Номер 955, страница 243 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

10.2. Параллелепипед. Глава 10. Многогранники - номер 955, страница 243.

955 Все кубики, из которых сложен многогранник (рис. 10.28, а), одинаковы. Перечертите в тетрадь развёртку кубика (рис. 10.28, б) и нанесите на неё недостающие буквы.

а) б) Рис. 10.28

Для решения этой задачи необходимо определить, как расположены буквы на гранях одного кубика. Все кубики в фигуре одинаковы, но по-разному ориентированы. Проанализировав расположение букв на видимых гранях разных кубиков, мы можем восстановить полную развёртку.

1. Определение соседних и противоположных граней.

Проанализируем видимые грани кубиков на рисунке 10.28, а:

• Верхний задний кубик: Мы видим, что грани с буквами Д (сверху), Г (спереди) и В (слева) сходятся в одной вершине. Это означает, что эти три грани являются взаимно смежными (соседними).
• Верхний правый кубик: Грани В (сверху) и Е (справа) — смежные.
• Нижний левый кубик: Грани Б (сверху) и В (слева) — смежные.
• Нижний средний кубик: Грани А (сверху) и Б (спереди) — смежные.
• Нижний правый кубик: Грани Е (сверху) и А (спереди) — смежные.

Теперь соберём информацию о соседях для каждой грани:

• К грани А примыкают Б и Е.
• К грани Б примыкают А и В.
• К грани В примыкают Д, Г, Е, Б.
• К грани Г примыкают Д и В.
• К грани Д примыкают Г и В.
• К грани Е примыкают В и А.

У куба 6 граней. Мы видим, что у грани В есть четыре соседа: Д, Г, Е, Б. Всего на кубике 6 букв (А, Б, В, Г, Д, Е). Единственная буква, которая не является соседом для В, — это А. Следовательно, грани А и В являются противоположными.

Остались буквы Г, Д, Б, Е. Они должны образовать две другие пары противоположных граней. Из анализа верхнего заднего кубика мы знаем, что Д и Г — смежные, поэтому они не могут быть противоположными. Значит, пары могут быть либо (Д-Б и Г-Е), либо (Д-Е и Г-Б).

2. Определение правильной развёртки.

Теперь нужно использовать ориентацию граней, чтобы выбрать правильный вариант и расположить буквы на развёртке. Развёртка на рисунке 10.28, б представляет собой крест (хотя на рисунке не хватает одной клетки для полной развёртки куба, мы дополним её до стандартного вида).

Возьмём за основу ориентацию граней на верхнем заднем кубике: Д — верхняя грань, Г — передняя, В — левая.

Мысленно повернём этот кубик так, чтобы грань Д стала передней (как на центральной клетке развёртки). При таком повороте (на 90° вперёд вокруг горизонтальной оси):

• Верхняя грань (Д) станет передней.
• Передняя грань (Г) станет нижней.
• Левая грань (В) останется левой.
• Правая грань (противоположная В, то есть А) останется правой.
• Задняя грань (противоположная Г) станет верхней.
• Нижняя грань (противоположная Д) станет задней.

Теперь определим, какая пара противоположных граней верна: (Г-Б, Д-Е) или (Г-Е, Д-Б).

Проверим вариант, где Г противоположна Е, а Д противоположна Б.В этом случае наша развёртка будет выглядеть так:

• Центр (Передняя грань) = Д
• Низ (Нижняя грань) = Г
• Лево (Левая грань) = В
• Право (Правая грань) = А
• Верх (Верхняя грань, противоположная Г) = Е
• Задняя грань (противоположная Д) = Б

Давайте проверим эту модель куба на соответствие всем остальным видам из рисунка 10.28, а.

• Вид {сверху В, справа Е}: В нашей модели поворачиваем куб так, чтобы В (левая грань) оказалась сверху. При этом Е (верхняя грань) окажется справа. Соответствует.
• Вид {сверху Б, слева В}: В нашей модели Б — задняя грань, В — левая. Они смежные. Если повернуть куб так, чтобы Б стала верхней, В окажется слева. Соответствует.
• Вид {сверху А, спереди Б}: В нашей модели А — правая грань, Б — задняя. Они смежные. Можно повернуть куб так, чтобы А была сверху, а Б — спереди. Соответствует.
• Вид {сверху Е, справа А}: В нашей модели Е — верхняя, А — правая. Соответствует.

Все условия выполняются. Следовательно, мы нашли правильное расположение букв.

3. Заполнение развёртки.

Теперь нанесём найденные буквы на развёртку из рисунка 10.28, б, дополнив её до 6 клеток.

	Е
В	Д	А
	Г
	Б

Ответ: Противоположными гранями кубика являются пары (А, В), (Г, Е) и (Д, Б). Правильно заполненная развёртка показана на рисунке выше.