Страница 218 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

879 Вычислите данную сумму и представьте её в виде квадрата некоторого числа, при необходимости воспользуйтесь таблицей квадратов двузначных чисел (см. с. 283):

a) $5^2 + 12^2$;

б) $8^2 + 15^2$;

В) $8^2 + 6^2$;

Г) $10^2 + 24^2$.

Образец. Вычислим сумму $3^2 + 4^2$.

$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. Так как $25 = 5^2$, то $3^2 + 4^2 = 5^2$.

а) Вычислим сумму $5^2 + 12^2$.
$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$.
Так как $169 = 13^2$, то $5^2 + 12^2 = 13^2$.
Ответ: $13^2$.

б) Вычислим сумму $8^2 + 15^2$.
$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$.
Так как $289 = 17^2$, то $8^2 + 15^2 = 17^2$.
Ответ: $17^2$.

в) Вычислим сумму $8^2 + 6^2$.
$8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.
Так как $100 = 10^2$, то $8^2 + 6^2 = 10^2$.
Ответ: $10^2$.

г) Вычислим сумму $10^2 + 24^2$.
$10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$.
Так как $676 = 26^2$, то $10^2 + 24^2 = 26^2$.
Ответ: $26^2$.

880 Запишите дроби в порядке возрастания: $ \frac{7}{15} $, $ \frac{14}{15} $, $ \frac{2}{15} $, $ \frac{1}{2} $, $ \frac{3}{5} $, $ \frac{1}{10} $, $ \frac{3}{4} $.

Подсказка. Выделите две группы дробей: меньшие $ \frac{1}{2} $ и большие $ \frac{1}{2} $.

Чтобы записать дроби в порядке возрастания, воспользуемся подсказкой и разделим их на две группы: дроби, которые меньше $\frac{1}{2}$, и дроби, которые больше $\frac{1}{2}$. Дробь $\frac{1}{2}$ будет находиться между этими группами.

Сначала сравним каждую дробь с $\frac{1}{2}$. Дробь меньше $\frac{1}{2}$, если ее удвоенный числитель меньше знаменателя.

$\frac{7}{15} < \frac{1}{2}$, так как $7 \times 2 = 14$, а $14 < 15$.
$\frac{14}{15} > \frac{1}{2}$, так как $14 \times 2 = 28$, а $28 > 15$.
$\frac{2}{15} < \frac{1}{2}$, так как $2 \times 2 = 4$, а $4 < 15$.
$\frac{3}{5} > \frac{1}{2}$, так как $3 \times 2 = 6$, а $6 > 5$.
$\frac{1}{10} < \frac{1}{2}$, так как $1 \times 2 = 2$, а $2 < 10$.
$\frac{3}{4} > \frac{1}{2}$, так как $3 \times 2 = 6$, а $6 > 4$.

Таким образом, получаем:
Группа 1 (дроби меньше $\frac{1}{2}$): $\frac{7}{15}, \frac{2}{15}, \frac{1}{10}$.
Группа 2 (дроби больше $\frac{1}{2}$): $\frac{14}{15}, \frac{3}{5}, \frac{3}{4}$.

Теперь упорядочим дроби внутри каждой группы, приведя их к общему знаменателю.

Для первой группы ($\frac{7}{15}, \frac{2}{15}, \frac{1}{10}$) наименьший общий знаменатель равен 30.
$\frac{7}{15} = \frac{14}{30}$; $\frac{2}{15} = \frac{4}{30}$; $\frac{1}{10} = \frac{3}{30}$.
Сравнивая числители ($3 < 4 < 14$), получаем порядок: $\frac{1}{10}, \frac{2}{15}, \frac{7}{15}$.

Для второй группы ($\frac{14}{15}, \frac{3}{5}, \frac{3}{4}$) наименьший общий знаменатель равен 60.
$\frac{14}{15} = \frac{56}{60}$; $\frac{3}{5} = \frac{36}{60}$; $\frac{3}{4} = \frac{45}{60}$.
Сравнивая числители ($36 < 45 < 56$), получаем порядок: $\frac{3}{5}, \frac{3}{4}, \frac{14}{15}$.

Собираем все дроби в один ряд в порядке возрастания: сначала упорядоченная первая группа, затем $\frac{1}{2}$, и в конце упорядоченная вторая группа.

Ответ: $\frac{1}{10}, \frac{2}{15}, \frac{7}{15}, \frac{1}{2}, \frac{3}{5}, \frac{3}{4}, \frac{14}{15}$.

881 Дана последовательность сумм: $ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} $, $ \frac{1}{4} + \frac{1}{8} $, $ \frac{1}{8} + \frac{1}{16} $, ...

1) Продолжите эту последовательность, записав ещё три суммы.

2) Вычислите значения первых трёх сумм. Догадайтесь, чему равны значения следующих трёх сумм, и проверьте себя вычислением.

1)

Проанализируем заданную последовательность сумм. Каждая сумма состоит из двух слагаемых, являющихся дробями вида $ \frac{1}{2^n} $.

Первая сумма: $ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} $ (это $ \frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} $)

Вторая сумма: $ \frac{1}{4} + \frac{1}{8} $ (это $ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} $)

Третья сумма: $ \frac{1}{8} + \frac{1}{16} $ (это $ \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^4} $)

Закономерность заключается в том, что каждая следующая сумма начинается с второго слагаемого предыдущей суммы, а второе слагаемое новой суммы имеет знаменатель, в два раза больший. Следуя этой закономерности, для продолжения последовательности нам нужно взять второе слагаемое последней известной суммы ($ \frac{1}{16} $) и прибавить к нему дробь со знаменателем $ 16 \times 2 = 32 $.

Таким образом, следующие три суммы будут:

• Четвертая сумма: $ \frac{1}{16} + \frac{1}{32} $
• Пятая сумма: $ \frac{1}{32} + \frac{1}{64} $
• Шестая сумма: $ \frac{1}{64} + \frac{1}{128} $

Ответ: $ \frac{1}{16} + \frac{1}{32} $, $ \frac{1}{32} + \frac{1}{64} $, $ \frac{1}{64} + \frac{1}{128} $.

2)

Вычислим значения первых трёх сумм, приводя дроби к общему знаменателю:

Значение первой суммы: $ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $

Значение второй суммы: $ \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8} $

Значение третьей суммы: $ \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{3}{16} $

Получилась последовательность значений: $ \frac{3}{4}, \frac{3}{8}, \frac{3}{16} $. Можно заметить, что числитель всегда равен 3, а знаменатель каждой следующей дроби в два раза больше предыдущего. Исходя из этого, можно предположить, что значения следующих трёх сумм будут:

• Значение четвертой суммы: $ \frac{3}{16 \times 2} = \frac{3}{32} $
• Значение пятой суммы: $ \frac{3}{32 \times 2} = \frac{3}{64} $
• Значение шестой суммы: $ \frac{3}{64 \times 2} = \frac{3}{128} $

Теперь проверим нашу догадку, вычислив значения следующих трёх сумм, которые мы записали в пункте 1:

Проверка для четвертой суммы: $ \frac{1}{16} + \frac{1}{32} = \frac{2}{32} + \frac{1}{32} = \frac{3}{32} $. Наше предположение верно.

Проверка для пятой суммы: $ \frac{1}{32} + \frac{1}{64} = \frac{2}{64} + \frac{1}{64} = \frac{3}{64} $. Наше предположение верно.

Проверка для шестой суммы: $ \frac{1}{64} + \frac{1}{128} = \frac{2}{128} + \frac{1}{128} = \frac{3}{128} $. Наше предположение верно.

Ответ: значения первых трёх сумм: $ \frac{3}{4}, \frac{3}{8}, \frac{3}{16} $. Значения следующих трёх сумм: $ \frac{3}{32}, \frac{3}{64}, \frac{3}{128} $.

ность, записав ещё три суммы.

2) Вычислите значения первых трёх сумм. Догадайтесь, чему равны значения следующих трёх сумм, и проверьте себя вычислением.

882 Рассмотрите рисунок 9.8 и ответьте на вопросы:

1) Сколько окружностей изображено на рисунке?

2) Скольким клеткам равен радиус каждой окружности?

3) Центры окружностей являются вершинами четырёхугольника. Что это за фигура?

Скопируйте рисунок.

Рис. 9.8

1) Сколько окружностей изображено на рисунке?
На рисунке можно насчитать четыре пересекающиеся окружности. Каждая окружность проходит через центры двух других.
Ответ: На рисунке изображено 4 окружности.

2) Скольким клеткам равен радиус каждой окружности?
Рассмотрим любую из окружностей, например, самую верхнюю. Ее центр находится на пересечении линий сетки. Если отсчитать клетки от центра до самой верхней точки окружности (по вертикали), то получится 2 клетки. Аналогично, расстояние от центра до самой левой или правой точки окружности (по горизонтали) также равно 2 клеткам.
Ответ: Радиус каждой окружности равен 2 клеткам.

3) Центры окружностей являются вершинами четырёхугольника. Что это за фигура?
Соединим центры всех четырёх окружностей. Получится четырёхугольник. Чтобы определить его вид, найдём длины его сторон и диагоналей, принимая сторону клетки за единицу.
Каждая сторона четырёхугольника соединяет центры двух соседних окружностей. Расстояние между центрами по горизонтали равно 2 клеткам, а по вертикали — 2 клеткам. По теореме Пифагора найдём длину стороны $a$:
$a = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$
Все стороны четырёхугольника равны, значит, это ромб.
Теперь найдём длины диагоналей. Одна диагональ соединяет центры верхней и нижней окружностей, её длина по вертикали составляет 4 клетки. Другая диагональ соединяет центры левой и правой окружностей, её длина по горизонтали также составляет 4 клетки.
Поскольку у ромба диагонали равны, то этот четырёхугольник является квадратом.
Ответ: Эта фигура — квадрат.