим числитель 9 и множитель 15 в знаменателе на их общий делитель 3:

$\frac{9:3}{10 \cdot (15:3)} = \frac{3}{10 \cdot 5} = \frac{3}{50}$

Ответ: $\frac{3}{50}$

д)

Выполним деление, умножив знаменатель дроби на натуральное число.

$\frac{3}{7} : 21 = \frac{3}{7 \cdot 21}$

Сократим числитель 3 и множитель 21 в знаменателе на их общий делитель 3:

$\frac{3:3}{7 \cdot (21:3)} = \frac{1}{7 \cdot 7} = \frac{1}{49}$

Ответ: $\frac{1}{49}$

854 а) $ \frac{1}{4} : 3\frac{1}{2} $;

б) $ 3\frac{1}{2} : 2\frac{1}{3} $;

в) $ 10\frac{1}{2} : 3\frac{1}{2} $;

г) $ 5\frac{1}{2} : 3\frac{2}{3} $;

д) $ 1\frac{5}{7} : 3\frac{3}{4} $;

е) $ 5\frac{3}{4} : 7\frac{2}{3} $.

а) Чтобы разделить дробь на смешанное число, необходимо сначала представить смешанное число в виде неправильной дроби. $3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$.
Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей (перевернутую) дробь: $\frac{1}{4} : 3\frac{1}{2} = \frac{1}{4} : \frac{7}{2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{7} = \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 7} = \frac{2}{28}$.
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2: $\frac{2}{28} = \frac{1}{14}$.
Ответ: $\frac{1}{14}$

б) Сначала представим оба смешанных числа в виде неправильных дробей: $3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$
$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$
Теперь выполним деление дробей, заменив его на умножение на обратную дробь: $3\frac{1}{2} : 2\frac{1}{3} = \frac{7}{2} : \frac{7}{3} = \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{7} = \frac{7 \cdot 3}{2 \cdot 7}$.
Сократим одинаковые множители (7) в числителе и знаменателе: $\frac{7 \cdot 3}{2 \cdot 7} = \frac{3}{2}$.
Представим ответ в виде смешанного числа: $\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.
Ответ: $1\frac{1}{2}$

в) Переведем смешанные числа в неправильные дроби: $10\frac{1}{2} = \frac{10 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{21}{2}$
$3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$
Выполним деление: $10\frac{1}{2} : 3\frac{1}{2} = \frac{21}{2} : \frac{7}{2} = \frac{21}{2} \cdot \frac{2}{7} = \frac{21 \cdot 2}{2 \cdot 7}$.
Сократим 2 в числителе и знаменателе. Оставшееся выражение: $\frac{21}{7}$.
Вычислим результат: $21 : 7 = 3$.
Ответ: $3$

г) Представим смешанные числа в виде неправильных дробей: $5\frac{1}{2} = \frac{5 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{11}{2}$
$3\frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{11}{3}$
Выполним деление, заменив его на умножение на обратную дробь: $5\frac{1}{2} : 3\frac{2}{3} = \frac{11}{2} : \frac{11}{3} = \frac{11}{2} \cdot \frac{3}{11} = \frac{11 \cdot 3}{2 \cdot 11}$.
Сократим 11 в числителе и знаменателе: $\frac{3}{2}$.
Переведем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.
Ответ: $1\frac{1}{2}$

д) Переведем смешанные числа в неправильные дроби: $1\frac{5}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{12}{7}$
$3\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{15}{4}$
Выполним деление: $1\frac{5}{7} : 3\frac{3}{4} = \frac{12}{7} : \frac{15}{4} = \frac{12}{7} \cdot \frac{4}{15} = \frac{12 \cdot 4}{7 \cdot 15}$.
Сократим 12 и 15 на их общий делитель 3 ($12:3=4$, $15:3=5$): $\frac{4 \cdot 4}{7 \cdot 5} = \frac{16}{35}$.
Ответ: $\frac{16}{35}$

е) Переведем смешанные числа в неправильные дроби: $5\frac{3}{4} = \frac{5 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{23}{4}$
$7\frac{2}{3} = \frac{7 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{23}{3}$
Выполним деление: $5\frac{3}{4} : 7\frac{2}{3} = \frac{23}{4} : \frac{23}{3} = \frac{23}{4} \cdot \frac{3}{23} = \frac{23 \cdot 3}{4 \cdot 23}$.
Сократим 23 в числителе и знаменателе: $\frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$

855 а) Отрезок длиной $3\frac{3}{4}$ дм разделили на 5 равных частей. Чему равна длина одной части?

б) Ленту длиной 14 м разрезали на 4 равные части. Чему равна длина одной такой части?

а) Чтобы найти длину одной части, необходимо общую длину отрезка разделить на количество равных частей.
Длина отрезка равна $3 \frac{3}{4}$ дм, а количество частей — 5.
Сначала преобразуем смешанное число $3 \frac{3}{4}$ в неправильную дробь:
$3 \frac{3}{4} = \frac{3 \times 4 + 3}{4} = \frac{12 + 3}{4} = \frac{15}{4}$
Теперь разделим полученную длину на 5:
$\frac{15}{4} \div 5 = \frac{15}{4} \times \frac{1}{5} = \frac{15}{4 \times 5} = \frac{15}{20}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:
$\frac{15 \div 5}{20 \div 5} = \frac{3}{4}$
Длина одной части равна $\frac{3}{4}$ дм.
Ответ: $\frac{3}{4}$ дм.

б) Чтобы найти длину одной части ленты, нужно её общую длину разделить на количество равных частей.
Длина ленты — 14 м, её разрезали на 4 равные части.
Выполним деление:
$14 \div 4 = \frac{14}{4}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$\frac{14}{4} = \frac{7}{2}$
Представим неправильную дробь в виде смешанного числа:
$\frac{7}{2} = 3 \frac{1}{2}$ м.
Это также можно записать в виде десятичной дроби: 3,5 м.
Ответ: $3 \frac{1}{2}$ м.

856 Сколько порций получится, если трёхкилограммовый пирог разрезать на порции:

а) по $\frac{1}{5}$ кг;

б) по $\frac{1}{4}$ кг;

в) по $\frac{1}{8}$ кг?

Чтобы найти, сколько порций получится, нужно общую массу пирога разделить на массу одной порции. Общая масса пирога — 3 кг.

а) Разделим общую массу пирога на массу одной порции в $ \frac{1}{5} $ кг:

$ 3 \div \frac{1}{5} = 3 \cdot \frac{5}{1} = 15 $ (порций).

Ответ: 15 порций.

б) Разделим общую массу пирога на массу одной порции в $ \frac{1}{4} $ кг:

$ 3 \div \frac{1}{4} = 3 \cdot \frac{4}{1} = 12 $ (порций).

Ответ: 12 порций.

в) Разделим общую массу пирога на массу одной порции в $ \frac{1}{8} $ кг:

$ 3 \div \frac{1}{8} = 3 \cdot \frac{8}{1} = 24 $ (порции).

Ответ: 24 порции.

857 a) Проволоку длиной $7\frac{1}{2}$ м разделили на куски по 50 см. Сколько получилось кусков?

б) В мешке $5\frac{1}{2}$ кг семян травы. Все семена надо разложить в пакеты, по 250 г в каждый. Сколько потребуется пакетов?

а)

Чтобы найти количество кусков, нужно общую длину проволоки разделить на длину одного куска. Для этого сначала необходимо привести все величины к одной единице измерения — сантиметрам, так как 1 метр равен 100 сантиметрам.

1. Переведем общую длину проволоки в сантиметры:
$7\frac{1}{2} \text{ м} = 7,5 \text{ м}$
$7,5 \text{ м} \times 100 = 750 \text{ см}$.

2. Теперь разделим общую длину на длину одного куска, чтобы найти их количество:
$750 \text{ см} \div 50 \text{ см} = 15$.

Ответ: получилось 15 кусков.

б)

Чтобы определить, сколько потребуется пакетов, нужно общую массу семян разделить на массу семян в одном пакете. Для этого сначала приведем все величины к одной единице измерения — граммам, так как 1 килограмм равен 1000 граммам.

1. Переведем общую массу семян в граммы:
$5\frac{1}{2} \text{ кг} = 5,5 \text{ кг}$
$5,5 \text{ кг} \times 1000 = 5500 \text{ г}$.

2. Разделим общую массу семян на массу одного пакета:
$5500 \text{ г} \div 250 \text{ г} = 22$.

Ответ: потребуется 22 пакета.