Страница 242 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

949 Прямоугольный лист цветной бумаги имеет размеры 12 см и 8 см. Достаточно ли этого листа, чтобы оклеить параллелепипед длиной 3 см, шириной 4 см и высотой 5 см, если оклеивать можно кусочками бумаги любой формы?

Для того чтобы определить, достаточно ли листа бумаги для оклейки параллелепипеда, необходимо сравнить площадь листа бумаги с площадью полной поверхности параллелепипеда. Так как по условию задачи оклеивать можно кусочками любой формы, нам достаточно убедиться, что площадь бумаги не меньше площади поверхности параллелепипеда.

1. Найдем площадь прямоугольного листа бумаги.
Размеры листа составляют 12 см и 8 см. Площадь прямоугольника ($S_{бумаги}$) вычисляется как произведение его длины на ширину.
$S_{бумаги} = 12 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 96 \text{ см}^2$.

2. Найдем площадь полной поверхности параллелепипеда.
Параллелепипед имеет три измерения: длину $a = 3$ см, ширину $b = 4$ см и высоту $c = 5$ см. Площадь его полной поверхности ($S_{парал}$) — это сумма площадей всех его шести граней. Формула для расчета: $S = 2(ab + ac + bc)$.
Подставим значения в формулу:
$S_{парал} = 2 \cdot (3 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 5)$
$S_{парал} = 2 \cdot (12 + 15 + 20)$
$S_{парал} = 2 \cdot 47$
$S_{парал} = 94 \text{ см}^2$.

3. Сравним площади и сделаем вывод.
Площадь листа бумаги равна $96 \text{ см}^2$.
Площадь поверхности параллелепипеда равна $94 \text{ см}^2$.
Сравниваем полученные значения: $96 \text{ см}^2 > 94 \text{ см}^2$.
Поскольку площадь листа бумаги больше, чем площадь поверхности параллелепипеда, этого листа будет достаточно для оклейки.
Ответ: Да, достаточно.

949 Прямоугольный лист цветной бумаги имеет размеры 12 см и 8 см. Достаточно ли этого листа, чтобы оклеить параллелепипед длиной 3 см, шириной 4 см и высотой 5 см, если оклеивать можно кусочками бумаги любой формы?

950 ИЩЕМ СПОСОБ ПОДСЧЁТА Куб с ребром 3 дм окрасили зелёной краской, а затем распилили на кубики с ребром 1 дм (рис. 10.25).

Рис. 10.25

1) Сколько всего получилось кубиков? Сколько среди них имеют одну окрашенную грань? две окрашенные грани? три окрашенные грани? Есть ли неокрашенные кубики?

2) Все кубики выложили в один ряд. Какова длина этого ряда?

1) Сначала найдем общее количество маленьких кубиков. Ребро большого куба равно 3 дм, а ребро маленького — 1 дм. Значит, вдоль каждого ребра большого куба укладывается $3 / 1 = 3$ маленьких кубика. Общее количество маленьких кубиков равно объему большого куба, измеренному в маленьких кубиках:
$N_{общ} = 3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27$ кубиков.
Теперь определим, сколько кубиков имеют разное количество окрашенных граней:
- Кубики с тремя окрашенными гранями: это кубики, расположенные в вершинах большого куба. У куба 8 вершин, следовательно, таких кубиков 8.
- Кубики с двумя окрашенными гранями: это кубики, расположенные на ребрах, за исключением угловых. У куба 12 ребер. На каждом ребре находится по $3 - 2 = 1$ такому кубику. Общее количество: $1 \times 12 = 12$ кубиков.
- Кубики с одной окрашенной гранью: это кубики, находящиеся в центре каждой из 6 граней. Каждая грань состоит из $3 \times 3$ маленьких кубиков. Центральную часть каждой грани занимает $(3 - 2) \times (3 - 2) = 1 \times 1 = 1$ кубик. Общее количество: $1 \times 6 = 6$ кубиков.
- Неокрашенные кубики: это кубики, расположенные внутри большого куба. Они образуют внутренний куб с ребром $3 - 2 = 1$ дм. Их количество: $1 \times 1 \times 1 = 1^3 = 1$ кубик.
Проверка: $8 + 12 + 6 + 1 = 27$.
Ответ: Всего получилось 27 кубиков. Среди них 6 кубиков имеют одну окрашенную грань, 12 кубиков — две окрашенные грани, 8 кубиков — три окрашенные грани. Есть 1 неокрашенный кубик.

2) Общее количество маленьких кубиков — 27. Длина ребра каждого кубика — 1 дм. Если все кубики выложить в один ряд, то общая длина этого ряда будет равна произведению количества кубиков на длину ребра одного кубика.
Длина ряда = $27 \times 1 \text{ дм} = 27 \text{ дм}$.
Ответ: Длина этого ряда 27 дм.

951 ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ Вылепите кубик из пластилина и разрежьте его на две части ножом. Какие многоугольники получились в разрезе? Выбирая различные направления, определите, какие многоугольники можно получить при пересечении куба плоскостью. Сколько рёбер пересечёт плоскость в каждом случае?

При пересечении куба плоскостью можно получить многоугольники с числом сторон от трёх до шести. Количество сторон многоугольника, полученного в сечении, равно количеству рёбер куба, которые пересекает секущая плоскость.

Чтобы получить в сечении треугольник, плоскость должна пересечь три ребра куба, сходящиеся в одной вершине. Это похоже на то, как если бы от куба отрезали один из его углов. В зависимости от угла наклона плоскости, полученный треугольник может быть равносторонним (если отрезки, отсекаемые на рёбрах от вершины, равны), равнобедренным или разносторонним.
В этом случае плоскость пересекает 3 ребра.

Ответ: Треугольник. Плоскость пересекает 3 ребра.

Четырехугольник в сечении образуется, когда плоскость пересекает четыре ребра куба. Этот случай допускает большое разнообразие форм:
– Квадрат: получается, если секущая плоскость параллельна одной из граней куба.
– Прямоугольник: получается, если плоскость параллельна одному из рёбер, но не параллельна ни одной из граней.
– Параллелограмм: получается, когда плоскость пересекает две пары параллельных граней, но не перпендикулярна им.
– Ромб: частный случай параллелограмма, который можно получить, например, проведя сечение через середины четырех ребер, выходящих из двух противоположных вершин.
– Трапеция: получается, если плоскость пересекает только одну пару параллельных граней.
Во всех этих случаях плоскость пересекает 4 ребра.

Ответ: Четырехугольник (квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб, трапеция). Плоскость пересекает 4 ребра.

Пятиугольник получается в сечении, когда плоскость пересекает пять из шести граней куба. Для этого плоскость должна быть наклонена таким образом, чтобы пересечь пять рёбер. Например, можно представить плоскость, которая «срезает» один угол куба, но проходит достаточно глубоко, чтобы задеть не три, а пять рёбер.
В этом случае плоскость пересекает 5 рёбер.

Ответ: Пятиугольник. Плоскость пересекает 5 рёбер.

Шестиугольник образуется, когда плоскость пересекает все шесть граней куба. Это многоугольник с максимально возможным числом сторон в сечении куба. Классический пример — сечение плоскостью, проходящей через середины шести рёбер. Если такая плоскость перпендикулярна главной диагонали куба (соединяющей две наиболее удалённые вершины), то в сечении получится правильный шестиугольник.
В этом случае плоскость пересекает 6 рёбер.

Ответ: Шестиугольник. Плоскость пересекает 6 рёбер.

952 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ Представьте, что вы хотите сделать аквариум, имеющий форму параллелепипеда. Для этого необходимо в мастерской заказать стёкла.

1) Сколько стёкол и какого размера надо заказать, если длина аквариума должна равняться 50 см, ширина — 30 см, а высота — 40 см?

2) Сколько придётся заплатить, если стоимость стекла составляет 400 р. за 1 м2?

3) Такими же или нет будут затраты на изготовление аквариума, у которого длина равна 40 см, ширина — 30 см, высота — 50 см?

1) Сколько стёкол и какого размера надо заказать, если длина аквариума должна равняться 50 см, ширина — 30 см, а высота — 40 см?

Аквариум представляет собой прямоугольный параллелепипед без верхней крышки. Для его изготовления потребуется 5 прямоугольных стёкол: одно для дна и четыре для стенок.

• Дно: 1 стекло размером 50 см × 30 см (длина × ширина).
• Передняя и задняя стенки: 2 одинаковых стекла размером 50 см × 40 см (длина × высота).
• Боковые стенки: 2 одинаковых стекла размером 30 см × 40 см (ширина × высота).

Ответ: нужно заказать 5 стёкол: одно размером 50×30 см, два размером 50×40 см и два размером 30×40 см.

2) Сколько придётся заплатить, если стоимость стекла составляет 400 р. за 1 м²?

Для расчёта стоимости необходимо найти общую площадь всех стёкол, а затем умножить её на цену за 1 м². Сначала найдём площадь каждой части в см², а затем сложим их.

1. Площадь дна:
$S_{дна} = 50 \text{ см} \times 30 \text{ см} = 1500 \text{ см}^2$.

2. Площадь двух передних/задних стенок:
$S_{перед/зад} = 2 \times (50 \text{ см} \times 40 \text{ см}) = 2 \times 2000 \text{ см}^2 = 4000 \text{ см}^2$.

3. Площадь двух боковых стенок:
$S_{бок} = 2 \times (30 \text{ см} \times 40 \text{ см}) = 2 \times 1200 \text{ см}^2 = 2400 \text{ см}^2$.

4. Общая площадь стекла:
$S_{общ} = S_{дна} + S_{перед/зад} + S_{бок} = 1500 + 4000 + 2400 = 7900 \text{ см}^2$.

5. Переведём площадь из см² в м², зная, что $1 \text{ м}^2 = 10000 \text{ см}^2$:
$S_{общ} = 7900 \text{ см}^2 = \frac{7900}{10000} \text{ м}^2 = 0.79 \text{ м}^2$.

6. Рассчитаем итоговую стоимость:
Стоимость = $0.79 \text{ м}^2 \times 400 \text{ р./м}^2 = 316$ рублей.

Ответ: придётся заплатить 316 рублей.

3) Такими же или нет будут затраты на изготовление аквариума, у которого длина равна 40 см, ширина — 30 см, высота — 50 см?

Чтобы сравнить затраты, нужно рассчитать площадь поверхности стекла для аквариума с новыми размерами: длина $a' = 40$ см, ширина $b' = 30$ см, высота $h' = 50$ см.

1. Площадь дна нового аквариума:
$S'_{дна} = 40 \text{ см} \times 30 \text{ см} = 1200 \text{ см}^2$.

2. Площадь двух передних/задних стенок:
$S'_{перед/зад} = 2 \times (40 \text{ см} \times 50 \text{ см}) = 2 \times 2000 \text{ см}^2 = 4000 \text{ см}^2$.

3. Площадь двух боковых стенок:
$S'_{бок} = 2 \times (30 \text{ см} \times 50 \text{ см}) = 2 \times 1500 \text{ см}^2 = 3000 \text{ см}^2$.

4. Общая площадь стекла для нового аквариума:
$S'_{общ} = S'_{дна} + S'_{перед/зад} + S'_{бок} = 1200 + 4000 + 3000 = 8200 \text{ см}^2$.

Площадь стекла для первого аквариума была $7900 \text{ см}^2$, а для второго — $8200 \text{ см}^2$. Поскольку площади различны ($8200 \text{ см}^2 \neq 7900 \text{ см}^2$), затраты на их изготовление также будут разными.
Стоимость второго аквариума: $S'_{общ} = 8200 \text{ см}^2 = 0.82 \text{ м}^2$.
Стоимость' = $0.82 \text{ м}^2 \times 400 \text{ р./м}^2 = 328$ рублей.
$328 \text{ р.} \neq 316 \text{ р.}$

Ответ: нет, затраты будут другими.