Номер 901, страница 224 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

9.6. Нахождение части целого и целого по его части. Глава 9. Действия с дробями - номер 901, страница 224.

901 Постройте в тетради отрезок $OA$ и проведите окружность радиусом $OA$. Проведите радиусы $OB$, $OC$ и $OD$ так, чтобы $\angle AOB = 45^\circ$, $\angle AOC = 90^\circ$, $\angle AOD = 135^\circ$ (транспортир не используйте). Чему равен угол $DOB$?

Для решения задачи сначала опишем, как выполнить построения с помощью циркуля и линейки, а затем вычислим искомый угол.

Построение

1. Построим отрезок $OA$ и проведём окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OA$.
2. Построение угла $\angle AOC = 90^\circ$. Для этого нужно построить радиус $OC$, перпендикулярный радиусу $OA$.
   • Продлим отрезок $OA$ за точку $O$ до пересечения с окружностью в точке $A'$. Отрезок $A'A$ является диаметром окружности.
   • Построим серединный перпендикуляр к диаметру $A'A$. Для этого из точек $A$ и $A'$ проведём две дуги одинакового радиуса (большего, чем $OA$) так, чтобы они пересеклись по обе стороны от прямой $A'A$.
   • Соединим точки пересечения этих дуг. Полученная прямая пройдёт через центр окружности $O$ и будет перпендикулярна $OA$.
   • Обозначим одну из точек пересечения этой прямой с окружностью как $C$. Таким образом, мы построили радиус $OC$ так, что $\angle AOC = 90^\circ$.
3. Построение угла $\angle AOB = 45^\circ$. Угол $45^\circ$ является половиной угла $90^\circ$, поэтому нам нужно построить биссектрису угла $\angle AOC$.
   • Из точек $A$ и $C$ (концов радиусов на окружности) проведём две дуги одинакового радиуса внутри угла $\angle AOC$.
   • Через точку их пересечения и центр $O$ проведём луч.
   • Точка пересечения этого луча с окружностью и будет точкой $B$. Мы получили $\angle AOB = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.
4. Построение угла $\angle AOD = 135^\circ$. Заметим, что $135^\circ = 90^\circ + 45^\circ$. Это означает, что $\angle AOD = \angle AOC + \angle COD$, где $\angle COD = 45^\circ$.
   • Нам нужно построить угол $45^\circ$ от луча $OC$ в полуплоскости, не содержащей луч $OA$.
   • Для этого построим биссектрису угла $\angle A'OC$ (где $A'$ — точка на окружности, диаметрально противоположная $A$), который также равен $90^\circ$.
   • Построение биссектрисы аналогично предыдущему шагу, но для точек $A'$ и $C$.
   • Точка пересечения биссектрисы с окружностью и будет точкой $D$. Таким образом, $\angle AOD = \angle AOC + \angle COD = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ$.

Нахождение угла DOB

В результате построений мы получили радиусы $OA, OB, OD$, образующие с начальным радиусом $OA$ углы $\angle AOB = 45^\circ$ и $\angle AOD = 135^\circ$. Предполагается, что углы откладывались в одном направлении (например, против часовой стрелки).

Угол $\angle DOB$ можно найти как разность углов $\angle AOD$ и $\angle AOB$, поскольку луч $OB$ находится между лучами $OA$ и $OD$.

$\angle DOB = \angle AOD - \angle AOB$

Подставим числовые значения:

$\angle DOB = 135^\circ - 45^\circ = 90^\circ$

Другой способ — найти $\angle DOB$ как сумму двух смежных углов:

$\angle COB = \angle AOC - \angle AOB = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$

$\angle DOC = \angle AOD - \angle AOC = 135^\circ - 90^\circ = 45^\circ$

$\angle DOB = \angle COB + \angle DOC = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $\angle DOB = 90^\circ$.