Страница 235 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

922 У многогранника 4 вершины. Найдите такой многогранник на рисунке 10.2. Сколько граней сходится в каждой вершине этого многогранника? Сколько всего граней? Какую форму они имеют? Сколько у этого многогранника рёбер и сколько рёбер выходит из каждой вершины?

Рис. 10.2

Сначала необходимо найти многогранник с 4 вершинами среди представленных на рисунке. Посчитаем количество вершин (углов) у каждой фигуры:
1. Прямоугольный параллелепипед — 8 вершин.
2. Треугольная пирамида (тетраэдр) — 4 вершины.
3. Октаэдр — 6 вершин.
4. Шестиугольная призма — 12 вершин.
5. Треугольная призма — 6 вершин.
Таким образом, условию задачи соответствует многогранник под номером 2 — треугольная пирамида. Дальнейшие расчёты будем производить для него.

Сколько граней сходится в каждой вершине этого многогранника?
В треугольной пирамиде каждая вершина образована пересечением трёх плоскостей. Например, в верхней вершине сходятся три боковые грани. В любой из трёх вершин основания сходятся одна грань основания и две боковые грани. Следовательно, в каждой вершине сходится по 3 грани.
Ответ: 3 грани.

Сколько всего граней? Какую форму они имеют?
У треугольной пирамиды есть основание и три боковые грани. Всего получается $1 + 3 = 4$ грани. Каждая грань (и основание, и боковые) представляет собой треугольник.
Ответ: 4 грани, все они имеют форму треугольника.

Сколько у этого многогранника рёбер и сколько рёбер выходит из каждой вершины?
Рёбра — это отрезки, по которым пересекаются грани. У треугольной пирамиды 3 ребра в основании и 3 боковых ребра, которые соединяют вершины основания с вершиной пирамиды. Общее количество рёбер: $3 + 3 = 6$.
Из каждой вершины выходит по 3 ребра. Например, из верхней вершины выходят 3 боковых ребра. Из каждой вершины в основании выходят 2 ребра, принадлежащих основанию, и одно боковое ребро.
Ответ: у многогранника 6 рёбер, из каждой вершины выходит по 3 ребра.

923 Различаются ли рисунки 1 и 2 (рис. 10.4)? Какая фигура сверху: треугольник или квадрат? Перенесите рисунок в тетрадь и раскрасьте верхнюю фигуру.

Рис. 10.4

Различаются ли рисунки ① и ② (рис. 10.4)?

Да, рисунки различаются, несмотря на то что на них изображены одинаковые фигуры в одинаковом положении. Различие заключается в том, как показано их взаимное расположение.

На рисунке ① все линии сплошные. Контур треугольника нарисован целиком, а контур квадрата прерывается в местах пересечения. Это создает впечатление, что треугольник находится сверху (на переднем плане).

На рисунке ② часть стороны треугольника, находящаяся внутри квадрата, изображена пунктирной линией. Пунктир используется для обозначения невидимых, скрытых линий. Это однозначно показывает, что квадрат находится сверху и закрывает собой часть треугольника.

Ответ: Да, рисунки различаются. Они по-разному показывают, какая из фигур находится сверху.

Какая фигура сверху: треугольник или квадрат?

То, какая фигура находится сверху, зависит от рассматриваемого рисунка.

На рисунке ①, где контур треугольника является сплошным и непрерывным, а контур квадрата — прерывистым, сверху находится треугольник.

На рисунке ②, где часть треугольника скрыта и показана пунктиром, сверху находится квадрат.

Задание «Перенесите рисунок в тетрадь и раскрасьте верхнюю фигуру», скорее всего, относится к первому, основному рисунку. Следовательно, для выполнения задания необходимо перерисовать фигуры, как на рисунке ①, и раскрасить верхнюю фигуру, которой является треугольник.

Ответ: На рисунке ① сверху — треугольник, на рисунке ② — квадрат. В тетради нужно раскрасить треугольник.

924 Различаются ли рисунки ① и ② (рис. 10.5)?

Сверните лист бумаги пополам и расположите его перед собой так, как показано на рисунках.

Рис. 10.5

Для ответа на этот вопрос выполним предложенное в задании действие. Возьмем лист бумаги и согнем его пополам. Расположим его перед собой так, чтобы он соответствовал рисунку ①. В этом положении верхняя часть листа загнута к нам, на нижнюю часть. Такой вид сгиба в оригами называют «долина».

Теперь, не разгибая лист, перевернем его на другую сторону. Это можно сделать, например, повернув его на 180° вокруг горизонтальной оси. После этого мы увидим, что верхняя часть листа загнута от нас, за нижнюю часть. Этот вид полностью соответствует рисунку ②, а такой сгиб называют «гора».

Таким образом, этот простой эксперимент показывает, что рисунки ① и ② изображают один и тот же физический объект — сложенный пополам лист бумаги. Разница заключается лишь в том, с какой стороны мы на него смотрим: спереди (рисунок ①) или сзади (рисунок ②). Хотя двумерные изображения на плоскости отличаются, они являются представлением одного и того же трехмерного объекта.

Ответ: Нет, рисунки не различаются, так как они изображают один и тот же сложенный лист бумаги, но показанный с разных сторон.

925 Сложите полоску бумаги гармошкой и расположите её на столе так, как показано на рисунке 10.6, а–г.

а) б) в) г) Рис. 10.6

Задача состоит в том, чтобы определить, какие из представленных на рисунках конфигураций можно получить, сложив двустороннюю полоску бумаги «гармошкой». Основное свойство такого складывания заключается в том, что каждый следующий сгиб переворачивает полоску на другую сторону. Если полоска бумаги с одной стороны одного цвета (например, розовая), а с другой — другого (например, серая), то при разворачивании «гармошки» цвета видимых частей полоски будут чередоваться.

На рисунке показаны два соседних сегмента полоски: один серый, а другой — розовый. Поскольку цвета сегментов разные, это соответствует принципу чередования цветов при складывании «гармошкой». Один сегмент (серый) располагается частично поверх другого (розового), что физически возможно. Таким образом, данная конфигурация может быть получена из сложенной гармошкой полоски бумаги.

Ответ: возможно.

На рисунке показаны два соседних сегмента, и оба они розового цвета. При складывании двусторонней полоски «гармошкой» соседние сегменты должны иметь разные цвета, так как каждый сгиб переворачивает полоску. Если один сегмент розовый, то следующий за ним обязательно должен быть серым. Поскольку здесь оба сегмента одного цвета, такое расположение невозможно получить из одной непрерывной полоски, сложенной гармошкой.

Ответ: невозможно.

Как и в предыдущем случае, на рисунке изображены два соседних сегмента, и оба они розовые. По той же причине, что и для пункта б), такая конфигурация невозможна. Соседние сегменты сложенной «гармошкой» двусторонней полоски не могут быть одного цвета.

Ответ: невозможно.

На рисунке изображены два соседних сегмента: один розовый, а другой — серый. Чередование цветов (розовый и серый) соответствует правилу складывания полоски «гармошкой». Розовый сегмент лежит частично поверх серого, что является физически возможным расположением. Следовательно, данная конфигурация возможна.

Ответ: возможно.

926 НАБЛЮДАЕМ И РАССУЖДАЕМ

На рисунке 10.7 изображён многогранник.

1) Назовите его невидимые рёбра. Назовите грани, у которых: а) все рёбра видимые; б) есть и видимые и невидимые рёбра; в) все рёбра невидимые. Сделайте вывод, в каких случаях грань будет видимой, а в каких нет.

2) Сколько рёбер сходится в вершине $A$? Какие из них видимые, а какие невидимые? Назовите вершины, в которых сходятся: а) и видимые и невидимые рёбра; б) только видимые рёбра; в) только невидимые рёбра. Сделайте вывод, в каких случаях вершина видима, а в каких нет.

Рис. 10.5

Рис. 10.6

Рис. 10.7

1)

На рисунке 10.7 изображена четырёхугольная пирамида $TABCD$. Невидимые рёбра, то есть те, которые скрыты от глаз наблюдателя другими гранями, на чертежах принято изображать штриховыми линиями. В данном многограннике невидимыми являются рёбра $AD$, $CD$ и $TD$.

а) все рёбра видимые

Грань, у которой все рёбра видимые (изображены сплошными линиями), полностью обращена к наблюдателю. На данном рисунке это боковые грани $TAB$ (рёбра $TA$, $AB$, $TB$) и $TBC$ (рёбра $TB$, $BC$, $TC$).

Ответ: $TAB$ и $TBC$.

б) есть и видимые и невидимые рёбра

Грань, у которой есть и видимые, и невидимые рёбра, частично или полностью скрыта от наблюдателя. К таким граням относятся:

– Боковая грань $TAD$, имеющая видимое ребро $TA$ и невидимые рёбра $AD$ и $TD$.

– Боковая грань $TCD$, имеющая видимое ребро $TC$ и невидимые рёбра $CD$ и $TD$.

– Грань основания $ABCD$, имеющая видимые рёбра $AB$ и $BC$ и невидимые рёбра $CD$ и $AD$.

Ответ: $TAD$, $TCD$, $ABCD$.

в) все рёбра невидимые

Грань, у которой все рёбра невидимые, должна быть полностью скрыта сзади или снизу. На данном многограннике нет ни одной грани, все рёбра которой были бы невидимыми (изображены штриховыми линиями).

Ответ: Таких граней нет.

Вывод: Грань многогранника является видимой, если все её рёбра видимые. Если хотя бы одно ребро грани невидимое, то грань не является полностью видимой (она либо частично, либо полностью скрыта от наблюдателя).

2)

Сколько рёбер сходится в вершине А? Какие из них видимые, а какие невидимые?

В вершине $A$ сходятся три ребра: $TA$, $AB$ и $AD$. Рёбра $TA$ и $AB$ изображены сплошными линиями, значит, они видимые. Ребро $AD$ изображено штриховой линией, значит, оно невидимое.

Ответ: В вершине $A$ сходятся 3 ребра; $TA$ и $AB$ – видимые, $AD$ – невидимое.

Назовите вершины, в которых сходятся:

а) и видимые и невидимые рёбра

Проанализируем каждую вершину многогранника:

– Вершина $A$: сходятся видимые рёбра $TA$, $AB$ и невидимое ребро $AD$. Следовательно, вершина $A$ подходит.

– Вершина $B$: сходятся только видимые рёбра $TB$, $AB$, $BC$. Не подходит.

– Вершина $C$: сходятся видимые рёбра $TC$, $BC$ и невидимое ребро $CD$. Следовательно, вершина $C$ подходит.

– Вершина $D$: сходятся только невидимые рёбра $TD$, $AD$, $CD$. Не подходит.

– Вершина $T$: сходятся видимые рёбра $TA$, $TB$, $TC$ и невидимое ребро $TD$. Следовательно, вершина $T$ подходит.

Ответ: $A$, $C$, $T$.

б) только видимые рёбра

Как было определено в предыдущем пункте, это вершина $B$. В ней сходятся только видимые рёбра $TB$, $AB$, $BC$.

Ответ: $B$.

в) только невидимые рёбра

Как было определено в пункте (а), это вершина $D$. В ней сходятся только невидимые рёбра $TD$, $AD$, $CD$.

Ответ: $D$.

Вывод: Вершина многогранника является видимой, если из неё исходит хотя бы одно видимое ребро. Вершина является невидимой, если все рёбра, сходящиеся в ней, невидимые.