Номер 950, страница 242 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

10.2. Параллелепипед. Глава 10. Многогранники - номер 950, страница 242.

949 Прямоугольный лист цветной бумаги имеет размеры 12 см и 8 см. Достаточно ли этого листа, чтобы оклеить параллелепипед длиной 3 см, шириной 4 см и высотой 5 см, если оклеивать можно кусочками бумаги любой формы?

950 ИЩЕМ СПОСОБ ПОДСЧЁТА Куб с ребром 3 дм окрасили зелёной краской, а затем распилили на кубики с ребром 1 дм (рис. 10.25).

Рис. 10.25

1) Сколько всего получилось кубиков? Сколько среди них имеют одну окрашенную грань? две окрашенные грани? три окрашенные грани? Есть ли неокрашенные кубики?

2) Все кубики выложили в один ряд. Какова длина этого ряда?

1) Сначала найдем общее количество маленьких кубиков. Ребро большого куба равно 3 дм, а ребро маленького — 1 дм. Значит, вдоль каждого ребра большого куба укладывается $3 / 1 = 3$ маленьких кубика. Общее количество маленьких кубиков равно объему большого куба, измеренному в маленьких кубиках:
$N_{общ} = 3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27$ кубиков.
Теперь определим, сколько кубиков имеют разное количество окрашенных граней:
- Кубики с тремя окрашенными гранями: это кубики, расположенные в вершинах большого куба. У куба 8 вершин, следовательно, таких кубиков 8.
- Кубики с двумя окрашенными гранями: это кубики, расположенные на ребрах, за исключением угловых. У куба 12 ребер. На каждом ребре находится по $3 - 2 = 1$ такому кубику. Общее количество: $1 \times 12 = 12$ кубиков.
- Кубики с одной окрашенной гранью: это кубики, находящиеся в центре каждой из 6 граней. Каждая грань состоит из $3 \times 3$ маленьких кубиков. Центральную часть каждой грани занимает $(3 - 2) \times (3 - 2) = 1 \times 1 = 1$ кубик. Общее количество: $1 \times 6 = 6$ кубиков.
- Неокрашенные кубики: это кубики, расположенные внутри большого куба. Они образуют внутренний куб с ребром $3 - 2 = 1$ дм. Их количество: $1 \times 1 \times 1 = 1^3 = 1$ кубик.
Проверка: $8 + 12 + 6 + 1 = 27$.
Ответ: Всего получилось 27 кубиков. Среди них 6 кубиков имеют одну окрашенную грань, 12 кубиков — две окрашенные грани, 8 кубиков — три окрашенные грани. Есть 1 неокрашенный кубик.

2) Общее количество маленьких кубиков — 27. Длина ребра каждого кубика — 1 дм. Если все кубики выложить в один ряд, то общая длина этого ряда будет равна произведению количества кубиков на длину ребра одного кубика.
Длина ряда = $27 \times 1 \text{ дм} = 27 \text{ дм}$.
Ответ: Длина этого ряда 27 дм.