Номер 905, страница 226 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

9.7. Задачи на совместную работу. Глава 9. Действия с дробями - номер 905, страница 226.

905 a) Ивану потребуется 4 ч, чтобы набрать текст доклада на компьютере. Пётр хуже владеет этим умением, и ему потребуется на эту работу 6 ч. Николай же сможет набрать этот текст за 12 ч. За какое время сделают эту работу мальчики, работая вместе?

б) Школьникам в летнем спортивном лагере дали задание покрасить ограду территории лагеря. Один отряд может выполнить эту работу за 2 ч, второй – за 3 ч, а третий – за 6 ч. За какое время выполнят эту работу школьники, если все три отряда будут работать вместе?

а)

Чтобы решить задачу, сначала определим производительность каждого мальчика, то есть какую часть работы каждый из них выполняет за 1 час. Всю работу по набору текста примем за 1 (одну целую).

1. Производительность Ивана: он выполняет всю работу за 4 часа, значит, за 1 час он выполняет $1 \div 4 = \frac{1}{4}$ часть работы.

2. Производительность Петра: он выполняет всю работу за 6 часов, значит, за 1 час он выполняет $1 \div 6 = \frac{1}{6}$ часть работы.

3. Производительность Николая: он выполняет всю работу за 12 часов, значит, за 1 час он выполняет $1 \div 12 = \frac{1}{12}$ часть работы.

4. Теперь найдем их общую производительность, сложив производительности каждого мальчика:

$\frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12}$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3+2+1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Таким образом, работая вместе, мальчики за 1 час выполняют $\frac{1}{2}$ всей работы.

5. Чтобы найти общее время, нужно всю работу (1) разделить на общую производительность ($\frac{1}{2}$):

$t = 1 \div \frac{1}{2} = 1 \cdot \frac{2}{1} = 2$ часа.

Ответ: 2 часа.

б)

Эта задача решается аналогично предыдущей. Примем всю работу по покраске ограды за 1 (одну целую).

1. Производительность первого отряда: $1 \div 2 = \frac{1}{2}$ часть работы в час.

2. Производительность второго отряда: $1 \div 3 = \frac{1}{3}$ часть работы в час.

3. Производительность третьего отряда: $1 \div 6 = \frac{1}{6}$ часть работы в час.

4. Найдем общую производительность, когда все три отряда работают вместе:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Общая производительность равна 1, что означает, что за 1 час отряды выполняют всю работу.

5. Найдем общее время, разделив всю работу (1) на общую производительность (1):

$t = 1 \div 1 = 1$ час.

Ответ: 1 час.