Номер 910, страница 227 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

9.7. Задачи на совместную работу. Глава 9. Действия с дробями - номер 910, страница 227.

910 а) Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Они встретились через 40 мин после своего выхода, а через 32 мин после встречи первый пришёл в В. Через сколько часов после своего выхода из В второй пришёл в А?

б) Из пункта А в пункт В выехала грузовая машина. Одновременно с ней из пункта В в пункт А выехала легковая машина. Грузовая машина через 2 ч после начала движения встретила легковую и ещё через 3 ч прибыла в пункт В. Сколько времени потратила легковая машина на путь из В в А?

а)

Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости первого и второго пешеходов соответственно. Пусть $S$ — расстояние между пунктами A и B.
Пешеходы вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 40 минут. Место их встречи (назовем его C) делит весь путь на два отрезка.
Расстояние, которое прошел первый пешеход до встречи (от A до C), равно $S_{AC} = v_1 \cdot 40$.
Расстояние, которое прошел второй пешеход до встречи (от B до C), равно $S_{BC} = v_2 \cdot 40$.
После встречи первому пешеходу (который шел из А) осталось пройти расстояние $S_{BC}$ до пункта B. По условию, он прошел его за 32 минуты. Значит, $S_{BC} = v_1 \cdot 32$.
Теперь мы можем приравнять два выражения для расстояния $S_{BC}$:
$v_2 \cdot 40 = v_1 \cdot 32$
Из этого уравнения можно найти отношение скоростей пешеходов:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{40}{32} = \frac{5}{4}$
Второму пешеходу (который шел из B) после встречи осталось пройти расстояние $S_{AC}$ до пункта A. Пусть время, которое он на это потратил, равно $t_{2}$. Тогда $S_{AC} = v_2 \cdot t_{2}$.
Приравняем два выражения для расстояния $S_{AC}$:
$v_1 \cdot 40 = v_2 \cdot t_{2}$
Теперь выразим $t_{2}$:
$t_{2} = 40 \cdot \frac{v_1}{v_2}$
Подставим найденное отношение скоростей:
$t_{2} = 40 \cdot \frac{5}{4} = 50$ минут.
Это время, которое второй пешеход шел от места встречи до пункта А.
Общее время в пути для второго пешехода — это время до встречи (40 минут) плюс время после встречи (50 минут):
$T_2 = 40 + 50 = 90$ минут.
Вопрос задачи требует дать ответ в часах. Переведем 90 минут в часы:
$90 \text{ мин} = \frac{90}{60} \text{ ч} = 1.5 \text{ ч}$.
Ответ: 1.5 часа.

б)

Эта задача решается аналогично предыдущей.
Пусть $v_г$ — скорость грузовой машины (из A), а $v_л$ — скорость легковой машины (из B).
Машины встретились через $t_{встр} = 2$ часа.
Расстояние, которое проехала грузовая машина до встречи, равно $S_г = v_г \cdot 2$.
Расстояние, которое проехала легковая машина до встречи, равно $S_л = v_л \cdot 2$.
После встречи грузовая машина проехала оставшееся расстояние $S_л$ за 3 часа. Таким образом, $S_л = v_г \cdot 3$.
Приравняем два выражения для $S_л$:
$v_л \cdot 2 = v_г \cdot 3$
Отсюда находим отношение скоростей:
$\frac{v_г}{v_л} = \frac{2}{3}$
Легковой машине после встречи осталось проехать расстояние $S_г$. Пусть время, которое она на это потратила, равно $t_л$. Тогда $S_г = v_л \cdot t_л$.
Приравняем два выражения для $S_г$:
$v_г \cdot 2 = v_л \cdot t_л$
Выразим $t_л$:
$t_л = 2 \cdot \frac{v_г}{v_л}$
Подставим найденное отношение скоростей:
$t_л = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$ часа.
Это время, которое легковая машина ехала от места встречи до пункта А.
Общее время, которое легковая машина потратила на весь путь, равно времени до встречи плюс время после встречи:
$T_л = t_{встр} + t_л = 2 + \frac{4}{3} = \frac{6}{3} + \frac{4}{3} = \frac{10}{3}$ часа.
Можно представить этот ответ в виде смешанной дроби: $3 \frac{1}{3}$ часа, что равно 3 часам и 20 минутам.
Ответ: $\frac{10}{3}$ часа (или $3 \frac{1}{3}$ часа).