Страница 224 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

898 Представьте данное число всеми возможными способами в виде произведения двух множителей (произведения, различающиеся только порядком множителей, считайте одинаковыми):

а) 36;

б) 60;

в) 63.

а) Чтобы представить число в виде произведения двух множителей, нужно найти все его делители. Согласно условию, произведения, различающиеся только порядком множителей (например, $2 \cdot 18$ и $18 \cdot 2$), считаются одинаковыми. Поэтому для каждого числа $N$ мы будем искать такие пары множителей $(a, b)$, что $a \cdot b = N$ и $a \le b$. Этого можно достичь, перебирая все делители $a$ числа $N$ от 1 до $\sqrt{N}$.
Для числа 36 найдем все делители от 1 до $\sqrt{36}=6$.
1. $36 : 1 = 36 \implies 36 = 1 \cdot 36$
2. $36 : 2 = 18 \implies 36 = 2 \cdot 18$
3. $36 : 3 = 12 \implies 36 = 3 \cdot 12$
4. $36 : 4 = 9 \implies 36 = 4 \cdot 9$
5. 36 не делится на 5.
6. $36 : 6 = 6 \implies 36 = 6 \cdot 6$
Следующий делитель 9 уже больше $\sqrt{36}$, и пара $9 \cdot 4$ является повторением. Таким образом, все способы найдены.
Ответ: $1 \cdot 36$; $2 \cdot 18$; $3 \cdot 12$; $4 \cdot 9$; $6 \cdot 6$.

б) Для числа 60 найдем все делители от 1 до $\sqrt{60} \approx 7.7$.
1. $60 : 1 = 60 \implies 60 = 1 \cdot 60$
2. $60 : 2 = 30 \implies 60 = 2 \cdot 30$
3. $60 : 3 = 20 \implies 60 = 3 \cdot 20$
4. $60 : 4 = 15 \implies 60 = 4 \cdot 15$
5. $60 : 5 = 12 \implies 60 = 5 \cdot 12$
6. $60 : 6 = 10 \implies 60 = 6 \cdot 10$
7. 60 не делится на 7.
Перебор делителей закончен.
Ответ: $1 \cdot 60$; $2 \cdot 30$; $3 \cdot 20$; $4 \cdot 15$; $5 \cdot 12$; $6 \cdot 10$.

в) Для числа 63 найдем все делители от 1 до $\sqrt{63} \approx 7.9$.
1. $63 : 1 = 63 \implies 63 = 1 \cdot 63$
2. 63 не делится на 2.
3. $63 : 3 = 21 \implies 63 = 3 \cdot 21$
4. 63 не делится на 4, 5, 6.
5. $63 : 7 = 9 \implies 63 = 7 \cdot 9$
Перебор делителей закончен.
Ответ: $1 \cdot 63$; $3 \cdot 21$; $7 \cdot 9$.

899 Чтобы сравнить две дроби, их можно привести к одинаковому знаменателю или преобразовать так, чтобы у них были одинаковые числители.

Сравните двумя способами дроби:

а) $\frac{4}{5}$ и $\frac{2}{3}$;

б) $\frac{2}{5}$ и $\frac{3}{10}$.

а) Сравним дроби $ \frac{4}{5} $ и $ \frac{2}{3} $.

Первый способ: приведение к общему знаменателю.

Наименьший общий знаменатель для дробей со знаменателями 5 и 3 — это 15. Приведем обе дроби к этому знаменателю. Для этого числитель и знаменатель первой дроби умножим на 3, а второй — на 5:

$ \frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{12}{15} $

$ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15} $

Теперь сравним дроби $ \frac{12}{15} $ и $ \frac{10}{15} $. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше. Поскольку $ 12 > 10 $, то $ \frac{12}{15} > \frac{10}{15} $. Следовательно, $ \frac{4}{5} > \frac{2}{3} $.

Второй способ: приведение к общему числителю.

Наименьший общий числитель для дробей с числителями 4 и 2 — это 4. Приведем обе дроби к этому числителю. Дробь $ \frac{4}{5} $ уже имеет числитель 4. Для второй дроби умножим числитель и знаменатель на 2:

$ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6} $

Теперь сравним дроби $ \frac{4}{5} $ и $ \frac{4}{6} $. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Поскольку $ 5 < 6 $, то $ \frac{4}{5} > \frac{4}{6} $. Следовательно, $ \frac{4}{5} > \frac{2}{3} $.

Ответ: $ \frac{4}{5} > \frac{2}{3} $.

б) Сравним дроби $ \frac{2}{5} $ и $ \frac{3}{10} $.

Первый способ: приведение к общему знаменателю.

Наименьший общий знаменатель для дробей со знаменателями 5 и 10 — это 10. Дробь $ \frac{3}{10} $ уже имеет этот знаменатель. Приведем дробь $ \frac{2}{5} $ к знаменателю 10, умножив ее числитель и знаменатель на 2:

$ \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{4}{10} $

Теперь сравним дроби $ \frac{4}{10} $ и $ \frac{3}{10} $. Так как $ 4 > 3 $, то $ \frac{4}{10} > \frac{3}{10} $. Следовательно, $ \frac{2}{5} > \frac{3}{10} $.

Второй способ: приведение к общему числителю.

Наименьший общий числитель для дробей с числителями 2 и 3 — это 6. Приведем обе дроби к этому числителю. Для первой дроби умножим числитель и знаменатель на 3, а для второй — на 2:

$ \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15} $

$ \frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 2}{10 \cdot 2} = \frac{6}{20} $

Теперь сравним дроби $ \frac{6}{15} $ и $ \frac{6}{20} $. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $ 15 < 20 $, то $ \frac{6}{15} > \frac{6}{20} $. Следовательно, $ \frac{2}{5} > \frac{3}{10} $.

Ответ: $ \frac{2}{5} > \frac{3}{10} $.

900 Вычислите:

а) $\frac{8}{9} \cdot \frac{3}{4} - \left(\frac{5}{6} - \frac{1}{4}\right)$;

б) $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{7} + \frac{6}{7}$;

в) $\left(\frac{2}{5} - \frac{2}{7}\right) : \frac{2}{7} \cdot \frac{2}{5}$;

г) $\left(\frac{5}{6} - \frac{3}{10}\right) : \left(\frac{3}{10} + \frac{2}{15}\right)$.

а) $\frac{8}{9} \cdot \frac{3}{4} - (\frac{5}{6} - \frac{1}{4})$
1. Сначала выполним действие в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 12.
$\frac{5}{6} - \frac{1}{4} = \frac{5 \cdot 2}{12} - \frac{1 \cdot 3}{12} = \frac{10 - 3}{12} = \frac{7}{12}$
2. Теперь выполним умножение. Сократим дроби перед вычислением.
$\frac{8}{9} \cdot \frac{3}{4} = \frac{\cancel{8}^2}{\cancel{9}_3} \cdot \frac{\cancel{3}^1}{\cancel{4}_1} = \frac{2}{3}$
3. Выполним вычитание, приведя дроби к общему знаменателю 12.
$\frac{2}{3} - \frac{7}{12} = \frac{2 \cdot 4}{12} - \frac{7}{12} = \frac{8 - 7}{12} = \frac{1}{12}$
Ответ: $\frac{1}{12}$

б) $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{7} + \frac{6}{7}$
1. Первым действием выполним умножение.
$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{7} = \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 7} = \frac{12}{35}$
2. Теперь выполним сложение. Приведем все дроби к общему знаменателю 35.
$\frac{3}{5} + \frac{12}{35} + \frac{6}{7} = \frac{3 \cdot 7}{35} + \frac{12}{35} + \frac{6 \cdot 5}{35} = \frac{21 + 12 + 30}{35} = \frac{63}{35}$
3. Сократим полученную дробь на 7 и представим в виде смешанного числа.
$\frac{63}{35} = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5}$
Ответ: $1\frac{4}{5}$

в) $(\frac{2}{5} - \frac{2}{7}) : \frac{2}{7} \cdot \frac{2}{5}$
1. Выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 35.
$\frac{2}{5} - \frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 7}{35} - \frac{2 \cdot 5}{35} = \frac{14 - 10}{35} = \frac{4}{35}$
2. Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь.
$\frac{4}{35} : \frac{2}{7} = \frac{4}{35} \cdot \frac{7}{2} = \frac{\cancel{4}^2}{\cancel{35}_5} \cdot \frac{\cancel{7}^1}{\cancel{2}_1} = \frac{2}{5}$
3. Выполним последнее действие — умножение.
$\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{25}$
Ответ: $\frac{4}{25}$

г) $(\frac{5}{6} - \frac{3}{10}) : (\frac{3}{10} + \frac{2}{15})$
1. Вычислим значение в первых скобках. Общий знаменатель 30.
$\frac{5}{6} - \frac{3}{10} = \frac{5 \cdot 5}{30} - \frac{3 \cdot 3}{30} = \frac{25 - 9}{30} = \frac{16}{30} = \frac{8}{15}$
2. Вычислим значение во вторых скобках. Общий знаменатель 30.
$\frac{3}{10} + \frac{2}{15} = \frac{3 \cdot 3}{30} + \frac{2 \cdot 2}{30} = \frac{9 + 4}{30} = \frac{13}{30}$
3. Выполним деление результатов.
$\frac{8}{15} : \frac{13}{30} = \frac{8}{15} \cdot \frac{30}{13} = \frac{8}{\cancel{15}_1} \cdot \frac{\cancel{30}^2}{13} = \frac{8 \cdot 2}{13} = \frac{16}{13}$
4. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число.
$\frac{16}{13} = 1\frac{3}{13}$
Ответ: $1\frac{3}{13}$

901 Постройте в тетради отрезок $OA$ и проведите окружность радиусом $OA$. Проведите радиусы $OB$, $OC$ и $OD$ так, чтобы $\angle AOB = 45^\circ$, $\angle AOC = 90^\circ$, $\angle AOD = 135^\circ$ (транспортир не используйте). Чему равен угол $DOB$?

Для решения задачи сначала опишем, как выполнить построения с помощью циркуля и линейки, а затем вычислим искомый угол.

Построение

1. Построим отрезок $OA$ и проведём окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OA$.
2. Построение угла $\angle AOC = 90^\circ$. Для этого нужно построить радиус $OC$, перпендикулярный радиусу $OA$.
   • Продлим отрезок $OA$ за точку $O$ до пересечения с окружностью в точке $A'$. Отрезок $A'A$ является диаметром окружности.
   • Построим серединный перпендикуляр к диаметру $A'A$. Для этого из точек $A$ и $A'$ проведём две дуги одинакового радиуса (большего, чем $OA$) так, чтобы они пересеклись по обе стороны от прямой $A'A$.
   • Соединим точки пересечения этих дуг. Полученная прямая пройдёт через центр окружности $O$ и будет перпендикулярна $OA$.
   • Обозначим одну из точек пересечения этой прямой с окружностью как $C$. Таким образом, мы построили радиус $OC$ так, что $\angle AOC = 90^\circ$.
3. Построение угла $\angle AOB = 45^\circ$. Угол $45^\circ$ является половиной угла $90^\circ$, поэтому нам нужно построить биссектрису угла $\angle AOC$.
   • Из точек $A$ и $C$ (концов радиусов на окружности) проведём две дуги одинакового радиуса внутри угла $\angle AOC$.
   • Через точку их пересечения и центр $O$ проведём луч.
   • Точка пересечения этого луча с окружностью и будет точкой $B$. Мы получили $\angle AOB = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.
4. Построение угла $\angle AOD = 135^\circ$. Заметим, что $135^\circ = 90^\circ + 45^\circ$. Это означает, что $\angle AOD = \angle AOC + \angle COD$, где $\angle COD = 45^\circ$.
   • Нам нужно построить угол $45^\circ$ от луча $OC$ в полуплоскости, не содержащей луч $OA$.
   • Для этого построим биссектрису угла $\angle A'OC$ (где $A'$ — точка на окружности, диаметрально противоположная $A$), который также равен $90^\circ$.
   • Построение биссектрисы аналогично предыдущему шагу, но для точек $A'$ и $C$.
   • Точка пересечения биссектрисы с окружностью и будет точкой $D$. Таким образом, $\angle AOD = \angle AOC + \angle COD = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ$.

Нахождение угла DOB

В результате построений мы получили радиусы $OA, OB, OD$, образующие с начальным радиусом $OA$ углы $\angle AOB = 45^\circ$ и $\angle AOD = 135^\circ$. Предполагается, что углы откладывались в одном направлении (например, против часовой стрелки).

Угол $\angle DOB$ можно найти как разность углов $\angle AOD$ и $\angle AOB$, поскольку луч $OB$ находится между лучами $OA$ и $OD$.

$\angle DOB = \angle AOD - \angle AOB$

Подставим числовые значения:

$\angle DOB = 135^\circ - 45^\circ = 90^\circ$

Другой способ — найти $\angle DOB$ как сумму двух смежных углов:

$\angle COB = \angle AOC - \angle AOB = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$

$\angle DOC = \angle AOD - \angle AOC = 135^\circ - 90^\circ = 45^\circ$

$\angle DOB = \angle COB + \angle DOC = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $\angle DOB = 90^\circ$.