Страница 243 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

■ Рис. 10.26

953 Почему фигуры, изображённые на рисунке 10.26, не могут быть развёртками куба?

Для того чтобы фигура являлась развёрткой куба, она должна удовлетворять двум основным условиям:
1. Состоять ровно из 6 одинаковых квадратов (по числу граней куба).
2. При сгибании по линиям сетки должна образовываться замкнутая поверхность куба, где грани не накладываются друг на друга.

Проанализируем каждую фигуру:

1
Данная фигура состоит из 5 квадратов. Куб имеет 6 граней, следовательно, его развёртка должна содержать 6 квадратов. Так как количество квадратов не равно 6, эта фигура не может быть развёрткой куба.
Ответ: Фигура состоит из 5 квадратов, а у куба 6 граней.

2
Эта фигура состоит из 6 квадратов, но их расположение в один длинный ряд не позволяет сложить замкнутый куб. При попытке сгибания такой полосы четыре квадрата могут образовать боковые грани, но оставшиеся два квадрата не смогут одновременно стать дном и крышкой. Они окажутся с одной стороны, что приведёт к наложению граней, в то время как противоположная грань будет отсутствовать.
Ответ: Расположение квадратов в один ряд приводит к наложению граней при сгибании, и замкнутый куб не образуется.

3
Данная фигура состоит из 7 квадратов. Это противоречит первому условию, так как у куба ровно 6 граней.
Ответ: Фигура состоит из 7 квадратов, а у куба 6 граней.

4
Эта фигура состоит из 6 квадратов. Чтобы проверить, можно ли из неё сложить куб, выберем один из центральных квадратов в качестве основания (например, второй слева в верхнем ряду). Тогда квадрат слева от него станет левой боковой гранью, квадрат под ним — передней, а квадрат справа от него — правой. Мы получим основание с тремя боковыми стенками. Оставшиеся два квадрата (крайний правый в верхнем ряду и правый в нижнем ряду) оба примыкают к правой боковой грани. При сгибании они оба будут претендовать на одно и то же место — место верхней грани, то есть они наложатся друг на друга. При этом задняя грань куба останется отсутствующей.
Ответ: При сгибании две грани накладываются друг на друга, а одна из граней остаётся непокрытой.

954 Мысленно сверните куб из развёртки на рисунке 10.27, а – г и определите, какая грань является верхней, если закрашенная грань нижняя.

а) $ \begin{array}{ccc} & \text{А} & \\ \text{Б} & \blacksquare & \text{В} \\ & \text{Г} & \\ & \text{Д} & \end{array} $

б) $ \begin{array}{cc} & \text{А} \\ & \text{Б} \\ & \blacksquare \\ \text{Г} & \text{Д} \end{array} $

в) $ \begin{array}{cccc} \text{А} & \text{Б} & & \\ & \text{В} & \blacksquare & \\ & \text{Г} & & \\ & \text{Д} & & \end{array} $

г) $ \begin{array}{cc} \text{А} & \text{Б} \\ \text{В} & \text{Г} \\ & \text{Д} \\ & \blacksquare \end{array} $

Рис. 10.27

а) В данной развёртке закрашенная грань находится в центре. Грани, расположенные через одну от неё, будут противоположными. Грань А противоположна грани Г, а грань Б — грани В. Центральная закрашенная грань будет противоположна грани Д. Таким образом, если закрашенная грань является нижней, то грань Д будет верхней.
Ответ: Д

б) В этой развёртке грани А, Б и закрашенная грань расположены в один ряд. В таком случае крайние грани (А и закрашенная) являются противоположными. Если закрашенная грань будет нижней, то противоположная ей грань А окажется верхней.
Ответ: А

в) Определим пары противоположных граней. В вертикальном ряду из четырёх квадратов (Б, В, Г, Д) грани, расположенные через одну, противоположны. Таким образом, Б противоположна Г, а В — Д. Оставшиеся две грани, А и закрашенная, также образуют пару противоположных граней. Следовательно, если закрашенная грань нижняя, то верхняя — это грань А.
Ответ: А

г) Мысленно свернём куб, приняв грань Г за переднюю. Тогда грань В будет левой, грань Д — нижней, а грань А — верхней. Грань Б, примыкающая к верхней грани А, станет задней. Закрашенная грань, примыкающая к нижней грани Д, окажется правой. Таким образом, мы получаем следующие пары противоположных граней: (А, Д), (Г, Б) и (В, закрашенная). Если закрашенная грань будет нижней, то противоположная ей грань В станет верхней.
Ответ: В

955 Все кубики, из которых сложен многогранник (рис. 10.28, а), одинаковы. Перечертите в тетрадь развёртку кубика (рис. 10.28, б) и нанесите на неё недостающие буквы.

а) б) Рис. 10.28

Для решения этой задачи необходимо определить, как расположены буквы на гранях одного кубика. Все кубики в фигуре одинаковы, но по-разному ориентированы. Проанализировав расположение букв на видимых гранях разных кубиков, мы можем восстановить полную развёртку.

1. Определение соседних и противоположных граней.

Проанализируем видимые грани кубиков на рисунке 10.28, а:

• Верхний задний кубик: Мы видим, что грани с буквами Д (сверху), Г (спереди) и В (слева) сходятся в одной вершине. Это означает, что эти три грани являются взаимно смежными (соседними).
• Верхний правый кубик: Грани В (сверху) и Е (справа) — смежные.
• Нижний левый кубик: Грани Б (сверху) и В (слева) — смежные.
• Нижний средний кубик: Грани А (сверху) и Б (спереди) — смежные.
• Нижний правый кубик: Грани Е (сверху) и А (спереди) — смежные.

Теперь соберём информацию о соседях для каждой грани:

• К грани А примыкают Б и Е.
• К грани Б примыкают А и В.
• К грани В примыкают Д, Г, Е, Б.
• К грани Г примыкают Д и В.
• К грани Д примыкают Г и В.
• К грани Е примыкают В и А.

У куба 6 граней. Мы видим, что у грани В есть четыре соседа: Д, Г, Е, Б. Всего на кубике 6 букв (А, Б, В, Г, Д, Е). Единственная буква, которая не является соседом для В, — это А. Следовательно, грани А и В являются противоположными.

Остались буквы Г, Д, Б, Е. Они должны образовать две другие пары противоположных граней. Из анализа верхнего заднего кубика мы знаем, что Д и Г — смежные, поэтому они не могут быть противоположными. Значит, пары могут быть либо (Д-Б и Г-Е), либо (Д-Е и Г-Б).

2. Определение правильной развёртки.

Теперь нужно использовать ориентацию граней, чтобы выбрать правильный вариант и расположить буквы на развёртке. Развёртка на рисунке 10.28, б представляет собой крест (хотя на рисунке не хватает одной клетки для полной развёртки куба, мы дополним её до стандартного вида).

Возьмём за основу ориентацию граней на верхнем заднем кубике: Д — верхняя грань, Г — передняя, В — левая.

Мысленно повернём этот кубик так, чтобы грань Д стала передней (как на центральной клетке развёртки). При таком повороте (на 90° вперёд вокруг горизонтальной оси):

• Верхняя грань (Д) станет передней.
• Передняя грань (Г) станет нижней.
• Левая грань (В) останется левой.
• Правая грань (противоположная В, то есть А) останется правой.
• Задняя грань (противоположная Г) станет верхней.
• Нижняя грань (противоположная Д) станет задней.

Теперь определим, какая пара противоположных граней верна: (Г-Б, Д-Е) или (Г-Е, Д-Б).

Проверим вариант, где Г противоположна Е, а Д противоположна Б.В этом случае наша развёртка будет выглядеть так:

• Центр (Передняя грань) = Д
• Низ (Нижняя грань) = Г
• Лево (Левая грань) = В
• Право (Правая грань) = А
• Верх (Верхняя грань, противоположная Г) = Е
• Задняя грань (противоположная Д) = Б

Давайте проверим эту модель куба на соответствие всем остальным видам из рисунка 10.28, а.

• Вид {сверху В, справа Е}: В нашей модели поворачиваем куб так, чтобы В (левая грань) оказалась сверху. При этом Е (верхняя грань) окажется справа. Соответствует.
• Вид {сверху Б, слева В}: В нашей модели Б — задняя грань, В — левая. Они смежные. Если повернуть куб так, чтобы Б стала верхней, В окажется слева. Соответствует.
• Вид {сверху А, спереди Б}: В нашей модели А — правая грань, Б — задняя. Они смежные. Можно повернуть куб так, чтобы А была сверху, а Б — спереди. Соответствует.
• Вид {сверху Е, справа А}: В нашей модели Е — верхняя, А — правая. Соответствует.

Все условия выполняются. Следовательно, мы нашли правильное расположение букв.

3. Заполнение развёртки.

Теперь нанесём найденные буквы на развёртку из рисунка 10.28, б, дополнив её до 6 клеток.

Ответ: Противоположными гранями кубика являются пары (А, В), (Г, Е) и (Д, Б). Правильно заполненная развёртка показана на рисунке выше.

956 По каким рёбрам можно разрезать куб (рис. 10.29), чтобы получить развёртку под номером 3 (см. рис. 10.16)? Нарисуйте куб в тетради и покажите какую-нибудь линию разреза. Подсказка. Воспользуйтесь моделью куба.

a) Д Б Г Е В А Е

б) Д

K O N M D C B A

Рис. 10.28

Рис. 10.29

Для того чтобы из куба получить его развёртку, необходимо разрезать его по некоторым рёбрам. Всего у куба 12 рёбер. Развёртка куба состоит из 6 квадратов (граней), соединённых между собой. Чтобы соединить 6 граней в одну плоскую фигуру без замкнутых контуров, необходимо оставить неразрезанными $6 - 1 = 5$ рёбер. Следовательно, разрезать нужно $12 - 5 = 7$ рёбер.

В задаче требуется получить развёртку в форме креста (на рис. 10.28 б) изображена развёртка из 5 квадратов, что является, вероятно, опечаткой; для куба нужна развёртка из 6 квадратов). Создадим одну из возможных развёрток, похожую на крест, и определим, какие рёбра для этого нужно разрезать.

Выберем одну из граней в качестве центральной, например, переднюю грань $ABMK$. Вокруг неё "развернём" четыре смежные грани: верхнюю ($KMNO$), нижнюю ($ABCD$), левую ($AKOD$) и правую ($BMNC$). Шестая, задняя грань ($CDON$), должна быть присоединена к одной из этих четырёх. Присоединим её, например, к верхней грани $KMNO$.

Для такого разворачивания неразрезанными должны остаться следующие 5 рёбер:

• $KM$ (соединяет переднюю и верхнюю грани)
• $AB$ (соединяет переднюю и нижнюю грани)
• $AK$ (соединяет переднюю и левую грани)
• $BM$ (соединяет переднюю и правую грани)
• $ON$ (соединяет верхнюю и заднюю грани)

Соответственно, разрезать нужно все остальные 7 рёбер куба. Это рёбра верхнего основания $OK$ и $MN$, рёбра нижнего основания $AD$, $DC$ и $CB$, а также боковые рёбра $DO$ и $CN$.

Ниже на рисунке показан куб с указанными линиями разреза. Разрезанные рёбра выделены красным цветом. Скрытые рёбра куба показаны пунктирной линией.

Ответ: Чтобы получить развёртку куба, можно разрезать его по рёбрам $AD$, $DC$, $CB$, $DO$, $CN$, $OK$ и $MN$.