Страница 234 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

920 Рассмотрите какой-нибудь многогранник и ответьте на вопросы:

1) Какую форму имеют его грани? Сколько их? Есть ли среди них равные?

2) Сколько у многогранника рёбер? Есть ли у него рёбра равной длины?

3) Сколько у многогранника вершин? Сколько рёбер выходит из каждой вершины? Есть ли среди них равные? Сколько граней сходится в каждой вершине многогранника?

В качестве примера многогранника рассмотрим куб. Куб — это правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат.

1) Какую форму имеют его грани? Сколько их? Есть ли среди них равные?

Грани куба имеют форму квадрата. Всего у куба $6$ граней (верхняя, нижняя и четыре боковые). Так как все рёбра куба равны, то все его грани являются равными между собой квадратами.

Ответ: грани имеют форму квадрата, их 6, все они равны.

2) Сколько у многогранника рёбер? Есть ли у него рёбра равной длины?

Ребро — это отрезок, соединяющий две вершины многогранника и являющийся стороной двух его граней. У куба $12$ рёбер ($4$ в верхнем основании, $4$ в нижнем и $4$ боковых). Все $12$ рёбер куба имеют одинаковую длину.

Ответ: 12 рёбер, все они имеют равную длину.

3) Сколько у многогранника вершин? Сколько рёбер выходит из каждой вершины? Есть ли среди них равные? Сколько граней сходится в каждой вершине многогранника?

Вершина — это точка, в которой сходятся рёбра многогранника. У куба $8$ вершин ($4$ в верхнем основании и $4$ в нижнем). Из каждой вершины куба выходит по $3$ ребра. Поскольку куб — это симметричная фигура, все его вершины эквивалентны (равны в смысле симметрии), то есть расположение рёбер и граней вокруг каждой вершины одинаково. В каждой вершине куба сходится по $3$ грани.

Ответ: 8 вершин; из каждой вершины выходит 3 ребра; все вершины эквивалентны; в каждой вершине сходится 3 грани.

921 Проведите наблюдение по следующему плану:

1) Возьмите куб и определите, сколько у куба граней, вершин, рёбер.

2) Определите число рёбер и число граней куба, сходящихся в каждой его вершине.

3) Поставьте куб на стол. Какие грани куба имеют общие рёбра с нижней гранью? Сколько их? Сколько граней куба не имеют общих рёбер с нижней гранью?

1) Возьмите куб и определите, сколько у куба граней, вершин, рёбер.
Куб — это правильный многогранник, ограниченный шестью квадратными плоскостями.

• Грани — это плоские поверхности (квадраты), из которых состоит куб. У куба есть верхняя, нижняя и четыре боковые грани. Итого: $6$ граней.
• Вершины — это точки, в которых сходятся рёбра куба (углы). У куба $4$ вершины на верхней грани и $4$ на нижней. Итого: $8$ вершин.
• Рёбра — это отрезки, которые являются сторонами граней и соединяют вершины. У куба $4$ ребра на верхней грани, $4$ на нижней и $4$ боковых ребра, соединяющих их. Итого: $12$ рёбер.

Ответ: у куба $6$ граней, $8$ вершин и $12$ рёбер.

2) Определите число рёбер и число граней куба, сходящихся в каждой его вершине.
Если мы рассмотрим любую вершину куба, то увидим, что в этой одной точке соединяются несколько элементов фигуры.

• Из каждой вершины выходят $3$ ребра. Эти рёбра соответствуют трём измерениям: длине, ширине и высоте.
• В каждой вершине сходятся $3$ грани. Например, если взять верхний правый передний угол, в нём сойдутся верхняя, правая и передняя грани.

Ответ: в каждой вершине куба сходятся $3$ ребра и $3$ грани.

3) Поставьте куб на стол. Какие грани куба имеют общие рёбра с нижней гранью? Сколько их? Сколько граней куба не имеют общих рёбер с нижней гранью?
Грань, на которой куб стоит на столе, будем называть нижней. У этой грани, как у любого квадрата, $4$ стороны (ребра).

• Грани, имеющие общие рёбра с нижней: Каждое из четырёх рёбер нижней грани является общим с одной из боковых граней куба. Следовательно, с нижней гранью имеют общие рёбра все $4$ боковые грани (передняя, задняя, левая и правая).
• Грани, не имеющие общих рёбер с нижней: Всего у куба $6$ граней. Из них $4$ боковые грани имеют общие рёбра с нижней, а сама нижняя грань — это та, с которой мы сравниваем. Остаётся только одна грань — верхняя. Она параллельна нижней и не имеет с ней общих рёбер.

Ответ: $4$ грани куба имеют общие рёбра с нижней гранью; $1$ грань (верхняя) не имеет общих рёбер с нижней гранью.