Страница 240 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

939 Скопируйте изображение параллелепипеда (рис. 10.18) в тетрадь и до- рисуйте невидимые рёбра штриховой линией.

Рис. 10.18

Чтобы завершить изображение параллелепипеда, необходимо дорисовать рёбра, которые не видны с данного ракурса. Такие рёбра принято изображать штриховой (пунктирной) линией.

Параллелепипед имеет 12 рёбер. На исходном рисунке показаны 9 видимых рёбер. Таким образом, нам нужно дорисовать 3 невидимых ребра. Все три невидимых ребра сходятся в одной вершине, которая также не видна наблюдателю — это дальняя нижняя левая вершина.

Невидимые рёбра дорисовываются так:

1. Проводится ребро от нижней левой вершины передней грани к скрытой дальней нижней левой вершине.
2. Проводится ребро от верхней левой вершины задней грани к скрытой дальней нижней левой вершине.
3. Проводится ребро от нижней правой вершины задней грани к скрытой дальней нижней левой вершине.

Ответ:

940 НАБЛЮДАЕМ На рисунке 10.19 изображён куб.

1) Три его грани, имеющие общую вершину D, хотят окрасить в красный цвет, а остальные — в синий. Какие грани будут красными? синими? Назовите общую вершину всех синих граней.

2) Можно ли окрасить грани куба в три цвета так, чтобы грани одного цвета не имели общих точек?

Рис. 10.19

1) Три грани, имеющие общую вершину D, — это те грани, которые сходятся в этой точке. Глядя на рисунок, мы видим, что это передняя грань ABCD, нижняя грань ADMN и правая грань DCOM. По условию, они будут окрашены в красный цвет.
У куба всего 6 граней. Следовательно, оставшиеся 3 грани будут синими. Это грани, противоположные красным: верхняя грань BCOK (противоположна ADMN), левая грань ABNK (противоположна DCOM) и задняя грань NKOM (противоположна ABCD).
Общей вершиной всех синих граней (BCOK, ABNK, NKOM) является вершина K. Она диагонально противоположна вершине D.
Ответ: Красными будут грани ABCD, ADMN, DCOM. Синими будут грани BCOK, ABNK, NKOM. Общая вершина всех синих граней — K.

2) Да, это возможно. Условие, что грани одного цвета не имеют общих точек (ни вершин, ни ребер), означает, что грани одного цвета должны быть параллельны друг другу. В кубе у каждой грани есть ровно одна противоположная (параллельная) ей грань. Всего у куба 6 граней, которые образуют 3 пары противоположных граней. Поскольку цветов тоже три, то для выполнения условия необходимо каждую пару противоположных граней окрасить в свой цвет. Например, переднюю и заднюю грани окрасить в первый цвет, верхнюю и нижнюю — во второй, а левую и правую — в третий.
Ответ: Да, можно.

941 НАБЛЮДАЕМ И РАССУЖДАЕМ На рисунке 10.20 изображён параллелепипед. Известны длины его рёбер: $AB = 6 \text{ см}$, $ML = 4 \text{ см}$, $AM = 2 \text{ см}$.

1) Определите длины всех рёбер данного параллелепипеда.

2) Каковы размеры граней $AMNB$, $BNKC$, $MLKN$? Для каждой из них назовите равные ей грани.

3) Начертите три различные грани параллелепипеда в натуральную величину.

4) Найдите сумму площадей всех граней параллелепипеда.

Рис. 10.20

1) У параллелепипеда 12 рёбер. Противоположные рёбра параллелепипеда равны, поэтому они образуют три группы по четыре равных ребра в каждой. Из условия и рисунка видно, что длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины (например, из вершины A: рёбра AB, AM и AD), равны 6 см, 2 см и 4 см. Это три измерения параллелепипеда.

Таким образом, в данном параллелепипеде:

• 4 ребра длиной 6 см (высота);
• 4 ребра длиной 4 см (длина);
• 4 ребра длиной 2 см (ширина).

Ответ: В параллелепипеде 4 ребра длиной 6 см, 4 ребра длиной 4 см и 4 ребра длиной 2 см.

2) Будем считать, что изображённый параллелепипед является прямоугольным, так как его боковые рёбра изображены перпендикулярно основанию. В этом случае все его грани — прямоугольники. У параллелепипеда три пары равных противоположных граней.

• Грань AMNB (передняя) является прямоугольником. Её стороны — это рёбра AM (ширина) и AB (высота). Размеры этой грани: 2 см × 6 см. Противоположная (задняя) грань DLCK равна ей.

• Грань BNKC (верхняя) является прямоугольником. Её стороны — это рёбра BN (ширина) и NK (длина). Размеры этой грани: 2 см × 4 см. Противоположная (нижняя) грань AMLD равна ей.

• Грань MLKN (левая боковая) является прямоугольником. Её стороны — это рёбра ML (длина) и LK (высота). Размеры этой грани: 4 см × 6 см. Противоположная (правая) грань ADCB равна ей.

Ответ: Грань AMNB — прямоугольник 2 см × 6 см, равная ей грань — DLCK. Грань BNKC — прямоугольник 2 см × 4 см, равная ей грань — AMLD. Грань MLKN — прямоугольник 4 см × 6 см, равная ей грань — ADCB.

3) Три различные грани параллелепипеда — это прямоугольники со следующими размерами:

• Прямоугольник со сторонами 2 см и 4 см (нижняя/верхняя грань).
• Прямоугольник со сторонами 2 см и 6 см (передняя/задняя грань).
• Прямоугольник со сторонами 4 см и 6 см (боковая грань).

Ниже представлены чертежи этих граней в натуральную величину.

Ответ: Три различные грани — это прямоугольники с размерами 2 см × 4 см, 2 см × 6 см и 4 см × 6 см.

4) Сумма площадей всех граней (площадь полной поверхности) равна сумме площадей трёх пар равных граней. Обозначим измерения параллелепипеда как $a=2$ см, $b=4$ см и $c=6$ см.

Площадь двух оснований (верхней и нижней граней): $S_1 = 2 \times (a \times b) = 2 \times (2 \text{ см} \times 4 \text{ см}) = 16 \text{ см}^2$.

Площадь двух передней и задней граней: $S_2 = 2 \times (a \times c) = 2 \times (2 \text{ см} \times 6 \text{ см}) = 24 \text{ см}^2$.

Площадь двух боковых граней: $S_3 = 2 \times (b \times c) = 2 \times (4 \text{ см} \times 6 \text{ см}) = 48 \text{ см}^2$.

Общая сумма площадей всех граней: $S_{полн} = S_1 + S_2 + S_3 = 16 \text{ см}^2 + 24 \text{ см}^2 + 48 \text{ см}^2 = 88 \text{ см}^2$.

Также можно воспользоваться общей формулой для площади полной поверхности прямоугольного параллелепипеда:

$S_{полн} = 2 \cdot (ab + ac + bc) = 2 \cdot (2 \cdot 4 + 2 \cdot 6 + 4 \cdot 6) = 2 \cdot (8 + 12 + 24) = 2 \cdot 44 = 88 \text{ см}^2$.

Ответ: $88 \text{ см}^2$.

942 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Представьте, что вам необходимо сделать из проволоки каркасную модель куба с ребром 10 см и параллелепипеда с измерениями 6 см, 10 см, 14 см. Какой длины проволоку достаточно взять в каждом случае?

Чтобы найти необходимую длину проволоки для каждой каркасной модели, нужно вычислить сумму длин всех ребер для каждой фигуры.

Каркасная модель куба

Куб имеет 12 ребер, и все они равны между собой. Длина одного ребра по условию задачи составляет 10 см.
Чтобы найти общую длину проволоки, необходимую для создания каркаса куба ($L_{куба}$), нужно умножить количество ребер на длину одного ребра.
$L_{куба} = 12 \times 10 \text{ см} = 120 \text{ см}$.
Ответ: для изготовления модели куба достаточно проволоки длиной 120 см.

Каркасная модель параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед, как и куб, имеет 12 ребер. Однако они сгруппированы по 4 ребра одинаковой длины, которые соответствуют трем измерениям фигуры (длине, ширине и высоте).
По условию, измерения параллелепипеда равны 6 см, 10 см и 14 см.
Общая длина проволоки для каркаса параллелепипеда ($L_{пар}$) равна учетверенной сумме его трех измерений.
$L_{пар} = 4 \times (6 \text{ см} + 10 \text{ см} + 14 \text{ см})$
Выполним сложение в скобках:
$6 + 10 + 14 = 30 \text{ см}$
Теперь умножим результат на 4:
$L_{пар} = 4 \times 30 \text{ см} = 120 \text{ см}$.
Ответ: для изготовления модели параллелепипеда достаточно проволоки длиной 120 см.

943 Возьмите какую-нибудь коробку, имеющую форму параллелепипеда, проведите необходимые измерения и найдите площадь её поверхности.

Для решения этой задачи необходимо взять любую коробку, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда (например, коробку из-под обуви), и провести измерения её длины, ширины и высоты с помощью линейки.

Поскольку это практическое задание, реальные значения будут зависеть от выбранной вами коробки. В качестве примера, проведем расчет для коробки с гипотетическими размерами.

Шаг 1: Измерение сторон коробки

Допустим, после измерения мы получили следующие значения:

• Длина (a) = 28 см
• Ширина (b) = 16 см
• Высота (c) = 11 см

Шаг 2: Расчет площади поверхности

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда — это сумма площадей всех его шести граней. Грани попарно равны, поэтому формула для расчета общей площади поверхности ($S$) выглядит следующим образом:

$S = 2 \cdot (ab + bc + ac)$

Подставим наши измеренные значения в эту формулу:

$S = 2 \cdot (28 \cdot 16 + 16 \cdot 11 + 28 \cdot 11)$

Выполним вычисления по шагам. Сначала найдем произведения в скобках, которые соответствуют площадям трех разных граней:

$28 \cdot 16 = 448$ см²

$16 \cdot 11 = 176$ см²

$28 \cdot 11 = 308$ см²

Теперь сложим полученные значения, чтобы найти сумму площадей трех различных граней:

$448 + 176 + 308 = 932$ см²

Наконец, умножим эту сумму на 2, так как у каждой грани есть пара:

$S = 2 \cdot 932 = 1864$ см²

Таким образом, площадь поверхности нашей гипотетической коробки составляет 1864 квадратных сантиметра.

Ответ: Для коробки с размерами 28 см, 16 см и 11 см площадь её поверхности составляет 1864 см². Ваш результат будет зависеть от размеров выбранной вами коробки, но метод расчета будет таким же.

944 ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ

Возьмите развёртку куба, пронумеруйте её квадраты и сложите из неё куб. Какие из квадратов развёртки соединились при сложении куба? Какие не соединились? Поставьте куб на одну из граней. Какой из квадратов развёртки является верхней гранью куба?

Для ответа на вопросы возьмём одну из возможных развёрток куба и пронумеруем её квадраты, как показано на схеме. Эта развёртка является одной из 11 существующих.

Теперь мысленно сложим из этой развёртки куб. При сгибании можно определить, какие грани (квадраты) окажутся противоположными друг другу. Для данной развёртки это будут пары: (1 и 5), (2 и 4), (3 и 6). Зная это, можно ответить на все вопросы.

Какие из квадратов развёртки соединились при сложении куба?

При сложении куба квадраты развёртки становятся его гранями. Соединившимися считаются те грани, которые имеют общее ребро. В кубе каждая грань соединяется (соприкасается) с четырьмя другими гранями. Это все грани, кроме противоположной.

• Квадрат 1 соединяется с квадратами 2, 3, 4 и 6.
• Квадрат 2 соединяется с квадратами 1, 3, 5 и 6.
• Квадрат 3 соединяется с квадратами 1, 2, 4 и 5.
• Квадрат 4 соединяется с квадратами 1, 3, 5 и 6.
• Квадрат 5 соединяется с квадратами 2, 3, 4 и 6.
• Квадрат 6 соединяется с квадратами 1, 2, 4 и 5.

Ответ: Каждая грань соединилась с четырьмя соседними гранями.

Какие не соединились?

Не соединились те квадраты (грани), которые на получившемся кубе расположены друг напротив друга, то есть являются противоположными. Они не имеют общих рёбер или вершин. Для нашей развёртки это следующие пары квадратов:

• Квадрат 1 и квадрат 5.
• Квадрат 2 и квадрат 4.
• Квадрат 3 и квадрат 6.

Ответ: Не соединились пары противоположных граней: (1, 5), (2, 4), (3, 6).

Поставьте куб на одну из граней. Какой из квадратов развёртки является верхней гранью куба?

Верхней гранью куба будет та, которая является противоположной нижней грани (той, на которой стоит куб). В зависимости от того, какой квадрат выбран в качестве нижней грани, верхняя грань будет меняться:

• Если куб стоит на грани 1 (нижняя), то верхняя грань – 5.
• Если куб стоит на грани 2 (нижняя), то верхняя грань – 4.
• Если куб стоит на грани 3 (нижняя), то верхняя грань – 6.
• Если куб стоит на грани 4 (нижняя), то верхняя грань – 2.
• Если куб стоит на грани 5 (нижняя), то верхняя грань – 1.
• Если куб стоит на грани 6 (нижняя), то верхняя грань – 3.

Ответ: Верхней гранью будет квадрат, который в развёртке является противоположным квадрату, выбранному в качестве нижней грани.