Страница 227 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

906 РЕШАЕМ ПО ПЛАНУ Решите по предложенному плану задачу: «Иван и Пётр вместе подписали приглашения на школьный вечер за 12 мин. Иван, работая один, может сделать эту работу за 20 мин. За какое время подписал бы все приглашения Пётр?»

План решения:

1) Какую часть всех приглашений подписывают мальчики за 1 мин, работая вместе?

2) Какую часть всех приглашений мог бы подписать Иван, работая один?

3) Какую часть всех приглашений мог бы подписать Пётр, работая один?

4) За какое время подписал бы все приглашения Пётр?

1) Какую часть всех приглашений подписывают мальчики за 1 мин, работая вместе?
Примем всю работу по подписыванию приглашений за 1. Если Иван и Пётр вместе выполняют всю работу за 12 минут, то их совместная производительность (часть работы в минуту) равна:
$1 \div 12 = \frac{1}{12}$ (часть работы)
Ответ: $\frac{1}{12}$ часть всех приглашений.

2) Какую часть всех приглашений мог бы подписать Иван, работая один?
Иван, работая один, может выполнить всю работу за 20 минут. Следовательно, его производительность равна:
$1 \div 20 = \frac{1}{20}$ (часть работы)
Ответ: $\frac{1}{20}$ часть всех приглашений.

3) Какую часть всех приглашений мог бы подписать Пётр, работая один?
Чтобы найти производительность Петра, нужно из совместной производительности вычесть производительность Ивана.
$\frac{1}{12} - \frac{1}{20} = \frac{5}{60} - \frac{3}{60} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30}$ (часть работы)
Ответ: $\frac{1}{30}$ часть всех приглашений.

4) За какое время подписал бы все приглашения Пётр?
Зная, что за одну минуту Пётр выполняет $\frac{1}{30}$ всей работы, мы можем найти общее время, разделив всю работу (1) на его производительность.
$1 \div \frac{1}{30} = 1 \times 30 = 30$ (мин)
Ответ: за 30 минут.

907 a) Заготовленных материалов хватит для работы двух цехов в течение 10 дней или одного первого цеха в течение 30 дней. На сколько дней хватило бы этих материалов для работы одного второго цеха?

б) Два тракториста вспахали поле за 6 ч совместной работы. Первый тракторист мог бы один выполнить ту же работу за 10 ч. За сколько часов второй тракторист может вспахать поле?

а)

Примем весь объем заготовленных материалов за 1 (единицу).
1) Производительность (скорость расхода материалов) двух цехов при совместной работе составляет $1 \div 10 = \frac{1}{10}$ часть материалов в день.
2) Производительность первого цеха составляет $1 \div 30 = \frac{1}{30}$ часть материалов в день.
3) Чтобы найти производительность второго цеха, нужно из общей производительности вычесть производительность первого цеха: $$ \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{3}{30} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} $$ Таким образом, второй цех расходует $\frac{1}{15}$ часть материалов в день.
4) Теперь найдем, за сколько дней второй цех израсходует все материалы, работая один: $$ 1 \div \frac{1}{15} = 1 \cdot 15 = 15 \text{ (дней)} $$

Ответ: 15 дней.

б)

Примем всю работу по вспашке поля за 1 (единицу).
1) Совместная производительность двух трактористов составляет $1 \div 6 = \frac{1}{6}$ поля в час.
2) Производительность первого тракториста составляет $1 \div 10 = \frac{1}{10}$ поля в час.
3) Чтобы найти производительность второго тракториста, вычтем из совместной производительности производительность первого: $$ \frac{1}{6} - \frac{1}{10} = \frac{5}{30} - \frac{3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} $$ Это означает, что второй тракторист вспахивает $\frac{1}{15}$ часть поля за один час.
4) Найдем время, за которое второй тракторист вспашет все поле в одиночку: $$ 1 \div \frac{1}{15} = 1 \cdot 15 = 15 \text{ (часов)} $$

Ответ: 15 часов.

908 Первая бригада может выполнить задание за 9 дней, а вторая — за 12 дней. Первая бригада работала над выполнением этого задания 3 дня, потом вторая бригада закончила работу. За сколько дней было выполнено задание?

Для решения этой задачи необходимо сначала определить производительность каждой бригады, то есть какую часть задания каждая бригада выполняет за один день. Примем весь объем работы за 1.

1. Находим производительность каждой бригады.
Первая бригада выполняет всю работу за 9 дней, значит, ее производительность составляет $\frac{1}{9}$ часть задания в день.
Вторая бригада выполняет всю работу за 12 дней, ее производительность — $\frac{1}{12}$ часть задания в день.

2. Вычисляем, какую часть задания выполнила первая бригада.
Первая бригада работала 3 дня. Чтобы найти выполненную ею часть работы, умножим ее производительность на время работы:
$\frac{1}{9} \times 3 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ часть задания.

3. Определяем, какая часть задания осталась.
Чтобы найти оставшуюся часть, вычтем из всей работы (1) часть, выполненную первой бригадой:
$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ часть задания.

4. Находим, сколько дней работала вторая бригада.
Вторая бригада закончила оставшуюся работу. Чтобы найти время, разделим оставшуюся часть работы на производительность второй бригады:
$\frac{2}{3} \div \frac{1}{12} = \frac{2}{3} \times \frac{12}{1} = \frac{2 \times 12}{3} = 2 \times 4 = 8$ дней.

5. Вычисляем общее время выполнения задания.
Сложим время работы первой и второй бригад:
$3 \text{ дня} + 8 \text{ дней} = 11$ дней.

Ответ: 11 дней.

909 а) Грузовая машина проезжает расстояние между двумя городами за 30 ч, а легковая — за 20 ч. Машины одновременно выехали из этих городов навстречу друг другу. Через сколько часов они встретятся?

б) Расстояние от станции до турбазы велосипедист проезжает за 4 ч, а турист проходит за 12 ч. Они отправились из этих двух пунктов навстречу друг другу одновременно. Через сколько часов они встретятся?

а) Примем все расстояние между городами за 1 (единицу).
Тогда скорость грузовой машины составляет $v_г = \frac{1}{30}$ всего расстояния в час.
Скорость легковой машины составляет $v_л = \frac{1}{20}$ всего расстояния в час.
Поскольку машины едут навстречу друг другу, их скорости складываются. Найдем их общую скорость сближения:
$v_{сбл} = v_г + v_л = \frac{1}{30} + \frac{1}{20}$
Приведем дроби к общему знаменателю 60:
$v_{сбл} = \frac{2}{60} + \frac{3}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$
Это означает, что за 1 час машины вместе проезжают $\frac{1}{12}$ всего расстояния.
Чтобы найти время, через которое они встретятся, нужно все расстояние (1) разделить на скорость сближения:
$t = \frac{1}{v_{сбл}} = \frac{1}{\frac{1}{12}} = 12$ часов.
Ответ: 12 часов.

б) Примем все расстояние от станции до турбазы за 1 (единицу).
Тогда скорость велосипедиста равна $v_в = \frac{1}{4}$ всего расстояния в час.
Скорость туриста равна $v_т = \frac{1}{12}$ всего расстояния в час.
Они движутся навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей:
$v_{сбл} = v_в + v_т = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}$
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$v_{сбл} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$
За 1 час они вместе преодолевают $\frac{1}{3}$ всего расстояния.
Время до их встречи равно всему расстоянию (1), деленному на скорость сближения:
$t = \frac{1}{v_{сбл}} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3$ часа.
Ответ: 3 часа.

910 а) Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Они встретились через 40 мин после своего выхода, а через 32 мин после встречи первый пришёл в В. Через сколько часов после своего выхода из В второй пришёл в А?

б) Из пункта А в пункт В выехала грузовая машина. Одновременно с ней из пункта В в пункт А выехала легковая машина. Грузовая машина через 2 ч после начала движения встретила легковую и ещё через 3 ч прибыла в пункт В. Сколько времени потратила легковая машина на путь из В в А?

а)

Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости первого и второго пешеходов соответственно. Пусть $S$ — расстояние между пунктами A и B.
Пешеходы вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 40 минут. Место их встречи (назовем его C) делит весь путь на два отрезка.
Расстояние, которое прошел первый пешеход до встречи (от A до C), равно $S_{AC} = v_1 \cdot 40$.
Расстояние, которое прошел второй пешеход до встречи (от B до C), равно $S_{BC} = v_2 \cdot 40$.
После встречи первому пешеходу (который шел из А) осталось пройти расстояние $S_{BC}$ до пункта B. По условию, он прошел его за 32 минуты. Значит, $S_{BC} = v_1 \cdot 32$.
Теперь мы можем приравнять два выражения для расстояния $S_{BC}$:
$v_2 \cdot 40 = v_1 \cdot 32$
Из этого уравнения можно найти отношение скоростей пешеходов:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{40}{32} = \frac{5}{4}$
Второму пешеходу (который шел из B) после встречи осталось пройти расстояние $S_{AC}$ до пункта A. Пусть время, которое он на это потратил, равно $t_{2}$. Тогда $S_{AC} = v_2 \cdot t_{2}$.
Приравняем два выражения для расстояния $S_{AC}$:
$v_1 \cdot 40 = v_2 \cdot t_{2}$
Теперь выразим $t_{2}$:
$t_{2} = 40 \cdot \frac{v_1}{v_2}$
Подставим найденное отношение скоростей:
$t_{2} = 40 \cdot \frac{5}{4} = 50$ минут.
Это время, которое второй пешеход шел от места встречи до пункта А.
Общее время в пути для второго пешехода — это время до встречи (40 минут) плюс время после встречи (50 минут):
$T_2 = 40 + 50 = 90$ минут.
Вопрос задачи требует дать ответ в часах. Переведем 90 минут в часы:
$90 \text{ мин} = \frac{90}{60} \text{ ч} = 1.5 \text{ ч}$.
Ответ: 1.5 часа.

б)

Эта задача решается аналогично предыдущей.
Пусть $v_г$ — скорость грузовой машины (из A), а $v_л$ — скорость легковой машины (из B).
Машины встретились через $t_{встр} = 2$ часа.
Расстояние, которое проехала грузовая машина до встречи, равно $S_г = v_г \cdot 2$.
Расстояние, которое проехала легковая машина до встречи, равно $S_л = v_л \cdot 2$.
После встречи грузовая машина проехала оставшееся расстояние $S_л$ за 3 часа. Таким образом, $S_л = v_г \cdot 3$.
Приравняем два выражения для $S_л$:
$v_л \cdot 2 = v_г \cdot 3$
Отсюда находим отношение скоростей:
$\frac{v_г}{v_л} = \frac{2}{3}$
Легковой машине после встречи осталось проехать расстояние $S_г$. Пусть время, которое она на это потратила, равно $t_л$. Тогда $S_г = v_л \cdot t_л$.
Приравняем два выражения для $S_г$:
$v_г \cdot 2 = v_л \cdot t_л$
Выразим $t_л$:
$t_л = 2 \cdot \frac{v_г}{v_л}$
Подставим найденное отношение скоростей:
$t_л = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$ часа.
Это время, которое легковая машина ехала от места встречи до пункта А.
Общее время, которое легковая машина потратила на весь путь, равно времени до встречи плюс время после встречи:
$T_л = t_{встр} + t_л = 2 + \frac{4}{3} = \frac{6}{3} + \frac{4}{3} = \frac{10}{3}$ часа.
Можно представить этот ответ в виде смешанной дроби: $3 \frac{1}{3}$ часа, что равно 3 часам и 20 минутам.
Ответ: $\frac{10}{3}$ часа (или $3 \frac{1}{3}$ часа).

911 Лодка прошла некоторое расстояние по озеру за 4 ч. Такое же расстояние плот проплывает по реке за 12 ч. Сколько времени затратит лодка на такой же путь:

а) по течению реки;

б) против течения реки?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

$S$ – расстояние, которое прошла лодка (и плот).

$v_л$ – собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде).

$v_т$ – скорость течения реки.

$t_л$ – время движения лодки по озеру, равное 4 ч.

$t_п$ – время движения плота по реке, равное 12 ч.

1. Найдем собственную скорость лодки. Поскольку в озере нет течения, лодка движется со своей собственной скоростью. Используем формулу пути $S = v \cdot t$:

$S = v_л \cdot t_л$

$S = v_л \cdot 4$

Отсюда выразим скорость лодки: $v_л = \frac{S}{4}$. Это означает, что за 1 час лодка проходит $\frac{1}{4}$ всего расстояния.

2. Найдем скорость течения реки. Плот не имеет собственной скорости, он движется со скоростью течения реки:

$S = v_т \cdot t_п$

$S = v_т \cdot 12$

Отсюда выразим скорость течения: $v_т = \frac{S}{12}$. Это означает, что за 1 час течение проносит плот на $\frac{1}{12}$ всего расстояния.

Теперь можем рассчитать время движения лодки по реке.

а) по течению реки

При движении по течению скорость лодки равна сумме ее собственной скорости и скорости течения:

$v_{по\;теч.} = v_л + v_т = \frac{S}{4} + \frac{S}{12}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$v_{по\;теч.} = \frac{3S}{12} + \frac{S}{12} = \frac{4S}{12} = \frac{S}{3}$

Найдем время, которое лодка затратит на путь по течению:

$t_{по\;теч.} = \frac{S}{v_{по\;теч.}} = \frac{S}{\frac{S}{3}} = S \cdot \frac{3}{S} = 3$ часа.

Ответ: 3 часа.

б) против течения реки

При движении против течения скорость лодки равна разности ее собственной скорости и скорости течения:

$v_{против\;теч.} = v_л - v_т = \frac{S}{4} - \frac{S}{12}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$v_{против\;теч.} = \frac{3S}{12} - \frac{S}{12} = \frac{2S}{12} = \frac{S}{6}$

Найдем время, которое лодка затратит на путь против течения:

$t_{против\;теч.} = \frac{S}{v_{против\;теч.}} = \frac{S}{\frac{S}{6}} = S \cdot \frac{6}{S} = 6$ часов.

Ответ: 6 часов.

912 Катер проплывает некоторое расстояние по озеру за 6 ч, а по течению реки – за 5 ч. Сколько времени потребуется плоту, чтобы проплыть такое же расстояние по реке?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – расстояние, которое проплывает катер (и плот).
• $v_к$ – собственная скорость катера (скорость в стоячей воде, например, в озере).
• $v_т$ – скорость течения реки.

Скорость движения плота равна скорости течения реки, так как плот не имеет собственного двигателя и перемещается только за счет течения.

Решение

1. Найдем собственную скорость катера.По озеру (в стоячей воде) катер движется со своей собственной скоростью $v_к$. Он проходит расстояние $S$ за 6 часов. Используя формулу $S = v \cdot t$, получаем:
$S = v_к \cdot 6$
Отсюда, собственная скорость катера составляет:
$v_к = \frac{S}{6}$

2. Найдем скорость катера по течению реки.По течению реки скорость катера складывается из его собственной скорости и скорости течения: $v_к + v_т$. Это же расстояние $S$ он проходит за 5 часов:
$S = (v_к + v_т) \cdot 5$
Отсюда, скорость катера по течению равна:
$v_к + v_т = \frac{S}{5}$

3. Найдем скорость течения реки.Чтобы найти скорость течения $v_т$, вычтем из скорости катера по течению его собственную скорость. Для этого подставим выражение для $v_к$ из первого пункта в уравнение из второго пункта:
$\frac{S}{6} + v_т = \frac{S}{5}$
Выразим $v_т$:
$v_т = \frac{S}{5} - \frac{S}{6}$
Приведем дроби к общему знаменателю (30):
$v_т = \frac{6S}{30} - \frac{5S}{30} = \frac{S}{30}$
Таким образом, скорость течения реки (а значит, и скорость плота) равна $\frac{S}{30}$.

4. Найдем время, которое потребуется плоту.Плот проплывет расстояние $S$ со скоростью $v_т$. Найдем время $t_{плота}$:
$t_{плота} = \frac{S}{v_т}$
Подставим найденное значение $v_т$:
$t_{плота} = \frac{S}{\frac{S}{30}} = S \cdot \frac{30}{S} = 30$ часов.

Ответ: 30 часов.

913 Плот от пункта A до пункта B плывёт 40 ч, а катер – 4 ч. Сколько времени катер плывёт от B до A?

Обозначим расстояние между пунктами A и B как $S$, собственную скорость катера как $v_к$, а скорость течения реки как $v_т$.
Поскольку плот не имеет собственного двигателя, он движется со скоростью течения реки. Плот плывет от A до B, следовательно, течение реки направлено от A к B. Время движения плота $t_{плота} = 40$ ч. Таким образом, скорость течения реки можно выразить как $v_т = S / t_{плота} = S / 40$.
Катер, плывя от A до B, движется по течению. Его скорость $v_{по}$ равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_к + v_т$. Время, затраченное катером на этот путь, $t_{по} = 4$ ч. Отсюда скорость катера по течению равна $v_{по} = S / t_{по} = S / 4$.
Теперь мы можем найти собственную скорость катера, выразив её из формулы скорости по течению: $v_к = v_{по} - v_т$.
Подставим известные нам выражения для скоростей:
$v_к = S/4 - S/40$
Приведем дроби к общему знаменателю 40:
$v_к = (10S)/40 - S/40 = (9S)/40$.
Теперь найдем время, которое потребуется катеру на обратный путь из B в A. На этом пути катер будет двигаться против течения. Его скорость против течения $v_{против}$ равна разности его собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = v_к - v_т$.
Подставим полученные выражения для скоростей:
$v_{против} = (9S)/40 - S/40 = (8S)/40 = S/5$.
Время движения против течения $t_{против}$ найдем по формуле $t = S / v$:
$t_{против} = S / v_{против} = S / (S/5) = 5$ часов.

Ответ: 5 часов.